2022年中考数学专题复习类型十二 二次函数与圆的问题（解析版）

类型十二 二次函数与圆的问题

【典例1】如图，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M的半径为或

【解析】

【分析】

（1）已知抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；

（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N，根据△QCO是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛物线上；

（3）分两种情况①当⊙M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t，PM=t，将PM用t表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t，进而求得半径；②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示，令M点横坐标为m，因为PN=2MN，列出关于m的一元二次方程，即可求出m，进而求得⊙M的半径．

【详解】

（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过点A(﹣1,0)和点C(0,3)

∴

解得

∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+3

故答案为：y＝﹣x2+x+3

（2）在抛物线上找到一点Q，使得△QCO是等边三角形，过点Q作OM⊥OB于点M，过点Q作QN⊥OC于点N

∵△QCO是等边三角形，OC=3

∴CN=

∴NQ=

即Q(,)

当x=时，y＝﹣×()2+×+3=≠

∴Q(,)不在抛物线上

y＝﹣x2+x+3

故答案为：不存在，理由见解析

（3）①⊙M与y轴相切，如图所示

∵y＝﹣x2+x+3

当y=0时，﹣x2+x+3=0

解得x1=-1，x2=4

∴B(4,0)

令直线BC的解析式为y=kx+b

解得

∴直线BC的解析式为

令M点横坐标为t

∵MP∥y轴，⊙M与y轴相切

∴t=﹣t2+t+3-

解得t=

⊙M的半径为

②⊙M与x轴相切，过点M作MN⊥OB于N，如图所示

令M点横坐标为m

∵PN=2MN

∴

解得m=1或m=4（舍去）

∴⊙M的半径为：

故答案为：⊙M的半径为或

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质．

【典例2】将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．

（1）直接写出抛物线，的解析式；

（2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；

（3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点．

【答案】（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2）

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；

（2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况；

（3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，

∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2，

抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6．

（2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，

∵是等腰直角三角形，

∴∠BOA =45°，

又∵∠BDO=∠BAO=90°，

∴点A、B、O、D四点共圆，

∴∠BDA=∠BOA=45°，

∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，

∴是等腰直角三角形，

∴DC=AC．

∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，

∴抛物线的对称轴为x=2，

设点A的坐标为（x，x2-4x-2），

∴DC=x-2，AC= x2-4x-2，

∴x-2= x2-4x-2，

解得：x=5或x=0（舍去），

∴点A的坐标为（5，3）；

同理，当点B、点A在x轴的下方时，

x-2= -(x2-4x-2)，

x=4或x=-1（舍去），

∴点的坐标为（4，-2），

综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）．

（3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点，

∴，

∴x2-kx-6=0，

设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF，

∴xE+xF=k，

∴中点M的横坐标xM==，

中点M的纵坐标yM=kx=，

∴点M的坐标为（，）；

同理可得：点N的坐标为（，），

设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0），

将M（，）、N（，）代入得：

，

解得：，

∴直线MN的解析式为y= ·x+2（），

不论k取何值时（），当x=0时，y=2，

∴直线经过定点（0，2）．

【点睛】

本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线过点B且与直线相交于另一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标；

（3）点在x轴的正半轴上，点是y轴正半轴上的一动点，且满足．

①求m与n之间的函数关系式；

②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？

【答案】（1）；（2）或（3，）或（-2，-3）；（3）①；②0＜m＜

【解析】

【分析】

（1）利用一次函数求出A和B的坐标，结合点C坐标，求出二次函数表达式；

（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，当点P在x轴下方时，AP与y轴交于点Q，求出AQ表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P；

（3）①过点C作CD⊥x轴于点D，证明△MNO∽△NCD，可得，整理可得结果；

②作以MC为直径的圆E，根据圆E与线段OD的交点个数来判断M的位置，即可得到m的取值范围.

【详解】

解：（1）∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，

∴A（4，0），B（0，2），

∵抛物线经过B（0，2），，

∴，解得：，

∴抛物线的表达式为：；

（2）当点P在x轴上方时，点P与点C重合，满足，

∵，

∴，

当点P在x轴下方时，如图，AP与y轴交于点Q，

∵，

∴B，Q关于x轴对称，

∴Q（0，-2），又A（4，0），

设直线AQ的表达式为y=px+q，代入，

，解得：，

∴直线AQ的表达式为：，联立得：

，解得：x=3或-2，

∴点P的坐标为（3，）或（-2，-3），

综上，当时，点P的坐标为：或（3，）或（-2，-3）；

（3）①如图，∠MNC=90°，过点C作CD⊥x轴于点D，

∴∠MNO+∠CND=90°，

∵∠OMN+∠MNO=90°，

∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，

∴△MNO∽△NCD，

∴，即，

整理得：；

②如图，∵∠MNC=90°，

以MC为直径画圆E，

∵，

∴点N在线段OD上（不含O和D），即圆E与线段OD有两个交点（不含O和D），

∵点M在y轴正半轴，

当圆E与线段OD相切时，

有NE=MC，即NE2=MC2，

∵M（0，m），，

∴E（，），

∴=，

解得：m=，

当点M与点O重合时，如图，

此时圆E与线段OD（不含O和D）有一个交点，

∴当0＜m＜时，圆E与线段OD有两个交点，

故m的取值范围是：0＜m＜.

【点睛】

本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.

【典例4】如图10-1，已知点P是抛物线上的一个点，点D、E的坐标分别为(0, 1)、(1, 2)，连结PD、PE，求PD＋PE的最小值．

图10-1

【解析】点P不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．

设P，那么PD2＝．所以PD＝．

如图10-2，的几何意义可以理解为抛物线上的动点P到直线y＝－1的距离PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就转化为PH＋PE．

如图10-3，当P、E、H三点共线，即PH⊥x轴时，PH＋PE的最小值为3．

高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求证PD＝PH.

图10-2                                图10-3

【典例5】如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；

（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

【答案】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，

将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，

联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；

（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；

∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，

∴×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，解得：yR＝±④，

联立④③并解得，或

故点R的坐标为（1+，4）或（1﹣，4）或（1+，﹣4）或（1﹣，﹣4）；

（3）作△PEQ的外接圆R，

∵∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，

则△PRE为等腰直角三角形，

当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，

点M、D的坐标分别为（1，4）、（4，0），

则ME＝4，ED＝4﹣1＝3，则MD＝5，

过点R作RH⊥ME于点H，

设点P（1，2m），则PH＝HE＝HR＝m，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m），

S△MED＝S△MRD+S△MRE+S△DRE，即×EM•ED＝×MD×RQ+×ED•yR+×ME•RH，

∴×4×3＝×5×m+×4×m+×3×m，解得m＝60﹣84，故点P（1，120﹣168）．

【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的，则×AD×|yR|＝×OA×OB，则×6×|yR|＝×2×，即可求解；

（3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、面积的计算等，综合性强，难度较大．