高中苏教版 (2019)第8章 函数应用8.2 函数与数学模型说课课件ppt
展开知识点一 函数的零点的概念
思考 函数的“零点”是一个点吗?
答案 不是,函数的“零点”是一个数,一个使f(x)=0的实数x.实际上是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
梳理 对于函数y=f(x),我们把使 的实数x叫做函数y=f(x)的 .方程、函数、图象之间的关系:方程f(x)=0 ⇔函数y=f(x)的图象 ⇔函数y=f(x) .
知识点二 零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是 的一条曲线,并且有 ,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内 ,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的根.
f(a)·f(b)<0
例1 函数f(x)=(lg x)2-lg x的零点为____________.
解析 由(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,∴lg x=0或lg x=1,∴x=1或x=10.
变式训练 函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是____.
解析 f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3).可知零点为±1,-2 , 3,共4个.
类型二 判断函数的零点所在的区间
例2 根据表格中的数据,可以断定方程ex-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析 令f(x)=ex-(x+2),则f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4=3.40>0.由于f(1)·f(2)<0,
∴方程ex-(x+2)=0的一个根在(1,2)内.
变式训练 若函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=____.
解析 ∵函数f(x)=3x-7+ln x在定义域上是增函数,∴函数f(x)=3x-7+ln x在区间(n,n+1)上只有一个零点.∵f(1)=3-7+ln 1=-4<0,f(2)=6-7+ln 2<0,f(3)=9-7+ln 3>0,∴函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(2,3)内,∴n=2.
类型三 函数零点个数问题
解 方法一 ∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg 2-2>0,∴f(x)在(0,1)上必定存在零点.又显然f(x)=2x+lg(x+1)-2在(-1,+∞)上为增函数.故函数f(x)有且只有一个零点.方法二 在同一坐标系下作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
命题角度1 判断函数零点个数例3 求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
变式训练 求函数f(x)=ln x+2x-6零点的个数.
解 方法一 由于f(2)=ln 2+4-6<0,f(3)=ln 3+6-6>0,即f(2)·f(3)<0,说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点.又因为函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点.方法二 通过作出函数y=ln x,y=-2x+6的图象,观察两图象的交点个数得出结论.也就是将函数f(x)=ln x+2x-6的零点个数转化为函数y=ln x与y=-2x+6的图象交点的个数.由图象可知两函数有一个交点,即函数f(x)有一个零点.
可知g(x)的值域为(-1,+∞),故当a>-1时,f(x)在(0,+∞)内有零点.
命题角度2 根据零点情况求参数范围例4 f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值范围是A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
变式训练 若函数f(x)=x2+2mx+2m+1在区间(-1,0)和(1,2)内各有一个零点,则实数m的取值范围是
解析 函数f(x)=x2+2mx+2m+1的零点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,即函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点一个在(-1,0)内,一个在(1,2)内,
1.函数y=ln x的零点是A.(0,0) B.x=0 C.x=1 D.不存在
2.下列各图象表示的函数中没有零点的是
3.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
5.若函数y=2-|x|-k有零点,则实数k的取值范围是_____.
解析 y=2-|x|-k有零点,即k∈y=2-|x|的值域.而-|x|≤0,0<2-|x|≤20=1,∴y=2-|x|的值域为(0,1].
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