人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷二（解析版）

这是一份人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷二（解析版），共18页。试卷主要包含了已知向量＝，已知复数z＝，定义复数的一种运算z1*z2＝等内容，欢迎下载使用。

人教版2021年高一数学下学期期中模拟卷二
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知向量＝（x，2），＝（1，﹣1），且∥，则•＝（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣4

【答案】D
【分析】根据∥即可求出x值，从而可得出的坐标，进而可求出的值．
【解答】解：∵∥，
∴﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣2，
∴，．
故选：D．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示、平面向量数量积的性质及其运算

2.已知复数z＝（2+i）i，其中i为虚数单位，则下列说法中，错误的是（　　）
A．|z|＜3
B．z的虚部为2
C．z的共扼复数为2i+1
D．z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】C
【分析】化简复数z，求出模长|z|、虚部，写出共轭复数和z＝﹣1+2i对应的点坐标即可．
【解答】解：复数z＝（2+i）i，则|z|＝|2+i|•|i|＝＜3，A正确；
z＝（2+i）i＝﹣1+2i，其虚部为2，B正确；
z的共轭复数为＝﹣1﹣2i，所以C错误；
z＝﹣1+2i对应的点为（﹣1，﹣2），在第二象限，D正确；
故选：C．
【知识点】复数的模

3.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C
【分析】利用平面向量的基本定理，用和线性表示向量即可．
【解答】解：由可知，＝﹣＝﹣＝﹣++＝，
故选：C．
【知识点】平面向量的基本定理、向量数乘和线性运算

4.已知M是△ABC内的一点，且•＝4，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C
【分析】利用平面向量的数量积运算求得bc的值，根据三角形的面积公式求得x+y的值，再利用1的代换，结合基本不等式求得的最小值．
【解答】解：在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵•＝4，∠BAC＝30°，
∴cbcos30°＝4，∴bc＝8，
∴S△ABC＝bcsin30°＝×8×＝2，
∴1+x+y＝2，即x+y＝1，且x＞0，y＞0，
∴＝（）（x+y）＝10++≥10+2＝10+6＝16，
当且仅当＝，即y＝3x＝时取等号，
∴的最小值是16．
故选：C．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

5.定义复数的一种运算z1*z2＝（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满足a+b＝3，则z*最小值为（　　）
A． B． C． D．

【答案】B
【分析】先由新定义用a和b表示出z*，再利用基本不等式求最值即可．
【解答】解：z*＝
，∴，
z*＝．
故选：B．
【知识点】基本不等式及其应用、虚数单位i、复数

6.如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，侧棱SB与平面ABC所成的角为45°，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D
【分析】推导出△ABC为等腰直角三角形，BM⊥AC，SA⊥BM，从而BM⊥平面SAC，BM⊥MN，当MN最小时，△BMN的面积最小，此时MN⊥SC，过S作SE⊥SC，交CA的延长线于点E，则SE∥MN，连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．由此能求出异面直线SB与MN所成角的余弦值．
【解答】解：由题意知△ABC为等腰直角三角形，
因为M为AC的中点，所以BM⊥AC．
又SA⊥平面ABC，所以SA⊥BM，所以BM⊥平面SAC，所以BM⊥MN，
故△BMN的面积．
由题意知，所以，所以，
当MN最小时，△BMN的面积最小，此时MN⊥SC．
当MN⊥SC时，过S作SE⊥SC，交CA的延长线于点E，则SE∥MN，
连接BE，则∠BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角．
因为SA⊥平面ABC，所以∠SBA为直线SB与平面ABC所成的角，
所以∠SBA＝45°，所以SA＝AB＝4，所以，．
又，所以，所以，，
在Rt△EMB中，由题意知，
所以由余弦定理得：
＝＝，
故当△BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为．
故选：D．
【知识点】异面直线及其所成的角

7.在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）

A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直

【答案】A
【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．
【解答】解：如图，在正方体AC1中：
∵A1B∥D1C
∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，
又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，
∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，
故选：A．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系

8.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形OA'B'C'，且直观图OA'B'C'的面积为2，则该平面图形的面积为（　　）

A．2 B．4 C．4 D．2

【答案】B
【分析】结合S原图＝2S直观图，可得答案．
【解答】解：由已知直观图OA'B'C'的面积为2，
∴原来图形的面积S＝2×2＝4，
故选：B．
【知识点】斜二测法画直观图


二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）

9.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（　　）

A． B．
C． D．

【答案】AB
【分析】对于A：直接利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于B：利用三角形法则的应用和线性运算的应用求出结果．
对于C：利用平行线分线段成比例和三角形法则和线性运算的应用求出结果．
对于D：直接利用平行线成比例的应用求出结果．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，
如图所示：

根据三角形法则：
对于A：，故选项A正确．
对于B：E，F分别为线段AD，CD的中点，所以，故选项B正确．
对于C：过E作EH∥DC，所以，所以，故，整理得，
所以，即＝，故选项C错误．
对于D：根据平行线分线段成比例定理，点B、G、D共线，故选项D错误．
故选：AB．
【知识点】平面向量的基本定理

10.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论正确的是（　　）
A．是单位向量 B．
C． D．

【答案】ABD
【分析】根据条件可求出，从而判断选项A正确；可得出，从而判断选项B正确；对两边平方即可得出，从而判断选项C错误；根据前面，可以得出，从而判断选项D正确．
【解答】解：A．∵，∴由得，，∴是单位向量，该选项正确；
B．∵，∴，该选项正确；
C.，∴由得，，即，∴，该选项错误；
D．∵，由上面得，，∴，该选项正确．
故选：ABD．
【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的性质及其运算

11.如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（　　）
A． B．
C． D．

【答案】BD
【分析】对于A，由∠BAD＝，CE∥AD，得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由CE⊥AB，DE⊥AB，得直线AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成角为，知直线AB与平面CDE不垂直；对于D，推导出DE⊥AB，CE⊥AB，从而AB⊥平面CDE．
【解答】解：对于A，∵∠BAD＝，CE∥AD，∴AB与CE不垂直，
∵CE⊂平面CDE，∴直线AB与平面CDE不垂直，故A错误；
对于B，∵CE⊥AB，DE⊥AB，CE∩DE＝E，∴直线AB⊥平面CDE，故B正确；
对于C，AB与CE所成角为，∴直线AB与平面CDE不垂直，故C错误；
对于D，如图，∵DE⊥BF，DE⊥AF，BF∩AF＝F，∴DE⊥平面ABF，
∵AB⊂平面ABF，∴DE⊥AB，同理得CE⊥AB，
∵DE∩CE＝E，∴AB⊥平面CDE，故D正确．
故选：BD．

【知识点】直线与平面垂直

12.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（　　）

A．异面直线BC与B1M所成的角为90°
B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABC
C．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°
D．B1M⊥CM

【答案】ABC
【分析】选项A，连接MC1，易知BC∥B1C1，故∠MB1C1即为所求．由勾股定理可知A1B1⊥B1C1，由三棱柱的性质可知BB1⊥B1C1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°；
选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形AMDE为平行四边形，故MD∥AE，再由线面平行的判定定理即可得证；
选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，则∠BNB1即为所求，在Rt△BNB1中，由三角函数可求出tan∠BNB1的值，从而得解；
选项D，在△CMB1中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和B1C的长，判断其结果是否满足≠即可．
【解答】解：选项A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC∥B1C1，
∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M．
∵AB＝BC＝2，AC＝，∴∠ABC＝∠A1B1C1＝90°，即A1B1⊥B1C1，
由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，
∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1，
又A1B1∩BB1＝B1，A1B1、BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，
∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1＝90°，∴选项A正确；

选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，则DE∥AM，DE＝AM，
∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD∥AE，
∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD∥平面ABC，即选项B正确；
选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，
∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1﹣AC﹣B的平面角．
在Rt△BNB1中，BB1＝，BN＝AB＝，∴tan∠BNB1＝＝，∴∠BNB1＝60°，即选项C正确；

选项D，在△CMB1中，CM2＝AC2+AM2＝，＝+＝，＝＝10，
显然≠，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．
故选：ABC．
【知识点】二面角的平面角及求法、直线与平面所成的角、直线与平面垂直


三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.已知向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，则|﹣2|＝　　．

【答案】5
【分析】通过向量垂直，数量积为0，求出m，然后利用向量的模的运算法则求解即可．
【解答】解：向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，
可得＝0，即﹣（﹣2m﹣1）+2＝0，解得m＝，所以＝（2，1），＝（﹣5，0），
所以|﹣2|＝5．
故答案为：5．
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算

14.已知复数集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R}，，其中i为虚数单位，若复数z∈A∩B，则z对应的点Z在复平面内所形成图形的面积为　　　　　　

【答案】7
2

【分析】集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，
z2＝（1+i）z1＝（cos+isin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，
再用正方形PQRS的面积减去4个等腰直角三角形的面积可得．
【解答】解：集合A＝{x+yi||x|≤1，|y|≤1，x，y∈R）在复平面内所形成的图形为正方形ABCD内包括边界，
z2＝（1+i）z1＝（cos+isin）z1对应的点在复平面内形成的图象为正方形PQRS，如图：

所以所求图形的面积为﹣4×＝﹣1＝，
故答案为：
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义

15.正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点，且＝，若＝，则+＝　　（用表示）．

【分析】根据可得出，进而得出，并且，，从而可用表示出．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴＝．
故答案为：．
【知识点】向量数乘和线性运算

16.如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为2，点P为线段DE上一点，当三棱锥P﹣ACE的体积为时，＝　　．


【分析】过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，证明AF⊥平面BCDE，再由已知求得AF，进一步求出三棱锥D﹣ACE的体积，利用求得，进一步得到答案．
【解答】解：如图，过A作AF⊥BC的延长线，垂足为F，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，
∴AF⊥平面BCDE，
由BE＝2，BC＝4，△ABC的面积为，得，
∴AF＝，
则＝4×2×；
∵＝．
∴，则．
故答案为：．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积


四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）


17.设A，B，C，D为平面直角坐标系中的四点，且A（2，﹣2），B（4，1），C（1，3）．
（1）若＝，求D点的坐标及||；
（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．

【分析】（1）可设D（x，y），然后根据即可得出D（3，6），进而可得出向量的坐标，进而求出的值；
（2）可求出，，然后根据与平行即可求出k的值．
【解答】解：（1）设D（x，y），则，且，，
∴（2，3）＝（x﹣1，y﹣3），
∴，解得，
∴D（3，6），，
∴；
（2），
∴，，且与平行，
∴9（2k+3）+7（3k﹣2）＝0，解得．
【知识点】平行向量（共线）、平面向量共线（平行）的坐标表示

18.已知z∈C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．

【分析】（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．
（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则z+2i＝a+（b+2）i，
，
∵z+2i 和 都是实数，∴，解得，∴z＝4﹣2i．
（2）由（1）知z＝4﹣2i，∴（z+ai）2＝[4+（a﹣2）i]2＝16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，
∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴，
即，∴，∴﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（﹣2，2）．
【知识点】虚数单位i、复数、复数的代数表示法及其几何意义

19.已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z∈A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B＝{z||z﹣ai|≤2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．

【分析】（1）直接利用复数的模，求解复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系，并在复平面内画出图形单位圆即可．
（2）若z∈A，求z取值时，画出图形，即可求出|z﹣（1+i）|的最大值、最小值．
（3）利用B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义，画出图象即可得到满足A⊆B时实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{z||z|≤1}，z＝x+yi，
∴x2+y2≤1
（2）|z﹣（1+i）|的几何意义是圆上的点到（1，1）点的距离，如图：
当z＝，|z﹣（1+i）|最小值＝．
当z＝，|z﹣（1+i）|最大值＝．
（3）B＝{z||z﹣ai|≤2}，的几何意义是，复平面内的点与（0，a）的距离小于等于2，A⊆B，
则满足如图所示的情况，即﹣1≤a≤1时，成立．



【知识点】集合的包含关系判断及应用、复数的模

20.如图，已知图1中△ABC是等腰三角形，AC＝BC，D，E分别是AC，BC的中点，沿着DE把△CDE折起到△C′DE，使得平面C′DE⊥平面BADE，图2中AD＝，AB＝4，F为BC′的中点，连接EF．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）求四棱锥C′﹣ABED的侧面积．


【分析】（Ⅰ）由中位线以及线面平行判定定理即可证明；
（Ⅱ）由线面垂直、面面垂直即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：取AC′中点G，连接DG，FG，
由点F、G分别是BC′，AC′的中点，
得GF∥AB，GF＝AB，
又DE∥AB，DE＝AB．
所以四边形DEFG是平行四边形，
所以DG∥EF，且EF⊄平面AC′D，
DG⊂平面AC′D，
所以EF∥平面AC′D；
（Ⅱ）因为△ABC是等腰三角形，AC＝BC，AD＝，AB＝4，
所以∠ACB＝90°，
所以△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC＝2．
分别取DE、AB的中点H、I，
连接C′H，HI，C′I，从而有C′H⊥DE．
又因为平面C′DE⊥平面BADE，平面C′DE∩平面BADE＝DE，
所以C′H⊥平面BADE，
又HI⊂平面BADE，所以C′H⊥HI，
在△C′HI中，C′H＝HI＝1，∴，
又翻折后，C′A＝C′B，在△C′IA中，，
∴四棱锥C′﹣ABED的侧面积为：
+＝1+．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、直线与平面平行

21.现有一块长方形钢板ABCD（如图），其中AB＝4米，AD＝6米，运输途中不慎将四边形AEPF部分损坏，经测量AE＝1.5米，AF＝3米，tan∠AEP＝4，∠AFP＝45°．现过点P沿直线MN将破损部分切去（M，N分别在AB，AD上），设DN＝t米．
（1）请将切去的△AMN的面积表示为t的函数f（t）；
（2）当DN的长度为多少时，切去的△AMN面积最小？并求出最小面积．


【分析】（1）计算P到AB，AD的距离，根据相似比求出AM，得出三角形AMN的面积；
（2）利用基本不等式即可得出f（t）的最小值及其对应的t的值．
【解答】解：（1）过P分别向AD，AB作垂线，垂足分别为G，H，则四边形AGPH为矩形，△PGF为等腰直角三角形，
设PG＝x，则GF＝x，PH＝AG＝AF﹣FG＝3﹣x，HE＝AE﹣AH＝1.5﹣x，
∴tan∠AEP＝＝＝4，解得x＝1．
∴AG＝2，NG＝4﹣t，
由△NPG∽△NMA可得，即，
∴AM＝，
∴f（t）＝•（6﹣t）＝（0≤t≤3）．
（2）f（t）＝＝++2≥2+2＝4，
当且仅当＝即t＝2时取等号．
故当DN＝2m时，切去的△AMN面积最小，最小面积为4m2．

【知识点】解三角形

22.已知在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠ADC＝，如图，DE∥CF，且DE＝3，CF＝4，∠DCF＝，且平面ABCD⊥平面CDEF．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）求四棱锥F﹣ABCD的体积．


【分析】（Ⅰ）利用余弦定理及勾股定理证出线线垂直，再利用面面垂直的性质得证；
（Ⅱ）证明CF⊥平面ABCD，即为四棱锥的高，再利用体积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由题知在△ACD中，，
则由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC＝，
则AC2+CD2＝AD2，
∴AC⊥CD，
又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面CDEF；
（Ⅱ）由于平面ABCD⊥平面CDEF，又，且CF⊂平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，
∴CF⊥平面ABCD，
∵，
∴四棱锥F﹣ABCD的体积为．
【知识点】直线与平面垂直、棱柱、棱锥、棱台的体积