2022届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及线性运算学案理含解析北师大版

平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节　平面向量的概念及线性运算

授课提示：对应学生用书第87页

知识点一　向量的有关概念

• 温馨提醒 •

1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．

2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有真命题的序号是(　　)

A．①　　　　　　　 B．③

C．①③  D．①②

解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．

答案：A

2．(易错题)设a0为单位向量．①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．

答案：D

知识点二　向量的线性运算

1．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．

解析：如图所示，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．

答案：b－a　－a－b

2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．

解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝．

答案：－　

3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．

解析：如图所示，因为＋＝，－＝，所以||＝||．

由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

答案：矩形

知识点三　共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．

• 温馨提醒 •

三个常用结论

(1)P为线段AB的中点⇔＝(＋)．

(2)G为△ABC的重心⇔若A，B，C是平面内不共线的点，则＋＋＝0．

(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1．

1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)

A．共线　　　　　　　 B．不共线

C．共线且同向  D．不一定共线

解析：若n≠0，则m与k共线；若n＝0，则m与k不一定共线．

答案：D

2．(易错题)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．

解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．

答案：[2，6]

授课提示：对应学生用书第88页

题型一　平面向量的有关概念及线性运算　　

考法（一）　平面向量的有关概念

1．（2021·南宁质检）已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是（　　）

A．|a|＝|b|＝1

B．a·b＝1

C．当a，b反向时，a＋b＝0

D．当a，b同向时，a＝b

解析：a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|＝|b|＝1，正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，错误；对于C，当a，b反向时，a＋b＝0，正确；对于D，当a，b同向时，a＝b，正确．

答案：B

2．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”．

其中真命题的序号是_________．

解析：①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确，因为＝，所以||＝||且∥，又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝．故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．

④不正确，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，真命题的序号是②③．

答案：②③

向量概念的注意点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

考法（二）　平面向量的线性运算

1．（2021·云南曲靖一中月考）在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝（　　）

A．a＋b　　　　　　　 B．a－b

C．－a－b  D．－a＋b

解析：＝＋＝＋

＝（－）－

＝－－＝－a－b．

答案：C

2．如图所示，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋＝＋．

因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3．

法二：因为＝2，所以－＝2（－），整理得＝＋＝＋（＋）＝＋，以下同法一．

答案：C

平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

题型二　平面向量共线定理的应用　　

[例]　设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[解析]　（1）证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），所以＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝5（a＋b）＝5，

所以，共线，又它们有公共点B，

所以A，B，D三点共线．

（2）因为ka＋b与a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b．

又a，b是两个不共线的非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0．所以k2－1＝0．

所以k＝±1．

[变式探究1]　（变条件）若将本例（1）中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？

解析：＋＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，

即＝4a＋（m－3）b．

若A，B，D三点共线，

则存在实数λ，使＝λ，

即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），

所以

解得m＝7．

故当m＝7时，A，B，D三点共线．

[变式探究2]　（变条件）若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？

解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，

所以存在实数λ，

使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ<0），

所以所以k＝±1．

又λ<0，k＝λ，所以k＝－1．

故当k＝－1时，两向量反向共线．

利用共线向量定理解题的策略

（1）a∥b⇔a＝λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔，共线．

[题组突破]

1．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为_________．

解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2．

因为2＝＋，所以＝，

则＝＝（＋）＝＝＋．

由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝．

答案：

2．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为_________．

解析：∵＝，

∴＝m＋

＝m＋．

∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1．

m＝．

答案：

　共线向量定理应用中的核心素养

数学运算——共线向量定理的推广及应用

[共线定理]　已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．

[例]　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是_________．

[解析]　由点D是圆O外的一点，可设＝λ（λ>1），则＝＋＝＋λ＝λ＋（1－λ）．因为C，O，D三点共线，令＝－μ（μ>1），所以＝－－·（λ>1，μ>1）．因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈（－1，0）．

[答案]　（－1，0）

利用共线定理的推广及数形结合分析是解决此类问题的关键．

[对点训练]

如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为_________．

解析：法一：＝（＋）＝＋．

∵M，O，N三点共线，

∴＋＝1．

∴m＋n＝2．

法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，

此时m＝n＝1，∴m＋n＝2．

答案：2