2022年中考数学专题复习类型三 新解题方法型（解析版）

类型三新解题方法型

【典例1】求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数的一种方法——更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差(或减数)即为这两个正整数的最大公约数．

例如：求91与56的最大公约数

　91－56＝35

56－35＝21

35－21＝14

21－14＝7

14－7＝7

所以，91与56的最大公约数是7.

请用以上方法解决下列问题：

(1)求108与45的最大公约数；

(2)求三个数78、104、143的最大公约数．

【解答】解：(1)108－45＝63

63－45＝18

45－18＝27

27－18＝9

18－9＝9

所以，108与45的最大公约数是9；

(2)①先求104与78的最大公约数，

104－78＝26

78－26＝52

52－26＝26

所以，104与78的最大公约数是26；

②再求26与143的最大公约数，

143－26＝117

117－26＝91

91－26＝65

65－26＝39

39－26＝13

26－13＝13

所以，26与143的最大公约数是13.

综上所述，78、104、143的最大公约数是13.

【典例2】数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究：求不等式|x－1|< 2的解集

(1)探究|x－1|的几何意义

【解答】如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x－1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x－1|，可记为A′O＝|x－1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1.因为AB＝A′O，所以AB＝|x－1|.因此，|x－1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.

第2题图

 (2)求方程|x－1|＝2的解

【解答】因为数轴上3和－1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，－1.

(3)求不等式|x－1|<2的解集

因为|x－1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．

请在图②的数轴上表示|x－1|<2的解集，并写出这个解集．

【解答】 解：在数轴上表示如解图所示．

第2题解图

所以，不等式的|x－1|<2的解集为－1<x<3.

【典例3】古希腊数学家丢番图(公元250年前后)在《算术》中提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a＞0，b＞0)的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解．

(1)请用含字母a、b的代数式表示AD的长．

(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．

第3题图

 【解答】解：(1)∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b，

∴AB＝，

∴AD＝－＝

；

(2)用求根公式求得：

x1＝；

x2＝

故AD的长就是方程的正根，

遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．

【典例4】请你阅读引例及其分析解答，希望能给你以启示，然后完成对探究一和探究二的解答．

引例：设a，b，c为非负实数，求证：＋＋≥(a＋b＋c)，

分析：考虑不等式中各式的几何意义，我们可以试构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究．

解：如图①，设正方形的边长为a＋b＋c，

则AB＝，BC＝，CD＝，

显然AB＋BC＋CD≥AD，

∴＋＋≥(a＋b＋c)．

探究一：已知两个正数x，y，满足x＋y＝12，求＋的最小值(图②仅供参考)；

探究二：若a，b为正数，求以，，为边的三角形的面积．

第4题图

【解答】解：探究一：如解图①，构造矩形AECF，并设矩形的两边长分别为12，5，

第4题解图①

则x＋y＝12，AB＝，

BC＝，

显然AB＋BC≥AC，

当A，B，C三点共线时，AB＋BC最小，

即＋的最小值为AC，

∵AC＝＝13，

∴＋的最小值为13；

第4题解图②

探究二：如解图②，设矩形ABCD的两边长分别为2a，2b，E，F分别为AB，AD的中点，

则CF＝，CE＝，

EF＝，

设以，，为边的三角形的面积为S△CEF，

∴S△CEF＝S矩形ABCD－S△CDF－S△AEF－S△BCE

＝4ab－×2a×b－ab－a×2b

＝ab，

∴以，，为边的三角形的面积为ab.