2020-2021学年安徽省高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省高二（上）期中考试数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在平面直角坐标系中，直线y=−3x+1的倾斜角为( )
A.π3B.2π3C.3π4D.5π6

2. 为了了解1500名社区成员早锻炼情况，对他们随机编号为1，2，⋯，1500号，从中抽取一个容量为50的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔k为( )
A.20B.30C.40D.50

3. 已知直线x+2ay−1=0与直线3a−1x−y−1=0垂直，则a的值为( )
A.0B.16C.1D.13

4. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的标准方程为( )
A.x−22+y2=4B.x+22+y2=4C.x−12+y2=4D.x+12+y2=4

5. 直线y=ax+a−1a∈R所过定点的坐标为( )
A.−1,−1B.−1,1C.1,−1D.1,1

6. 已知x，y的取值如下表，从散点图知，x，y线性相关，且 y=bx+0.7，则下列说法正确的是( )
A.回归直线一定过点(2.2,2.2)
B.x每增加1个单位，y就增加1个单位
C.当x=6时，y的预报值为4.3
D.x每增加1个单位，y就增加0.7个单位

7. 已知圆C的方程为 x2+y2−2x+6y+1=0 ，点P在圆C上，O是坐标原点，则 |OP| 的最小值为( )
A.3B.10−3C.3−3D.22−2

8. 已知点Px,y在圆C:x2+y−12=16 上，则z=x2+y2−8x−8y+32的最小值为( )
A.1B.2C.3D.2

9. 点 P(1,2) 在圆 x2+y2−4x+2y+F=0 的内部，若圆中以P为中点的弦长为2，则 F=( )
A.−6B.−7C.−8D.−9

10. 把直线y=x，y=−x，x=1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为( )
A.π3B.2π3C.4π3D.2π

11. 已知过点M2,−4 的直线l与圆C：x−12+y+22=5相切，且与直线m:ax−2y+3=0垂直，则实数a的值为( )
A.4B.2C.−2D.−4

12. 已知直线l:x−3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=( )
A.2B.3C.72D.4
二、填空题

运行如图所示的程序框图，输出的结果S=________.


现有红球n个，白球350个，用分层抽样方法从中随机抽取120个小球，其中抽出的红球有50个，则n=________.

已知直线3x+2y−3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是________.

若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则b的取值范围是________.
三、解答题

根据下列条件，求直线方程：
(1)过点A1,2，且倾斜角是直线y=x+3的倾斜角的2倍；

(2)经过点P3,2，且在两坐标轴上的截距相等．

若点 A(−2,−1) 与点 B(3,2) 到直线 ax+y+1=0 的距离相等，求a的值.

某校为了增强学生的爱国情怀，举办爱国教育知识竞赛，从参见竞赛的学生中抽出60人，将其成绩分为六段[40, 50)，[50, 60)⋯，[90, 100]后画出如图频率分布直方图．观察图形，回答下列问题：

(1)估计这次考试的众数m与中位数n（结果保留一位小数）；

(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）．

求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在x轴上，且圆过两点A(1, 4)，B(3, 2)；

(2)圆心在直线2x+y=0上，且圆与直线x+y−1=0切于点M(2, −1)．

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.收集数据如下：

(1)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a，参考公式如下：
b=i=1n (xi−x¯)(yi−y¯)i=1n (xi−x¯)2，a=y¯−bx¯，x¯=x1+x2+⋯+xnn，y=y1+y2+⋯+ynn；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2分钟，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？

已知圆M:x2+y2−2x−6y−6=0，直线l:3x−4y+m=0平分圆M．
(1)求直线l的方程；

(2)设点A(−5, 3)，圆M的圆心是点M，对圆M上任意一点P，在直线AM上是否存在与点A不重合的点B，使|PB||PA|是常数？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高二（上）期中考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由于直线y=−3x+1的斜率k=−3可利用直线的倾斜角与斜率的关系再结合倾斜角的范围即可得解．
【解答】
解：设直线y=−3x+1的倾斜角为α，
∵ 直线y=−3x+1，
∴ 斜率k=−3=tanα.
又∵ α∈[0, π)，
∴ α=2π3.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
由系统抽样法，分段间隔为150050=30．
【解答】
解：∵ N=1500，n=50，
∴ k=150050=30.
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
3a−1−2a−0,a=1 .
【解答】
解：由题意得，3a−1−2a=0，
a=1 .
故选C .
4.
【答案】
A
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
设圆C的标准方程为：x−a2+y2=4a>0,有|3x+4|5=2解得a=2，故圆C的标准方程为：x−22+y2=4 .
【解答】
解：设圆C的标准方程为：x−a2+y2=4a>0，圆心(a,0)，
有|3a+4|5=2，
解得a=2，
故圆C的标准方程为：x−22+y2=4 .
故选A .
5.
【答案】
A
【考点】
直线恒过定点
【解析】
利用直线方程变形可得过定点.
【解答】
解：由题设直线方程变形为：y+1=ax+1，
令x+1=0,y+1=0,
解得：x=−1,y=−1,
即所过定点为−1,−1.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
回归分析的初步应用
【解析】
利用线性回归方程恒过x¯,y¯，得回归方程，逐项判定得解.
【解答】
解：由题设得x¯=1+2+3+44=2.5，
y¯=1.4+1.8+2.4+3.24=2.2，则回归方程为y=0.6x+0.7.
对于A，直线一定过(2.5,2.2)，故A错误.
对于B，D，x每增加一个1单位，y大约增加0.6个单位，故B，D错误.
对于C，将x=6代入得y=4.3，故C正确.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的标准方程
两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆C： x2+y2−2x+6y+1=0，
可化为(x−1)2+(y+3)2=9，
|OP|min=12+32−3=10−3.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
与圆有关的最值问题
两点间的距离公式
【解析】
直接利用z的几何意义，即可得到答案.
【解答】
解：∵ z=x2+y2−8x−8y+32 =x−42+y−42，
则几何意义为圆上点到定点D4,4的距离，
又CD=4−02+4−12=5，
∴ z最小值为5−4=1.
故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
两点间的距离公式
圆的标准方程与一般方程的转化
圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将圆x2+y2−4x+2y+F=0化为标准方程为： (x−2)2+(y+1)2=−F+5 ，
点P到圆心的距离为 (1−2)2+(2+1)2=10,
∴ −F+5=10+1 ，
解得F=−6.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意知该旋转体是一个圆柱体内挖掉两个全等的圆锥，
结合题意求出旋转体的体积为．
【解答】
解：由题意知，
该旋转体为底面半径是1，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为1，高为1的圆锥，
则所得旋转体的体积为V=V圆柱−2V圆锥=π⋅12⋅2−2⋅13⋅π⋅12⋅1=4π3．
故选C.
11.
【答案】
D
【考点】
直线与圆的位置关系
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
圆心C()1,−2，半径为5，而lMC=1−2+−2+42=3，所以点M在圆C上．因为直线l写圆相切，所以直线l⊥MC，又直线l⊥m，所以a2=−4+22−1=−2，∴ a=−4 .
【解答】
解：圆心C(1,−2)，半径为5，
因为MC=1−22+−2+42=5，
所以点M在圆C上．
因为直线l与圆相切，所以直线l⊥MC.
又直线l⊥m，所以a2=−4+22−1=−2，
所以a=−4 .
故选D .
12.
【答案】
D
【考点】
直线与圆相交的性质
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,0，Dx4,0，
由x−3y+6=0得x=3y−6，
代入圆的方程并整理，得y2−33y+6=0，
解得y1=23，y2=3，
所以x1=0，x2=−3．
所以直线AC的方程为y−23=−3x，
令y=0得x3=2；
直线BD的方程为y−3=−3(x+3)，
令y=0得x4=−2．
则|CD|=|x3−x4|=4．
故选D.
二、填空题
【答案】
14
【考点】
程序框图
【解析】
利用程序框图，读懂题意得解.
【解答】
解：由题设得a=x−y=8，S=S+a=8，满足a>2，
x=5，y=9，a=5−9=4，S=S+a=8+4=12，满足a>2，
x=3，y=5，a=3−5=2，
S=S+a=12+2=14，不满足a>2.
故输出S的值为14.
故答案为：14.
【答案】
250
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】
解：根据分层抽样的定义可得： 50120=nn+350⇒n=250．
故答案为：250．
【答案】
71326
【考点】
两条平行直线间的距离
【解析】
根据两条直线平行，一次项的系数对应成比例，求得m的值，再根据两条平行线间的距离公式求得它们之间的距离．
【解答】
解：直线3x+2y−3=0即 6x+4y−6=0，
根据它和6x+my+1=0互相平行，可得66=4m，故m=4．
可得它们间的距离为d=|1−(−6)|62+42=71326.
故答案为：71326.
【答案】
[1−22,3]
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
曲线即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3)，表示以A(2, 3)为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得b．结合图象可得b的范围．
【解答】
解：曲线y=3−4x−x2，即(x−2)2+(y−3)2=4(1≤y≤3,0≤x≤4)，
表示以A(2, 3)为圆心，以2为半径的一个半圆．
如图所示：
因为直线与曲线有公共点，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，
可得|2−3+b|2=2，
所以b=1+22，或b=1−22．
结合图象可得1−22≤b≤3.
故答案为：[1−22,3].
三、解答题
【答案】
解：(1)直线y=x+3的斜率为k=1，倾斜角为π4，
故所求直线倾斜角为π2，
所以所求直线方程为x=1．
(2)①当直线过原点时，所求直线方程为y=23x；
②当直线不过原点时，斜率为−1，
设所求直线方程为：xa+yb=1，
因为在两坐标轴上的截距相等，
所以所求直线方程为：3a+2a=1，
解得a=5,
所以y=−x+5.
综上，所求直线方程为y=23x或y=−x+5．
【考点】
直线的倾斜角
直线的截距式方程
直线的斜率
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)直线y=x+3的斜率为k=1，倾斜角为π4，
故所求直线倾斜角为π2，
所以所求直线方程为x=1．
(2)①当直线过原点时，所求直线方程为y=23x；
②当直线不过原点时，斜率为−1，
设所求直线方程为：xa+yb=1，
因为在两坐标轴上的截距相等，
所以所求直线方程为：3a+2a=1，
解得a=5,
所以y=−x+5.
综上，所求直线方程为y=23x或y=−x+5．
【答案】
解：①当直线过AB中点时，
A，B到直线距离相等，AB中点为 (12,12).
∴12a+12+1=0，
∴a=−3；
②当AB与直线平行时，A，B到直线距离相等，
−a=kAB=−−1−2−2−3=35,
∴a=−35.
经检验 a=−3或 a=−35.
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
两条平行直线间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①当直线过AB中点时，
A，B到直线距离相等，AB中点为 (12,12).
∴12a+12+1=0，
∴a=−3；
②当AB与直线平行时，A，B到直线距离相等，
−a=kAB=−−1−2−2−3=35,
∴a=−35.
经检验 a=−3或 a=−35.
【答案】
解：(1)∵ 众数是最高小矩形中点的横坐标，
∴ 众数为m=75（分）；
由题易知a=1−(0.03+0.025+0.01+0.005)×102÷10=0.015，
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，
∵ 中位数要平分直方图的面积，
∴ n=70+0.5−≈73.3.
(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
故抽样学生成绩的合格率是75% .
【考点】
众数、中位数、平均数
用样本的频率分布估计总体分布
【解析】
（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为m=75
（2）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）为右边四个小矩形面积之和．平均数为各小矩形面积与底边中点横坐标乘积的和．
【解答】
解：(1)∵ 众数是最高小矩形中点的横坐标，
∴ 众数为m=75（分）；
由题易知a=1−(0.03+0.025+0.01+0.005)×102÷10=0.015，
前三个小矩形面积为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4，
∵ 中位数要平分直方图的面积，
∴ n=70+0.5−≈73.3.
(2)依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 (0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75，
故抽样学生成绩的合格率是75% .
【答案】
解：(1)∵ 圆心在x轴上，
∴ 设圆心坐标为C(a, 0)，
则|AC|=|BC|，
即(a−1)2+16=(a−3)2+4，
即(a−1)2+16=(a−3)2+4，
解得a=−1，
即圆心为(−1, 0)，
半径r=|AC|=(−1−1)2+16=25，
则圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.
(2)设圆心坐标为(a, b)，
则2a+b=0,|a+b−1|2=(a−2)2+(b+1)2,
解得a=1，b=−2，
∴ r=2，
∴ 圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=2．
【考点】
直线和圆的方程的应用
直线与圆的位置关系
圆的标准方程
两点间的距离公式
【解析】
（1）求出圆心和半径，即可求圆C的方程；
（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x+y=0上得出一个方程；再由圆心到直线x+y−1=0的距离即半径得出另一个方程．
【解答】
解：(1)∵ 圆心在x轴上，
∴ 设圆心坐标为C(a, 0)，
则|AC|=|BC|，
即(a−1)2+16=(a−3)2+4，
即(a−1)2+16=(a−3)2+4，
解得a=−1，
即圆心为(−1, 0)，
半径r=|AC|=(−1−1)2+16=25，
则圆的标准方程为(x+1)2+y2=20.
(2)设圆心坐标为(a, b)，
则2a+b=0,|a+b−1|2=(a−2)2+(b+1)2,
解得a=1，b=−2，
∴ r=2，
∴ 圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=2．
【答案】
解：(1)由题意，计算可知x¯=30，y¯=74，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5.
(2)由(1)可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，(1)中所得的线性回归方程可靠.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）由题意，计算可知x¯=30，y¯=3735，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5；

（2）由（1）可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=20时，|1320×20+54.5−67|=0.5<2；
当x=30时，|1320×30+54.5−75|=1<2；
当x=40时，|1320×40+54.5−80|=0.5<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，（1）中所得的线性回归方程可靠.
【解答】
解：(1)由题意，计算可知x¯=30，y¯=74，
进一步可求出b=1320，a=54.5，
从而y关于x的线性回归方程为y=1320x+54.5.
(2)由(1)可知，当x=10时，|1320×10+54.5−62|=1<2；
当x=50时，|1320×50+54.5−89|=2；
于是由估计数据与检验数据的误差不超过2分钟可知，(1)中所得的线性回归方程可靠.
【答案】
解 ：(1)圆M的标准方程为(x−1)2+(y−3)2=16，
因为直线l:3x−4y+m=0平分圆M，所以直线l经过圆M的圆心(1, 3)，
所以3−12+m=0，得m=9，
从而可得直线l的方程为3x−4y+9=0；
(2)存在.
理由：点M(1, 3)，A(−5, 3)，直线AM方程为y=3，
假设存在点B(t, 3)(t≠−5)，满足条件.
设P(x, y)，则有(x−1)2+(y−3)2=16，
|PA|2=(x+5)2+(y−3)2=(x+5)2+16−(x−1)2=12x+40，
|PB|2=(x−t)2+(y−3)2=(x−t)2+16−(x−1)2=(2−2t)x+t2+15,
当|PB||PA|是常数时，|PB|2|PA|2=(2−2t)x+t2+1512x+40是常数，
∴ 2−2t12=t2+1540，
∴ (3t+5)(t+5)=0.
∵ t≠−5，∴ t=−53，
∴ 存在B(−53,3)满足条件．
【考点】
直线和圆的方程的应用
两点间的距离公式
【解析】
（1）结合直线l平分圆，则可知该直线过圆心，代入圆心坐标，计算参数，即可．
（2）结合A，M坐标，计算直线AM方程，采取假设法，假设存在该点，计算|PA|2|PB|2，对应项成比例，计算参数t，即可．
【解答】
解 ：(1)圆M的标准方程为(x−1)2+(y−3)2=16，
因为直线l:3x−4y+m=0平分圆M，所以直线l经过圆M的圆心(1, 3)，
所以3−12+m=0，得m=9，
从而可得直线l的方程为3x−4y+9=0；
(2)存在.
理由：点M(1, 3)，A(−5, 3)，直线AM方程为y=3，
假设存在点B(t, 3)(t≠−5)，满足条件.
设P(x, y)，则有(x−1)2+(y−3)2=16，
|PA|2=(x+5)2+(y−3)2=(x+5)2+16−(x−1)2=12x+40，
|PB|2=(x−t)2+(y−3)2=(x−t)2+16−(x−1)2=(2−2t)x+t2+15,
当|PB||PA|是常数时，|PB|2|PA|2=(2−2t)x+t2+1512x+40是常数，
∴ 2−2t12=t2+1540，
∴ (3t+5)(t+5)=0.
∵ t≠−5，∴ t=−53，
∴ 存在B(−53,3)满足条件．x
1
2
3
4
y
1.4
1.8
2.4
3.2
实验顺序
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
零件数x（个）
10
20
30
40
50
加工时间y（分钟）
62
67
75
80
89