2021届山西省名校联考高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届山西省名校联考高三理数三模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数三模试卷
一、单项选择题
1.复数z满足 ，那么 〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
2.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                B.                C.                D. 
3.△ABC的重心为O ， 那么向量 〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
4.某公交公司推出扫码支付乘车优惠活动，活动为期两周，活动的前五天数据如下表：
第 天
1
2
3
4
5
使用人数( )
15
173
457
842
1333
由表中数据可得y关于x的回归方程为 ，那么据此回归模型相应于点〔2，173〕的残差为〔    〕
A. -5                                          B. -6                                          C. 3                                          D. 2
5. ，设函数 的图象在点 处的切线为l ， 那么l过定点〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
6.?九章算术?卷七“盈缺乏〞有这样一段话：“今有良马与驽马发长安至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增十三里.驽马初日行九十七里，日减半里.〞意思是：今有良马与驽马从长安出发到齐国.齐国与长安相距3000里.良马第一日走193里，以后逐日增加13里.驽马第一日走97里，以后逐日减少0.5里.那么8天后两马之间的距离为〔    〕
A. 1055里                               B. 1146里                               C. 1510里                               D. 1692里
7.设直线 与抛物线 相交于 ､ 两点， 为坐标原点，假设 ，那么 面积的取值范围是〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
8.如图，在棱长为4的正方体 ，中， ， 分别为棱 ， 的中点，过 ， ， 三点作正方体的截面，那么以 点为顶点，以该截面为底面的棱锥的体积为〔    〕

A.                                        B. 8                                       C.                                        D. 
9.函数 ，用 表示a ， b中的最大值，那么函数 的零点个数为〔    〕
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
10.如图，双曲线 ： 的右焦点为 ，点 ， 分别在 的两条渐近线上， 轴， ， ( 为坐标原点)，那么 的离心率为〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
11.分子间作用力存在于分子与分子之间或惰性气体原子之间，在一定条件下两个惰性气体原子接近，那么彼此因静电力作用产生极化，从而导致有相互作用力，称为范德瓦尔斯作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ， 这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ， 且 ，其中 为静电常量， 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，且 的绝对值远小于 ．当x的值接近于0时，在近似计算中 ，那么U的近似值为〔    〕
A.                         B.                         C.                         D. 
12.四棱锥 的五个顶点都在球 的球面上， 平面 ，底面 是高为 的等腰梯形， ， ， ，那么球 的外表积为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
13.的展开式中 的系数为________.
14.等比数列 的前 项和为 ，假设 ， ， ，那么 ________.
15. ， 满足约束条件 .当且仅当 ， 时， 取得最小值，其中 ， ，那么 的最大值为________.
16.函数 ， .对于不相等的正实数 ， ，设 ， ，现有如下命题：
①对于任意不相等的正实数 ， ，都有 ；
②对于任意的a及任意不相等的正实数 ， ，都有 ；
③对于任意的a，存在不相等的正实数 ， ，使得 ；
④对于任意的a，存在不相等的正实数 ， ，使得 .
其中真命题有________(写出所有真命题的序号).
三、解答题
17.如图，平面四边形 内接于一个圆，且 ， ， 为钝角， .

〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求 的面积.
18.如图，正三棱柱 中， ， ， ， 分别是棱 ， 的中点， 在侧棱 上，且 .

〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
19.2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年〞的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项为哪一项结合稳固深化“不忘初心､牢记使命〞主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导党员干部学党史､悟思想､办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如以下列图的频率分布直方图.

〔1〕现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为 ，试求随机变量 的分布列及期望；
〔2〕由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ，经计算 .现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据： ， ， ， .
20.椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ， ，点 ， 分别为 的右顶点和上顶点，假设 的面积是 的面积的3倍，且 .
〔1〕求 的标准方程；
〔2〕假设过点 且斜率不为0的直线与 交于 ， 两点，点 在直线 上，且 与 轴平行，求证：直线 恒过定点.
21.函数 有两个零点 ， .
〔1〕求实数 的取值范围；
〔2〕证明： .
xOy中，曲线 ，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
〔1〕求曲线 的参数方程与 的直角坐标方程；
〔2〕设点A ， B分别为曲线 与 上的动点，求 的取值范围．
23.函数 ．
〔1〕假设 ，试求不等式 的解集；
〔2〕假设 恒成立，求实数m的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 ，
故答案为：C

【分析】 利用共轭复数的定义、复数的运算法那么即可得出.
2.【解析】【解答】因为 ，由于 ，所以 ，故
所以
，
那么 或 ，
故 或 ，
故答案为：B.

【分析】 先分别求出集合A，B,以及B的补集，由此能求出 。 
3.【解析】【解答】设 分别是 的中点，

由于 是三角形 的重心，
所以 .
故答案为：C

【分析】根据重心的知识，结合向量减法和数乘运算，即可得出答案。
4.【解析】【解答】令 ，那么 ，

1
4
9
16
25
使用人数( )
15
173
457
842
1333
， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， ，
所以残差为 .
故答案为：B

【分析】 先计算出m的值,然后求出估计值,最后计算残差即可.
5.【解析】【解答】由 ， ， ，故过 处的切线方程为： ，故l过定点 .
故答案为：A

【分析】求得f (x)的导数，可得切线的斜率，再求出f(1)，由点斜式方程可得切线的方程，再结合直线系方程得答案.
6.【解析】【解答】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数那么构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，
那么两马同时出发后第8日，良马日行里数 〔里〕，
而驽马日行里数 〔里〕，
所以良马较驽马日行里数多 〔里〕．
故答案为：B．

【分析】良马日行里数构成以193为首项，13为公差的等差数列；驽马日行里数那么构成以97为首项，-0.5为公差的等差数列，再根据等差数列前n项和公式进行计算，即可得出答案。
7.【解析】【解答】因为直线 与抛物线 相交于 ､ 两点，所以该直线斜率不为零，
设该直线的方程为 ，其中 不同时为零；设 ､ ，
由 可得 ，
那么 ， ，即 ；
因此 ，
又 ，所以 ，即 ，解得 ；
所以 ；
又点 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，
即 面积的取值范围是 .
故答案为：D.

【分析】设该直线的方程为 ，根据求出n，再把面积用m来表示即可得到面积的取值范围。
8.【解析】【解答】延长 交于点 ，连接 交 于 ，那么平面 为所求截面，

故 ，
故答案为：B.

【分析】找出截面四边形，把所求几何体的体积转化为两个三棱锥体积求解。
9.【解析】【解答】分三种情况讨论：
① 当 时， ，所以 ，故 无零点；
② 当 时， ， ，所以 ，故 是 的零点；
③ 当 时， ，所以 的零点就是 的零点.
显然， 在 上单调递减，且 ， ，
故 在 内有唯一零点，即 在 内有唯一零点.
综上可知，函数 在 时有2个零点.
故答案为：C.

【分析】分 ， ， 三种情况讨论可得结果。
10.【解析】【解答】因为直线 ： ，所以 ，因为 ，所以 ，
由于直线 ： ，且 ，所以 ，所以直线 ： ，
因此 ，解得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以离心率 .
故答案为：C.

【分析】 写出BF所在直线方程，与直线OB方程联立解得B的坐标，求出A的坐标，可得AB所在直线的斜率，利用AB⊥OB,即可列式求解双曲线的离心率.
11.【解析】【解答】根据题意，
 
 
；
故答案为：A．

【分析】 根据题意,由题中给出的公式进行变形分析,即可得到答案.
12.【解析】【解答】取 的中点 ，过 作 面 ，如图，

因为 ， ， ， ,
所以在 中， ,
所以 ，
由余弦定理可知， ，
故 ,
设底面ABCD外接圆半径为r ， 圆心为M ， 球О的半径为R ，
由正弦定理知 故 ，
又因为 平面
所以
所以球 的外表积为
故答案为：D

【分析】由题意可得底面等腰梯形的外接圆的半径，过底面外接圆的圆心E作垂直于底面的直线，那么外接球的球心在此直线上，在两个三角形中求出外接球的半径。
二、填空题
13.【解析】【解答】 的展开式中 的系数为
故答案为：840

【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，求得   的展开式中 的系数.
14.【解析】【解答】因为 ，那么 ，
又由 ， ，得 ，解得 ，
那么 .
故答案为： .

【分析】由结合等比数列的通项公式及求和公式，即可直接求解。
15.【解析】【解答】作出约束条件 对应的平面区域如图中区域I，
由 解得 ，即点 ；
又 表示点 与平面区域I中的点 之间距离的平方，
过点 作 与直线 垂直，交 轴于点 ；过点 作 与直线 垂直，交 轴于点 ；
那么 所在直线方程为 ，即 ；
所在直线方程为 ，即
故 ， ；
因为当且仅当 ， 时， 取得最小值，且 ， ，
所点 所在的区域只能为区域II，即 所在区域〔含边界〕；
又 表示点 到原点距离的平方，由图可知： ，
即 的最大值为 .

故答案为： .

【分析】 由约束条件作出可行域，再由题意求出点(a, b)的范围，数形结合得到使 取最大值的点，求出点的坐标，那么答案可求.
16.【解析】【解答】对于①，由对数函数的单调性可得 在 上递增，即有 ，那么命题①正确；
对于②，由二次函数的单调性可得 在 递减，在 ， 递增，那么 不恒成立，那么命题②错误；
对于③，由 ，可得 ，即为 ，
考查函数 ，即对于任意的 ，存在不相等的正实数 ， ， ，即函数 在 上不单调， ，对于函数 ， 时， ， ， 先单调递减后单调递增，所以命题③正确；
对于④，由 ，可得 ，即 ，考查函数 ，即对于任意的 ，存在不相等的正实数 ， ， ，即函数 在 上不单调， ，当 时， ，函数 单调递增，所以命题④不正确．
故答案为：①③

【分析】 运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数，  求出导数判断单调性，即可判断③；通过函数，  求出导数判断单调性，即可判断④.
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 根据条件，在△ABD中，运用正弦定理，即可求解；
(2)根据条件，运用余弦定理，以及三角形面积公式，即可求解.
18.【解析】【分析】 (1)推导出AA1⊥BN，BN⊥AC，从而BN⊥平面AA1C1C，进而BN⊥ME，推导出   ，从而  ，进而EN⊥ME，ME⊥平面BEN，由此能证明平面MEB⊥平面BEN.
(2) 以  为原点，   ，    ，   所在直线分别为  轴，  轴，  轴建立如以下列图空间直角坐标系   ， 利用向量法能求出平面BEN与平面BCM所成的锐二面角的余弦值.
19.【解析】【分析】 (1)先求出随机变量ξ的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
(2)由题意先求出μ和σ，然后利用正态分布的对称性求出 的概率，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量   ， 那么   ， 其中   ， 通过作商法比较 和的大小，即可得到答案.
20.【解析】【分析】 (1)由  的面积是  的面积的3倍 ，且   ,得 解得a, c，即可得出答案；
(2) 设直线  的方程为   ，    ，    ， 联立椭圆的方程，结合韦达定理可得   ，    ， 那么 ， 写出直线MP的方程，令y=0,得 ， 化简可得 ，  即可得出答案.
21.【解析】【分析】 (1)对f (x)求导，再对a分类讨论，利用导数与单调性的关系求出f (x )的单调性与最值，再结合题意可求得a的取值范围；
(2)由题意得    ， 令   ， 从而可得 ， 分析可得要证   即证 ，令    ，  利用导数求出h (t)的单调性，从而可得h(t) < 2即可得证.
22.【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用两点间的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和二次函数性质的应用求出结果.
23.【解析】【分析】 (1)假设 ， 去掉绝对值符号，转化为分段函数，分段求解不等式f(x)≤8,最后取并即可;
(2)利用绝对值不等式可得 ， 依题意,解不等式|7m|≥7可得实数m的取值范围.