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2021届上海市青浦区高三上学期数学一模试卷及答案

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这是一份2021届上海市青浦区高三上学期数学一模试卷及答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三上学期数学一模试卷

一、单项选择题

1. ，那么“ 〞是“ 〞的〔〕

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2.类比平面内“垂直于同条一直线的两条直线互相平行〞的性质，可推出空间中有以下结论：

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；③垂直于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．其中正确的选项是〔〕

A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④

3.顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，那么的值为〔〕

A. B. C. D.

4.设函数，其中是实数集的两个非空子集，又规定，，那么以下说法：
〔1〕一定有；〔2〕假设，那么；〔3〕一定有；〔4〕假设，那么 .
其中正确的个数是〔〕

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题

5.集合，，那么 ________.

6.函数的反函数是________.

7.行列式中，元素3的代数余子式的值是________

8.复数满足，那么 ________.

9.圆锥底面半径为，母线长为，那么其侧面展开图扇形的圆心角 ________.

10.等差数列的首项，公差，其前项和为，那么 ________.

11.我国南北朝数学家何承天创造的“调日法〞是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的缺乏近似值和过剩近似值分别为和，那么是的更为精确的近似值.己知，试以上述的缺乏近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法〞后可得的近似分数为________.

12.在二项式的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，那么a的值是________．

13.点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，那么的值为________.

14.盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，那么这两个球的编号之积为偶数的概率是________〔结果用最简分数表示〕．

15.记为数列在区间中的项的个数，那么数列的前项的和 ________.

16.向量的模长为1，平面向量满足：，那么的取值范围是________.

三、解答题

17.如图，在长方体中，，，点P为棱的中点.

〔1〕证明：平面PAC；

〔2〕求异面直线与AP所成角的大小.

18.设函数，为常数.

〔1〕假设为偶函数，求的值；

〔2〕设，，为减函数，求实数的取值范围.

19.如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△ 区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段〔含端点〕上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记〔弧度〕，监控摄像头的可视区域△ 的面积为平方米．

〔1〕分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围；

〔2〕求的最小值．

20.动点到直线的距离比到点的距离大 .

〔1〕求动点所在的曲线的方程；

〔2〕点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

〔3〕点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.

21.假设无穷数列和无穷数列满足：存在正常数A，使得对任意的，均有，那么称数列与具有关系．

〔1〕设无穷数列和均是等差数列，且，，问：数列与是否具有关系？说明理由；

〔2〕设无穷数列是首项为1，公比为的等比数列，，，证明：数列与具有关系，并求A的最小值；

〔3〕设无穷数列是首项为1，公差为的等差数列，无穷数列是首项为2，公比为的等比数列，试求数列与具有关系的充要条件．

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】当时，可得，整理得到，即，

当时，，，此时，

所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件，

故答案为：B.

【分析】由得到，解得，根据充分条件必要条件的定义进行判断即可。

2.【解析】【解答】垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、或异面，①错误；

垂直于同一个平面的两条直线互相平行，由直线与平面平行的性质知②正确；

垂直于同一条直线的两个平面互相平行，由平面平行的判定定理知③正确；

垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，④错误；

故答案为：B

【分析】垂直于同一条直线的两条直线有三种位置关系说明①错误；由直线与平面垂直的性质可知②③正确；由垂直于同一个平面的两个平面，有两种位置关系说明④错误。

3.【解析】【解答】因为锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，

所以，或〔舍去〕，，

那么，，

故

，

故答案为：D.

【分析】先根据终边儿交单位圆于得出，然后根据得出以及，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果。

4.【解析】【解答】函数是分段函数，故一定成立，因此说法〔3〕正确；

对于〔1〕：当时，根据的规定，有，

显然，因此说法〔1〕不正确；

对于〔4〕：当时，显然满足成立，

根据的规定，有，

显然，因此说法〔4〕不正确；

对于〔2〕来说，当时，不一定成立，故当

时，显然一定成立，因此说法〔2〕正确，

所以只有〔2〕〔3〕说法正确.

故答案为：B

【分析】画图举例说明〔1〕〔4〕错误；分析分段函数定义域、值域均为实数集的情况说明〔2〕正确；由分段函数的定义说明〔3〕说法正确。

二、填空题

5.【解析】【解答】

故答案为：{2,4}

【分析】根据交集的定义即可得到答案。

6.【解析】【解答】因为，

所以，

即的反函数为，

故答案为：

【分析】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数即可得出。

7.【解析】【解答】三阶行列式中，元素3的代数余子式的值为：

〔﹣1〕3• 3．

故答案为﹣3．

【分析】利用代数余子式的定义直接求解。

8.【解析】【解答】因为，所以，

设，那么，

故，，

联立，解得，，

那么，

故答案为：2.

【分析】由，所以，设，根据复数相等的性质得出以及，解得的值，最后通过即可得出结果。

9.【解析】【解答】因为圆锥底面半径为，所以圆锥的底面周长为，

那么其侧面展开图扇形的圆心角，

故答案为：π.

【分析】根据圆的周长公式，易得圆锥底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图扇形的圆心角的大小。

10.【解析】【解答】根据等差数列性质，那么，

，那么

故答案为：4.

【分析】由等差数列的性质，表示出通项公式和前项和，再根据极限运算可解出答案。

11.【解析】【解答】由调日法运算方法可知，

第一次用“调日法〞后得是的更为精确的缺乏近似值，即，

第二次用“调日法〞后得是更为精确的缺乏近似值，即 ,

故使用两次“调日法〞后可得的近似分数为 .

故答案为：

【分析】根据“调日法〞的理论依据，由，经过一次“调日法〞后得到，然后再求由，经过一次“调日法〞即可求出的近似分数。

12.【解析】【解答】∵二项式的展开式的通项公式为

Tr+1 • • ，

令 5，求得r＝3，故展开式中x﹣5的系数为 • ；

令 0，求得r＝1，故展开式中的常数项为 • ，

由为 • 5• ，可得a ，

故答案为：．

【分析】写出二项式的展开式的通项公式，求出x﹣5的系数与常数项，令其相等，即得解.

13.【解析】【解答】对于椭圆：焦点在轴上，；

对于双曲线：焦点在轴上，；

那么椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，

设，不妨设，

利用椭圆与双曲线的定义，

得到，

那么，

所以，

那么的值为21；

故答案为：21.

【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，不妨设，利用椭圆与双曲线的定义求出即可。

14.【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．

取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．

那么取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．

所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．

故答案为

【分析】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．

15.【解析】【解答】对于区间，，，，可知：〔1〕当，2时，区间内不含项，故，共2项；〔2〕当，4，5，时，区间内含有一项，故，共6项；〔3〕当，10，11，时，区间内含有，两项，故，共18项；〔4〕当，28，29，，80时，区间内含有，，三项，故，共54项；〔5〕当，82，83，，100时，区间内含有3，，，四项，故，共20项．

故．

故答案为：284．

【分析】直接利用列举法分别确定出在，， m=1,2,3, ......100，中每个区间内含有项的个数，然后相加即可。

16.【解析】【解答】由题意知：不妨设，，

那么根据条件可得：

，，

根据柯西不等式得：

因为，

，，

当且仅当时取等号；

令，那么，又，那么，

所以，当时，，即；

，而，所以当时，，即，故的取值范围是[-1,8].

【分析】由题意知：不妨设， ,根据，利用柯西不等式可得,再根据的取值范围，得到的取值范围。

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕设AC和BD交于点O，那么O为BD的中点，推导出，由此能证明直线平面PAC ；
〔2〕由，得即为异面直线与AP所成的角或其补角，由此能求出异面直线与AP所成角的大小。

18.【解析】【分析】〔1〕根据偶函数的定义求解即可；
〔2〕化简函数，根据函数减函数的定义确定的范围。

19.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理，求出PM，PN关于的函数关系式，当M与E重合时，；当N与D重合时，，即，进而得出的取值范围；
〔2〕当即时，取得最小值。

20.【解析】【分析】〔1〕利用抛物线的定义即可求解；
〔2〕设直线的斜率为，由直线的斜率与直线的斜率互为相反数，得直线的斜率为，静儿。可求出直线PA, PB的方程分别与抛物线方程联立，求出点A, B的坐标，根据斜率的公式可得直线的斜率为定值；
〔3〕设直线的斜率为，所以直线的斜率为，由〔2〕可知A的坐标，写出PB的方程，与抛物线方程联立，求得B的坐标，写出AB所在直线方程，由直线系方程可得直线AB过定点。