2020-2021年某校高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021年某校高二（下）3月月考数学（文）试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x>3，lnx>1”的否定是( )
A.∃x>3，lnx>1B.∃x>3，lnx≤1C.∀x>3，lnx≤1D.∃x≤3，lnx≤1

2. 一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至多有一次中靶B.两次都中靶
C.只有一次中靶D.两次都不中靶

3. 双曲线y24−x2=−1的渐近线方程是( )
A.y=±2xB.y=±12xC.y=±4xD.y=±14x

4. 给出下列四个命题，其中正确的一个是( )
A.在线性回归模型中，相关指数R2=0.80，说明预报变量对解释变量变化的贡献率是80%
B.在独立性检验时，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C.相关指数R2用来刻画回归效果，R2越大，则残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D.随机误差e是衡量预报精确度的一个量，越大越好

5. 若m，n是实数，条件甲：m<0，且n<0；条件乙：方程x2m−y2n=1表示双曲线，则甲是乙的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件

6. 高二某班有50位同学，座位号记为01，02，…，50，用下面的随机数表选取5组数作为参加唱歌活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第二行的第5列和第6列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )

A.47B.26C.32D.06

7. 在同一坐标系中，方程x2a2+y2b2=1与bx2=−ay(a>b>0)表示的曲线大致是( )
A.B.
C.D.

8. 设O为坐标原点，动点N在圆C:x2+y2=8上，过N作y轴的垂线，垂足为M，点P满足MP→=12MN→，则点P的轨迹方程为( )
A.x28+y22=1B.x22+y28=1C.x22+y24=1D.x24+y22=1

9. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y23−x2=1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p的值为( )
A.3B.33C.43D.23

10. 观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )
A.22项B.23项C.24项D.25项

11. 已知点P为抛物线y2=2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(72,4)，则|PA|+|PM|的最小值是( )
A.112B.4C.92D.5

12. 已知F1，F2为双曲线L:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F2为圆心，2a为半径的圆与L在第一象限的交点为A，直线AF2与L交于另一个交点为B，若△ABF1的面积为3a2，则L的离心率为( )
A.334B.355C.3D.3
二、填空题

一个容量为32的样本，已知某组的样本的频率为0.25，则该组样本的频数为________．

如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该图内，则豆子落在弓形HE（阴影部分）的概率是________.


在“一带一路”知识测验后，甲，乙，丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为________.

设F1，F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|+|PF2|=4a，且∠F1PF2=60∘，则双曲线C的渐近线方程是________.
三、解答题

某品牌汽车4S店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如下表所示：
预计今后的销售中，销量与单价仍然服从y=bx+a(b=−0.2，a=y¯−bx¯)的关系，且该产品的成本是每件500元，为使4S店获得最大利润（利润=销售收入−成本），该产品的单价应定为多少元？

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的虚轴长为42，焦距为210.
(1)求双曲线C的方程；

(2)若过点0,2，倾斜角为45∘的直线l与双曲线C相交于A，B两点，求弦AB的长．

已知向量a→=(−2, 1)，b→=(x, y)．
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a→⋅b→=−1的概率；

(2)若x，y∈[1, 6]，求满足a→⋅b→<0的概率．

某中学一教师统计甲、乙两位同学高三学年的数学成绩(满分150分)，现有甲、乙两位同学的20次成绩的茎叶图如图所示.

(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将图中乙同学成绩的频率分布直方图补充完整；

(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；

(3)现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，设事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率．

已知点F为抛物线C:y2=4x的焦点，点D1,2为抛物线C上一点．
(1)直线l过点F交抛物线C于A，B两点，若|AB|=5，求直线l的方程；

(2)过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值．

已知F1−1,0，F21,0，点P满足|PF1→|+|PF2→|=22，记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；

(2)过点F21,0作直线l与轨迹E交于不同的两点A，B，设F2A→=λF2B→，T2,0，若λ∈−2,−1，求|TA→+TB→|的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021年某校高二（下）3月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“∀x>3，lnx>1”的否定是∃x>3，lnx≤1.
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
利用互斥事件的概念求解．
【解答】
解：“至多有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故A错误；
“两次都中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故B错误；
“只有一次中靶”和“至少有一次中靶”，能够同时发生，故C错误；
“两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
【解析】
根据题意，由双曲线的标准方程分析可得该双曲线的焦点位置以及a，b的值，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，双曲线的方程为y24−x2=−1，
即x2−y24=1，
所以双曲线的焦点在x轴上，且a=1，b=2，
所以渐近线方程为y=±2x.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
独立性检验
回归分析
线性相关关系的判断
【解析】
相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2表示解释变量对预报变量的贡献率，R2越接近于1，表示解释变量和预报变量的线性相关关系越强，越趋近0，关系越弱，故R2的值越大，残差平方和越小，说明回归模型的拟合效果越好，可判断A，C；由K2的计算公式可判断B；随机误差e是衡量预报精确度的一个量，越小越好，可判断D.
【解答】
解：对于A，用相关系数R2可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，
根据“相关指数R2=0.80”并不能说明预报变量对解释变量的贡献率是80%，
故A选项错误；
对于B，由K2的计算公式可知，两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大，
说明这两个变量有关系成立的可能性就越大，故B选项错误；
对于C，相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2越大，
则残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C选项正确；
对于D，随机误差e是衡量预报精确度的一个量，越小越好，故D选项错误.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先看能否由k>3推出是方程 x2k−3−y2k+3=1表示双曲线，再看方程 x2k−3−y2k+3=1表示双曲线时，能否推出k>3．
【解答】
解：当m<0，n<0时，方程x2m−y2n=1表示焦点在y轴上的双曲线，
所以充分性成立；
当方程x2m−y2n=1表示双曲线时，
m>0，n>0或m<0，n<0，
所以必要性不成立．
综上所述，甲是乙的充分不必要条件．
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
从随机数表第二行的第5列和第6列开始由左到右依次选取两个数字，超过50的去掉，与前面所选数字重复的去掉，选出即可.
【解答】
解：根据随机数表，从第二行的第5列和第6列开始由左到右依次选取两个数字，
超过50的去掉，与前面所选数字重复的去掉，
则选出来的座位号依次是26，34，32，06，47，
即选出来的第4个志愿者的座位号是06.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
圆锥曲线的共同特征
抛物线的定义
曲线与方程
椭圆的定义
【解析】
根据题意，a>b>0，可以整理抛物线ax+by2=0变形为标准方程，结合椭圆x2a2+y2b2=1的形式，可以判断其焦点所在的位置，进而分析选项可得答案．
【解答】
解：∵ a>b>0，
∴ 方程x2a2+y2b2=1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，
故排除选项C，D；
∵ 方程bx2=−ay，且a>b>0，
整理，得x2=−aby，且a>b>0，
∴ 方程bx2=−ay表示的曲线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，
故排除选项A.
故选B.
8.
【答案】
B
【考点】
轨迹方程
【解析】
设N(x0,y0)，由题意可得M0,y0，设Px,y，运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程.
【解答】
解：由题意，设N(x0,y0)，则M0,y0，
设Px,y，
∵ 点P满足MP→=12MN→，
∴ x,y−y0=12x0,0，
∴ x=12x0，y=y0，
即x0=2x， y0=y，
又动点N在圆C:x2+y2=8上，
则把点N(x0,y0)代入圆C:x2+y2=8，
得2x2+y2=8，
整理，得x22+y28=1，
∴ 点P的轨迹方程为x22+y28=1.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
圆锥曲线的综合问题
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题设知y2=2px的准线为x=−p2,
代入双曲线方程y23−x2=1,
解得y=±3+3p24,
由双曲线的对称性,知△MNF为等腰直角三角形，
∴∠FMN=π4,
∴tan∠FMN=p3+3p24=1,
∴p2=3+3p24,
即p=23.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
根据两数的和找到相对应的规律，即可求出．
【解答】
解：两数和为2的有1个，
两数和为3的有2个，
两数和为4的有3个，
两数和为5的有4个，
两数和为6的有5个，
两数和为7的有6个，
综上可知，前面共有21个，3⊗5为和为8的第3项，
所以3⊗5是第24项.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长PM交准线于H点推断出|PA|=|PH|，进而表示出|PM|，问题转化为求PF|+|PA|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|PF|+|PA|≥|FA|，直线FA与 抛物线交于P0点，可得P0，分析出当P重合于P0时，|PF|+|PA|可取得最小值，进而求得|FA|，则|PA|+|PM|的最小值可得．
【解答】
解：依题意可知，抛物线的焦点F(12, 0)，准线 x=−12，
如图，延长PM交准线于H点，
则|PF|=|PH|．
∵ |PM|=|PH|−12=|PF|−12，
∴ |PM|+|PA|=|PF|+|PA|−12，
当A，P，F在同一直线上时，|PF|+|PA|取得最小值．
此时|FA|=5，
∴ |PM|+|PA|=5−12=92．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
直线与圆的位置关系
双曲线的应用
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
设出直线AB方程，联立直线与双曲线方程，再与三角形面积联系，再由以F2为圆心的圆的方程，与双曲线方程联立即可解出．
【解答】
解：设直线AB的方程为x=my+c，Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x=my+c,x2a2−y2b2=1,
消去x，得b2m2−a2y2+2b2cmy+b2c2−a2b2=0，
所以y1+y2=−2b2cmb2m2−a2，y1y2=b2c2−a2b2m2−a2，
所以|y1−y2|=y1+y22−4y1y2
=4b4c2m2(b2m2−a2)2−4b2(c2−a2)b2m2−a2
=2ab2|b2m2−a2|m2−1①，
又S△ABF1=12×2c×|y1−y2|=3a2②，
联立x−c2+y2=4a2，x2a2+y2b2=1，
整理，得c2x2−2a2cx−3a4=0，
所以x1+x2=2a2c，x1x2=3a4c2③，
联立①②③，得e=ca=355．
故选B.
二、填空题
【答案】
8
【考点】
频数与频率
【解析】
利用频率=频数样本容量，求出频数．
【解答】
解：由题意，得该组样本的频数为32×0.25=8.
故答案为：8.
【答案】
14−12π
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
求出圆的面积和阴影部分面积，再利用几何概型的概率计算公式求解即可.
【解答】
解：如图，连接OE，OH.
设圆的半径为r，则圆的面积S=πr2，
阴影部分的面积S′=14πr2−12r2，
将一颗豆子随机地扔到该图内，则豆子落在弓形HE（阴影部分）的概率
P=14πr2−12r2πr2=14−12π.
故答案为：14−12π.
【答案】
甲，乙，丙
【考点】
进行简单的合情推理
合情推理的作用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如果只有甲预测正确，此时根据题意得，成绩由高到低顺序为甲，乙，丙，满足条件；
如果只有乙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时丙也预测正确，不满足条件；
如果只有丙预测正确，因为甲错误，得顺序为丙，乙，甲，此时乙也预测正确，不满足条件；
故答案为：甲，乙，丙.
【答案】
3x±2y=0
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的定义
余弦定理
【解析】
利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|,|PF2|，再利用余弦定理找出a​的等量关系，从而可求a1的比值，即可得出双曲线C的渐近线方程．
【解答】
解：∵ F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，
∴ 由双曲线定义，得|PF1|−|PF2|=2a，
又|PF1|+|PF2|=4a，
∴ |PF1|=3a，|PF2|=a.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
cs60∘=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1|⋅|PF2|，
即3a2+a2−4c22×3a×a=12，
整理，得3a2=10a2−4c2，
即4c2=7a2，
又b2+a2=c2，
∴ b2a2=34，
∴ 双曲线C的渐近线方程为y=±32x，即3x±2y=0.
故答案为：3x±2y=0.
三、解答题
【答案】
解：∵ x¯=800+820+840+850+890+9006=850，
y¯=90+84+83+80+75+686=80，
a=80+0.2×850=250，
∴ y=−0.2x+250，
则销售利润Px=x−500−0.2x+250
=−15x−8752+28125，
∵ −15<0，
∴ 抛物线开口向下，在x=875处取最大值，
∴ 当定价为每件875元时，利润最大，最大为28125元.
【考点】
函数最值的应用
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ x¯=800+820+840+850+890+9006=850，
y¯=90+84+83+80+75+686=80，
a=80+0.2×850=250，
∴ y=−0.2x+250，
则销售利润Px=x−500−0.2x+250
=−15x−8752+28125，
∵ −15<0，
∴ 抛物线开口向下，在x=875处取最大值，
∴ 当定价为每件875元时，利润最大，最大为28125元.
【答案】
解：(1)由题意，得2b=42,2c=210,
∴ b2=8，c2=10，a2=c2−b2=2，
∴ 双曲线C的方程为x22−y28=1.
(2)∵ k=tan45∘=1，过点0,2，
∴ 直线l的方程为y=x+2.
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=x+2,x22−y28=1,
消去y，得3x2−22x−10=0，
解得x1=−2，x2=523，
∴ |AB|=2|x1−x2|=2|−2−523|=163.
【考点】
双曲线的标准方程
直线与双曲线结合的最值问题
直线的点斜式方程
【解析】


【解答】
解：(1)由题意，得2b=42,2c=210,
∴ b2=8，c2=10，a2=c2−b2=2，
∴ 双曲线C的方程为x22−y28=1.
(2)∵ k=tan45∘=1，过点0,2，
∴ 直线l的方程为y=x+2.
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立y=x+2,x22−y28=1,
消去y，得3x2−22x−10=0，
解得x1=−2，x2=523，
∴ |AB|=2|x1−x2|=2|−2−523|=163.
【答案】
解：(1)∵ x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子
先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，
∴ 有序数对(x,y)包含的基本事件共有6×6=36种.
∵ a→⋅b→=−1，即−2x+y=−1，
∴ 满足a→⋅b→=−1的基本事件有(1, 1)，(2, 3)，(3, 5)共3种，
∴ 满足a→⋅b→=−1的概率为P=336=112.
(2)由题意知x，y∈[1, 6]，求a→⋅b→=−2x+y<0的概率，
即1≤x≤6,1≤y≤6,求−2x+y<0的概率，
画出可行域如图所示，
即正方形ABCD的面积为S正方形ABCD=25，
图中直线EF所表示的方程为−2x+y=0，
所以图中阴影部分为−2x+y<0，x，y∈[1, 6].
因为E(3,6)，F(1,2)，
所以S阴影=25−12×2×4=21，
所以满足a→⋅b→<0的概率为P=S阴影S正方形ABCD=2125．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
根据题意，求出满足条件a → ⋅ b → = − 1的基本事件个数及总的基本事件个数，代入古典概型公式进行计算求解即可；
根据题意，画出满足条件a → ⋅b → < 0的图形，结合图形找出满足条件的点集对应的图形面积，
利用几何概型的概率公式计算即可．
【解答】
解：(1)∵ x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子
先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，
∴ 有序数对(x,y)包含的基本事件共有6×6=36种.
∵ a→⋅b→=−1，即−2x+y=−1，
∴ 满足a→⋅b→=−1的基本事件有(1, 1)，(2, 3)，(3, 5)共3种，
∴ 满足a→⋅b→=−1的概率为P=336=112.
(2)由题意知x，y∈[1, 6]，求a→⋅b→=−2x+y<0的概率，
即1≤x≤6,1≤y≤6,求−2x+y<0的概率，
画出可行域如图所示，
即正方形ABCD的面积为S正方形ABCD=25，
图中直线EF所表示的方程为−2x+y=0，
所以图中阴影部分为−2x+y<0，x，y∈[1, 6].
因为E(3,6)，F(1,2)，
所以S阴影=25−12×2×4=21，
所以满足a→⋅b→<0的概率为P=S阴影S正方形ABCD=2125．
【答案】
解：(1)由茎叶图知，甲同学成绩的中位数是119，
乙同学成绩的中位数是128，
乙同学成绩的频率分布直方图如图所示．
(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．
(3)甲同学不低于140分的成绩有2个，分别设为a，b，
乙同学不低于140分的成绩有3个，分别设为c，d，e，
现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，
可能出现的情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，
(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种结果，
其中2个成绩分属不同的同学的情况有
(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，共6种．
所以事件A发生的概率为PA=610=35．
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
茎叶图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
利用中位数的求解方法即可得到答案；
从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中;
甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，de，现从甲乙两位同学的不低于14（0分）的成绩中任意选出2个成绩，利用列举法能求出事件A发生的概率．
【解答】
解：(1)由茎叶图知，甲同学成绩的中位数是119，
乙同学成绩的中位数是128，
乙同学成绩的频率分布直方图如图所示．
(2)从茎叶图可以看出，乙同学成绩的平均值比甲同学成绩的平均值高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定．
(3)甲同学不低于140分的成绩有2个，分别设为a，b，
乙同学不低于140分的成绩有3个，分别设为c，d，e，
现从甲、乙两位同学不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，
可能出现的情况有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，
(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种结果，
其中2个成绩分属不同的同学的情况有
(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，共6种．
所以事件A发生的概率为PA=610=35．
【答案】
(1)解：由题意，得点F的坐标为1,0，
则设直线l的方程为x=my+1，
联立x=my+1，y2=4x，
消去x，得y2−4my−4=0，
设A(x1,x1)，B(x2,x2)，
则y1+y2=4m， y1y2=−4，
所以|AB|=1+m2|y1−y2|=4m2+1=5，
解得m=±12，
故直线l的方程为2x+y−2=0或2x−y−2=0.
(2)证明：设直线DP的斜率为kk≠0，则直线DQ的斜率为−k.
令t=1k，联立方程 x−1=ty−2，y2=4x,
消去x，得y2−4ty+8t−4=0，
设PxP,yP，
因为点D坐标为1,2，
所以2yP=8t−4，
即yP=4t−2，
所以点P的坐标为4t2−4t+1,4t−2，
所以点Q的坐标为4t2+4t+1,−4t−2，
所以直线PQ​​的斜率为kPQ=−4t−2−4t−24t2+4t+1−4t2−4t+1=−1，
即直线PQ的斜率为定值−1．
【考点】
抛物线的性质
直线与抛物线的位置关系
抛物线的应用
直线与抛物线结合的最值问题
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题意，得点F的坐标为1,0，
则设直线l的方程为x=my+1，
联立x=my+1，y2=4x，
消去x，得y2−4my−4=0，
设A(x1,x1)，B(x2,x2)，
则y1+y2=4m， y1y2=−4，
所以|AB|=1+m2|y1−y2|=4m2+1=5，
解得m=±12，
故直线l的方程为2x+y−2=0或2x−y−2=0.
(2)证明：设直线DP的斜率为kk≠0，则直线DQ的斜率为−k.
令t=1k，联立方程 x−1=ty−2，y2=4x,
消去x，得y2−4ty+8t−4=0，
设PxP,yP，
因为点D坐标为1,2，
所以2yP=8t−4，
即yP=4t−2，
所以点P的坐标为4t2−4t+1,4t−2，
所以点Q的坐标为4t2+4t+1,−4t−2，
所以直线PQ​​的斜率为kPQ=−4t−2−4t−24t2+4t+1−4t2−4t+1=−1，
即直线PQ的斜率为定值−1．
【答案】
解：(1)∵ P满足|PF1→|+|PF2→|=22>|F1F2|=2，
∴ 点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为22的椭圆，
∴ a=2，c=1，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ 轨迹E的方程为x22+y2=1 .
(2)由题意可知，直线l的斜率不为0，
则设直线l的方程为x=ky+1，
联立x=ky+1，x22+y2=1，
消去x，得k2+2y2+2ky−1=0 ，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则y1+y2=−2kk2+2，y1y2=−1k2+2，
∵ F2A→=λF2B→，
∴ y1y2=λ，且λ<0，
y1y2+y2y1+2=(y1+y2)2y1y2=−4k2k2+2，
即λ+1λ+2=−4k2k2+2，
又λ∈−2,−1，
∴ −52≤λ+1λ≤−2，
∴ −12≤λ+1λ+2≤0，
即−12≤−4k2k2+2≤0，
解得0≤k2≤27，
∵ TA→=x1−2,y1，TB→=x2−2,y2，
∴ TA→+TB→=(x1+x2−4,y1+y2)，
又y1+y2=−2kk2+2，
∴ x1+x2−4=ky1+y2−2=−4k2+1k2+2 ，
∴ |TA→+TB→|2=x1+x2−42+y1+y22
=16k2+12k2+22+4k2k2+22
=16k2+22−28k2+2+8k2+22
=16−28k2+2+8k2+22,
令t=1k2+2，
∵ 0≤k2≤27，
∴ 716≤1k2+2≤12，
即t=716,12，
∴ |TA→+TB→|2=ft=8t2−28t+16=8t−742−172 ，
又t∈716,12，
∴ ftmin=4 ，
∴ |TA→+TB→|min=2 .
【考点】
轨迹方程
椭圆的定义
圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】
（1）由P满足|PF1→|+|PF2→|=22|21F2|知，点P的轨迹为以F1F2为焦点，长轴长为22的椭圆，
所以a=2,c=1,b2=a2−c2=1,b=1．轨迹方程为x22+y2=1 .
【解答】
解：(1)∵ P满足|PF1→|+|PF2→|=22>|F1F2|=2，
∴ 点P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为22的椭圆，
∴ a=2，c=1，
∴ b2=a2−c2=1，
∴ 轨迹E的方程为x22+y2=1 .
(2)由题意可知，直线l的斜率不为0，
则设直线l的方程为x=ky+1，
联立x=ky+1，x22+y2=1，
消去x，得k2+2y2+2ky−1=0 ，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则y1+y2=−2kk2+2，y1y2=−1k2+2，
∵ F2A→=λF2B→，
∴ y1y2=λ，且λ<0，
y1y2+y2y1+2=(y1+y2)2y1y2=−4k2k2+2，
即λ+1λ+2=−4k2k2+2，
又λ∈−2,−1，
∴ −52≤λ+1λ≤−2，
∴ −12≤λ+1λ+2≤0，
即−12≤−4k2k2+2≤0，
解得0≤k2≤27，
∵ TA→=x1−2,y1，TB→=x2−2,y2，
∴ TA→+TB→=(x1+x2−4,y1+y2)，
又y1+y2=−2kk2+2，
∴ x1+x2−4=ky1+y2−2=−4k2+1k2+2 ，
∴ |TA→+TB→|2=x1+x2−42+y1+y22
=16k2+12k2+22+4k2k2+22
=16k2+22−28k2+2+8k2+22
=16−28k2+2+8k2+22,
令t=1k2+2，
∵ 0≤k2≤27，
∴ 716≤1k2+2≤12，
即t=716,12，
∴ |TA→+TB→|2=ft=8t2−28t+16=8t−742−172 ，
又t∈716,12，
∴ ftmin=4 ，
∴ |TA→+TB→|min=2 .