福建省2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题北师大版

这是一份福建省2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题北师大版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若，则下列说法正确的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则

2. 已知集合A={−2, −1, 0, 1, 2, 3}, B={x|x2−2x−3<0},则A∩B=( )
A.{−1, 0}B.{0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{−2, −1, 0}

3. 在中，若，，则
A.B.C.D.

4. 在数列中，，，且，则( )
A.22B.−22C.16D.−16

5. 在 中，若，则 是( )
A.锐角三角形；B.直角三角形；
C.钝角三角形；D.直角三角形或钝角三角形

6. 若x，y满足 则x+2y的最大值为
A.1B.3C.5D.9

7. 在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为( )
A.2B.C.3D.

8. 已知不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A.B.
C.D.

9. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A.B.
C.D.

10. 已知数列的前项和为，且，，则( )
A.B.C.D.

11. 设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为( )
A.1009B.1010C.1011D.1012

12. 在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、填空题

若正数满足，则的最小值是________.

若不等式对一切恒成立，则的最小值是________．

在内角的对边满足，则的最小值为________.

设数列的前项和为，若，且，则________.
三、解答题

设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.
（1）求B的大小．

（2）若，，求b.

已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；

（2）各项均为正数的等比数列中，，，求的前项和.

已知数列的前项和为，且.
（1）求证：为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

如图，在四边形中，，且，，.

（1）求的面积；

（2）若，求的长.

如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB=ykm，并在公路同侧建造边长为xkm的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB=AC+1，且∠ABC=60．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，两条道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低？

已知数列的前项和为，，数列满足，点在直线上．
（1）求数列，的通项和；

（2）令，求数列的前项和；

（3）若，求对所有的正整数都有成立的的范围．
参考答案与试题解析
福建省2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
基本不等式
【解析】
代入特殊值可探究A．B,C三个选项是否正确，通过作差法得a3−b3=a−ba+12b2+34b2，结合已知条件，即可判断
a3,b3的大小关系．
【解答】
A：例如当a=0,b=−1,c=0,d=−1a>b,c>d成立，但是ac>bd不成立，故A错误
B：当c=0时，显然ac2>bc2不成立，故本选项说法不正确；
C：当a=−2,b=−1时，a1b=−1，故C错误．
D:a3−b3=a−ba2+ab+b2=a−ba+12b2+34b2]，因为a>b
所以a−b>0，又a+12b2+34b2>0，所以a3−b3>0，即a3>b3
故选：D．
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
由解得−1故==|M−1xA=−2,−1,0,1,2
A∩B=0,1,2．选B．
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
由sinC=2sinA利用正弦定理可得|AB=2BC，结合BC=5可得结果．
【解答】
利用正弦定理化简sinC=2sinA，得：AB=2BC
BC=5
AB=25，故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
【解析】
由数列的递推关系，带入a1,a2，即可求出a3，再将a2,a3带入，即可求出a4
【解答】
令n=2，则a3+2a2+a1=0，又a1=2a2=4，所以a3=−10；再令n=3，则a4+2a3+a2=0，所以a4=16，故
选C
5.
【答案】
B
【考点】
指数式、对数式的综合比较
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
由sinA−BcsB+csA−BsinB利用两角和的正弦公式，得到sinA=1，可得A=π2，从而可得结果．
详解：△ABC中，若sinA−BcsB+csA−BsinB≥1
则sinA−B+B=sinA≥1
∴sinA=1A=π2，故三角形是直角三角形，故选B．
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
二元一次不等式表示的区域
【解析】
试题分析：如图，画出可行域，
z=x+2y表示斜率为−12的一组平行线，当z=x+2y过点C3,3时，目标函数取得最大值zmax=3+2×3=9，故选D．
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
A
【考点】
等差数列与等比数列的综合
【解析】
由等差中项的性质可得6a5=a5+a,，又an为等比数列，所以6a1q4=a1q5+a1a5，化简整理可求出q的值．
【解答】
由题意知，又an为正项等比数列，所以6a1q4=a1q3+a1q5，且q>0，所以q2+q−6=0
所以q=2或q=−3（舍），故选A
8.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次不等式与一元二次方程
【解析】
根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出a,b的值，故不等式x2−bx−a<0即为x2−5x+6<0，从而可
求其解，从而得到正确的选项．
【解答】
…不等式ax2−bx−1≥0的解集是−12,−13
x=−12,x=−13是方程ax2−bx−1=0的两根，
∴ ba=−12+−13=−56−1a=−12×−13=16，解得a=−6b=5
…不等式x2−bx−a<0为x2−5x+6<0
解得2…不等式的解集为2,3
故选：A．
9.
【答案】
D
【考点】
基本不等式
【解析】
试题分析：x<0时，y=x+1x≤−2，故A错；
0x2+2≥2∴y=x2+2+1x2+2≥2中等号也取不到，故C错；
故选D．
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
A
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
利用数列an的通项与前》项和的关系，结合an+1=n+2nSnn∈N′可得an的递推公式，进而得到为等比数列
并求得通项，从而求得an的通项公式即可．
【解答】
因为an+1=n+2nSnn∈N ast，故．.nn+2an+1=Sn①，故当n≥2时，n−1n+1an=Sn−1……
①-②有nn+2an+1−n−1n+1an=an，化简可得an+1n+2=2⋅ann+1，故是以a12=1为首项，2为公比的等比数列．故
ann+1=2n−1，故an=n+12n−1
故选：A
11.
【答案】
C
【考点】
数列与函数最值问题
【解析】
对任意正整数口，都有|an|≥|ak|，a，为数列an中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前》项和公式，即可得
出结论．
【解答】
a1019>0,a116−a1111>00|an||a111，所以对任意正整数口，都有|an|≥|ak|
则k的值为1011
故选：C．
12.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
基本不等式在最值问题中的应用
解三角形
【解析】
根据余弦定理得到c=4bcsA，再根据正弦定理得到sinAcsB=3sinBcsA，故tanA=3tanB
tanAtanB⋅tanC−6tanA=343tanB−53tanB，计算得到答案
【解答】
由余弦定理及a2+2abcsC=3b2可得a2+d2−b2−c2=3b2
即2a2−b2=b2+c2，得2a2−b2=a2−2bccsA，整理得a2=b2+2bccsA
．a2=b2+c2−2bccsA，b22+2bcsA=b2+c2−2bccsA，得c=4bcsA
由正弦定理得sinC=4sinBcsA，又sinC=sinA+B∴sinA+B=4sinBcsA
整理得sinAcsB=3sinBcsA
易知在锐角三角形ABC中csA≠0csB≠0,∴tanA=3tanB，且tanB>0
：
tanAtanB⋅tanC−6tanA=33tan2B−14tanB+2tanB=343tanB−53tanB≥34×25=352
当且仅当tanB=53时等号成立．
故选：B．
二、填空题
【答案】
5
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
试题分析：∵ x+3y=5xy,x>0,y>0,∴15y+35x=1
3x+4y=3x+4y15y+35x=135+3x5y+12y5x≥135+23x5y⋅12y5x=5当且仅当3x5y=12y5x，即x=2y=1时取等号．
【答案】
一
【考点】
基本不等式
循环结构的应用
函数的概念
【解析】
试题分析：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12]成立，等价于a≥−x−1x对于一切x∈(0,12]成立．设fx=−x−1x，则
a≥fxn．因为函数fx在区间(0,12]上是增函数，所以fx加=f12=−52，所以a≥−52，所以4的最小值为−52
【解答】
此题暂无解答
【答案】
________、√-
3
【考点】
解三角形
基本不等式
【解析】
利用余弦定理结合基本不等式求解即可．
【解答】
根据题意，由a2+2b2=3c2得：c2=a2+2b23
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=a2+b2−a2+2b232ab=2a2+b26ab≥22ab6ab=23
当且仅当2a2=b，即b=2a时取等号
故答案为23
【答案】
−2020
【考点】
由递推关系证明数列是等差数列
【解析】
将an−1=Sn+1−Sn代入条件等式，得出{1Sn成等差数列，即可求出结论．
【解答】
∵ an+1=Sn+1−Sn∴1Sn1Sn−1=1Sn+1−Sn⋅1Sn−1=SnSn1−Sn
1Sn+1−1Sn=−1,∴1Sn是1S1为首项，公差为−1的等差数列，
1S1=1a1=−2,∴1Sn=−n−1,1Sn19=−2020
故答案为：一−10u_0
三、解答题
【答案】
（1）B—
（2）b=7
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
（1）由正弦定理，可得sinA=2sinBsinA，进而可求出sinB和角B；
（2）利用余弦定理，可得b2=a2+c2−2accsB，即可求出b．
【解答】
（1）由a=2bsinA，得sinA=2sinBsinA
因为sinA≠0，所以sinB=12
又因为B为锐角，所以B=π6
（2）由余弦定理，可得b2=a2+c2−2accsB=27+25−2×33×5×32=52−45=7，解得b=7
【答案】
（1）an=2n−2；
（2）Tn=n2−n+2n−1
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
（1）根据已知条件求出等差数列an的公差，即可求出an的通项公式；
（2）根据条件求出等比数列的通项公式，结合等差数列和等比数列的前．项和公式，即可得出结论．
【解答】
（1）设等差数列an的公差为d，
则a5−a2=3d=6．d=2
an=a2+n−2d=2n−2
（2）设等比数列bn的公比为9，
：b1+b3=a4=6，且b1=1
q+q2=6q=2或q=−3
又．an>0q=2bn=2r−1
an+bn=2n−2+2n−1
Tn=n0+2n−22+1−2n1−2=n2−n+2n−1
【答案】
（1）证明见解析，an=2n−1；
（2）Tn=n2n+1
【考点】
数列的求和
【解析】
（1）利用数列an的通项与前厂项和的关系，结合Sn=2an−1,n∈N′可得an的递推公式，进而得到an为等比数列并求
得通项．
（2）根据（1）可得an=2n−1，代入bn=lg2a2可得bn=2n−1，再利用裂项求和求解数列的前八项和即可．
【解答】
（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1
则an=2an−1,an≠0
当n=1时，a1=S1=2a1−1，即a1=1
数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，
an=2n−1
（2）bn=lg2an=lg222n−1=2n−1
1bbbn+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1
Tn=1b1b2+1b1b3+⋯+1bnb+1
=12[1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1
【答案】
(1)(45
（2）4+29
【考点】
三角形求面积
向量加减混合运算及其几何意义
余弦定理
【解析】
（1）根据csB=230S△ABD=12AD⋅CD⋅sinD求解．
（2）由（1）求得csD，然后利用余弦定理求得AC，设BC=x，结合AB=6，利用余弦定理，由
csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC求解．
【解答】
（1）∵csB=230sinB=53
又：∠D=2∠B
sinD=sin2B=2sinBcsB=459
S△ACD=12AD⋅CD⋅sinD=12×3×6×459=45
（2）由（1）得csD=cs2B=cs2B−sin2B=−19
由余弦定理可得AC=AD2+CD2−2AD⋅⋅D⋅csD=9+3662××3×6×19=7
设BC=x
∵ AB=6
整理得x2−8x−13=0
解得x=4+29或x=4−29（舍去）．
：BC的长为4+29
【答案】
（1）y=4x2−12x−1x>1;
（2）x=74时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低．
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
函数模型的选择与应用
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）利用题意结合余弦定理可得函数的解析式(y=4x2−12x−2，其定义域是1,+∞
（2）结合（1）的结论求得利润函数，由均值不等式的结论即可求得当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．
【解答】
（1）在△BCF中，CF=x,∠FBC=30∘,CF⊥BF，所以BC=2x
在△ABC中，AB=y,AC=y−1,∠ABC=60∘
由余弦定理，得AC2=BA2+BC2−2B.BCcs∠ABC
即y−12=y2+2x2−2y⋅2x⋅cs60∘
所以(y=4x2−12x−2
由AB−AC⋅BC，得2x>1,x>12．又因为(y=4x2−12x−2>0，所以x>1
所以函数(y=4x2−12x−2的定义域是1,+∞
（2）M=30⋅2y−1+40x
因为(y=4x2−12x−2(x>1)，所以(M=30⋅(2⋅4t2−12x−2−1)+40x
即M=10⋅12x2−3x−1+4x−1
令(t=x−1,则t>0．于是Mt=1016t+9t+25,t>0
由基本不等式得Mt≥10214+25=490
当且仅当(t=34，即(x=74时取等号．
答：当x=34km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元．
【答案】
（1）an=2n−2bn=2n−1；
（2）Tn=32−2n−31−1
（3）−x,22
【考点】
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）解：Sn=2a,−12，S1=2a1−12⇒a1=12，当n≥2时，Sn−1=2an−1−12，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，
an=2an−1n≥2,n∈N ast，∴ an是首项为a1=12，公比为2的等比数列，因此an=2n−2,n∈N′，当n=1时，满足
a1=S1，所以an=2n−2n∈N，因为Pbn,bn+1在直线x−y+2=0上，所以bn−bn+1+2=0，而b1=1，所以
bn=2n−1
（2）cn=an⋅bn=2n−12n−2n∈N ast，∴ Tn=12×1+1×3+2×5+⋯+2n−22n−1③，因此
2Tn=1×1+2×3+22×5+⋯+2n−22n−1+2r−12n−1④，③-④得：−Tn=12+21+2+22+⋯+2n−2−2n−12n−1
=12+2×1−2n−11−2−2n−12n−1=−32+2n−13−2n，∴ TL=32+2n−32r−1
（3）证明：由（1）知n≥1bna2n=22−2n2n−1．bn+1a2n−1−bna2n=2−2n2n+1−22−2n2n−1=2−2n5−6n<0n≥1，…数列
为单调递减数列；∴ 当n≥1时，ba2≥ba1=1即bnan最大值为1，由2λ2−kλ+2>1可得kλ<2λ2+1k<2λ+1λ
，而当λ>0时，2λ+1λ≥22当且仅当λ=22时取等号，．．ke−8,22