2020-2021学年云南省昭通市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年云南省昭通市高二（上）期末考试数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设命题p:∀n∈N，n2≤2n，则¬p为( )
A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∃n∉N，n2>2nD.∃n∈N，n2>2n

2. 曲线C的方程为9x2+16y2=1，曲线C经过伸缩变换x′=3x，y′=4y，得到新曲线的方程为( )
A.x2+y2=1B.64x2+27y2=1C.x23+y24=1D.x29+y216=1

3. 若椭圆x2a2+y25=1a>5的长轴长为6，则它的焦距为( )
A.2B.4C.6D.8

4. 已知F为双曲线C:x2m−y23=1m>0的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A.3B.3C.mD.m

5. 曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcsθ+2(θ∈[0,2π)），直线l:θ=π3ρ∈R与曲线C交于A，B两点，则|AB|为( )
A.6B.6+22C.3D.3+22

6. 若x，y满足x24+y23=1，则z=x+3y的最小值是( )
A.13B.−13C.15D.−15

7. 已知椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点满足PF1→⋅PF2→=0，则P点的坐标为( )
A.0,12B.0,±12C.0,1D.0,±1

8. 设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→+FB→+FC→=0→，则|FA→|+|FB→|+|FC→|等于( )
A.9B.6C.4D.3

9. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=43，则C的实轴长为( )
A.4B.22C.2D.8

10. 如图是抛物线拱形桥，当水面在l时，拱顶高于水面2m ，水面宽为4m ，当水面宽为25m时，水位下降了( )m.

A.5B.2C.1D.12

11. 若函数f(x)=x2−mlnx在(0, 1]上为减函数，则实数m的取值范围是( )
A. [2,+∞)B.2,+∞C.(−∞,2]D.−∞,2

12. 如图所示，椭圆x2a2+y24=1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H，若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )

A.20B.10C.25D.45
二、填空题

已知命题p：若x<1，则x2<1，则其否命题的真假为________（填“真”或“假”）.

抛物线y=4x2的焦点坐标为________．

已知点A在双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上，点O是坐标原点，直线OA的斜率为33，若线段OA的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线C的离心率为________.

已知斜率为k的直线l与椭圆C:x29+y28=1交于A，B两点，线段AB的中点为M1,tt>0，则斜率k的取值范围为________.
三、解答题

设命题p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a≥0，命题q：实数x满足x−3x−2<0．
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+2csθ，y=1+2sinθ， （θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)求经过曲线C1和C2交点的直线的极坐标方程．

已知函数fx=x3−3x2−3x+2
(1)求函数y=fx在点M−1,f−1处的切线方程；

(2)求函数y=fx的单调区间．

当前台风中心P在某海滨城市O向东100km 处生成，并以20km/ℎ的速度向西偏北30∘方向移动，已知距台风中心60km以内的地方都属于台风侵袭的范围．
(1)如图取O为原点，OP所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出过点P100,0，倾斜角为150∘的台风中心所在直线l的参数方程；

(2)在(1)的条件下，求海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？（结果保留一位小数， 11≈3.3)

已知F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，过点F的动直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的最小值为4.
(1)求抛物线C的方程；

(2)设E为AB的中点，过E作AB的垂线交x轴于点T，若|FT|=λ|AB|，试求λ的值．

已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为12，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．
(1)求椭圆的方程；

(2)设B点坐标为2,0，点M是直线l:x=4上任意一点，直线MA，MB分别与椭圆交于不同于A，B两点的点P，点Q．求证：P，F，Q三点共线．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省昭通市高二（上）期末考试数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题p:∀n∈N，n2≤2n，则¬p为：∃n∈N，n2>2n．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
伸缩变换
【解析】
先将x′=3xy′=4y反解为x=x′3y=y′4，再代入9x2+16y2=1 ，最后得到新曲线的方程即可．
【解答】
解：因为伸缩变换x′=3xy′=4y，所以x=x′3y=y′4，代入9x2+16y2=1，
所以得到的新曲线的方程为：x2+y2=1，
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
根据长轴长求出a的值，根据椭圆方程可知b2=5，由a、b、c的关系得出c=4，进而得出焦距．
【解答】
解：∵椭圆x2a2+y25=1a>5的长轴长为6，
∴2a=6，则a=3，
又b2=5，
∴c=a2−b2=9−5=2．
∴椭圆的焦距为4．
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
点到直线的距离公式
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
【解析】
根据双曲线方程a、b、c关系求出c的值，可得出F点坐标，根据双曲线方程可知渐近线方程为3x−my=0，根据点到直线距离公式得出结果．
【解答】
解：双曲线C:x2m−y23=1m>0中，
c=m+3，则可设Fm+3,0，
双曲线C一条渐近线方程为3x−my=0，
则F到C的一条渐近线的距离为
d=3×m+3m+3=3，
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点到直线的距离公式
直线与圆的位置关系
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】
分别写出直线和圆的直角坐标方程，利用圆的弦长公式，即可求出结果.
【解答】
解：把极坐标方程化为直角坐标方程，
可得直线θ=π3ρ∈R的直角坐标方程为y=3x，即3x−y=0，
曲线ρ2=2ρcsθ+2的直角坐标方程为x2+y2−2x−2=0，
即x−12+y2=3，是圆心为1,0，半径r=3的圆，
圆心1,0到直线3x−y=0的距离d=332+12=32，
所以AB=2r2−d2=23−34=3.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
椭圆的参数方程
三角函数的最值
【解析】
写出椭圆的参数方程x=2csθy=3sinθθ∈[0,2π),结合三角函数的最值，即可求出结果.
【解答】
解：因为x，y满足x24+y23=1，
所以椭圆的参数方程为x=2csθ,y=3sinθθ∈[0,2π),
所以z=x+3y=2csθ+3sinθ=13sinθ+φ，其中tanφ=23，
所以z的最小值为−13.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的应用
【解析】
利用椭圆的定义和椭圆的应用，求坐标.
【解答】
解：在椭圆C:x22+y2=1中，
其左、右焦点坐标分别为F1−1,0， F21,0，
|PF1→|+|PF2→|=2a=22，|F1F2→|=2c=2.
∵PF1→⋅PF2→=0，
∴PF1⊥PF2.
设 Px1,y1，
则PF1→=−1−x1,−y1， PF2→=1−x1,−y1，
∴ |PF1→|2=−1−x12+(−y1)2=(1+x1)2+y12 ，
|PF2→|2=1−x12+(−y1)2=(1−x1)2+y12 ，
∴ |PF1→|2+|PF2→|2=2x12+2y12+2=|F1F2|2=4,
∴ x12+y12=1.
联立得 x12+y12=1,x122+y12=1,
解得 x1=0,y1=1, 或 x1=0,y1=−1,
∴P点坐标为(0,±1)．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
抛物线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，又F(1, 0)，
∵ FA→+FB→+FC→=(x1+x2+x3−3，y1+y2+y3)=0→，
得x1+x2+x3=3．
由抛物线的定义可得|FA→|+|FB→|+|FC→|=(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6．
故选B．
9.
【答案】
A
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的准线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
由题意可设双曲线的方程为x2a2−y2a2=1(a>0)．
易知抛物线y2=16x的准线方程为x=−4，
联立x2a2−y2a2=1,x=−4,得16−y2=a2．①
因为|AB|=43，所以y=±23．
代入①式，得16−±232=a2，解得a=2．
所以双曲线C的实轴长为2a=4．
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：建系如图，
设拱桥所在抛物线为 x2=ay(a<0)，
点A(2,−2) 在抛物线上，得a=−2，
抛物线方程为 x2=−2y，
当水面宽为 25 时，设拱顶高于水面 ℎm,
由点 (5,−ℎ) 在抛物线上，得ℎ=52，
故水面下降了12m．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数f(x)=x2−mlnx的导函数得出不等式求出m的值即可．
【解答】
解；∵ 函数f(x)=x2−mlnx，
∴ f′(x)=2x−mx，
∴ f′(1)=2−m≤0，
∴ m≥2．
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
椭圆中的平面几何问题
椭圆的定义
【解析】
连接HF2，由椭圆的对称性，可得HF1=HN=HF2，推出∠HF1F2=∠HF2F1，∠HF2N=∠HNF2，由三角形内角和定理可得NF2⊥F1F2，推出N点坐标，根据相似三角形的性质，推出M点的坐标，代入椭圆的方程：4c2a2+44a2=1，解得a，进而可得出结论．
【解答】
解：因为椭圆的焦点在x轴上，且F1，H是线段MN的三等分点，
则H为NF1的中点，连接HF2，
由椭圆的对称性，可得HF1=HN=HF2，
所以∠HF1F2=∠HF2F1，∠HF2N=∠HNF2.
在△NF1F2中，∠HF1F2+∠HNF2+∠HF2F1+∠HF2N=180∘，
所以∠HF2F1+∠HF2N=90∘，即NF2⊥F1F2.
设N(c, b2a)，即N(c, 4a)，
过点M作MG⊥F1F2，垂足为G，
可得△MGF1∼△NF2F1，相似比为1:2，
根据相似三角形的性质，M(−2c, −2a)，
将点M坐标代入椭圆的方程：4c2a2+44a2=1，
由c2=a2−b2=a2−4，
解得a2=5，
所以△F2MN的周长4a=45.
故选D.
二、填空题
【答案】
真
【考点】
四种命题的真假关系
【解析】
原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论．
【解答】
解：已知命题p：若x<1，则x2<1，
所以其否命题为：若x≥1，则x2≥1，显然正确，
所以，原命题的否命题是真命题．
故答案为：真．
【答案】
(0, 116)
【考点】
抛物线的性质
【解析】
先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=−2py的焦点坐标，即可求出物线y=−4x2的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线y=4x2，即x2=14y，
∴ p=18，p2=116，
∴ 焦点坐标是(0, 116)，
故答案为：(0, 116)．
【答案】
2105
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
根据题意写出直线OA的方程，不妨设点A3m，mm>0，求出线段OA的中点为3m2，m2，利用m2−03m2−a×33=−1，得出m=3a2，即可求出结果.
【解答】
解：根据直线OA的斜率为33，得直线OA的方程为y=33x，
不妨设点A3m，mm>0，
则线段OA的垂直平分线经过双曲线的右顶点a，0，
因为点A在双曲线上，
所以3m2a2−m2b2=1.
因为线段OA的中点为3m2，m2，
所以m2−03m2−a×33=−1，
所以m=3a2，
所以94−3a24b2=1，即3a2=5b2.
因为b2=c2−a2，
所以3a2=5c2−a2，即8a2=5c2，
所以e2=85.
又e>1，
所以该双曲线的离心率为2105.
故答案为：2105.
【答案】
−∞,−13
【考点】
圆锥曲线中的范围与最值问题
与椭圆有关的中点弦及弦长问题
【解析】
设出Ax1，y1，Bx2，y2，利用点差法得出k=y1−y2x1−x2=−89t，求出t的取值范围，即可求出结果.
【解答】
解：设Ax1，y1，Bx2，y2，
因为线段AB的中点为1，t，
所以x1+x2=2，y1+y2=2t.
将两点坐标代入椭圆方程，得
x129+y128=1，x229+y228=1，
两式相减，得x12−x229+y12−y228=0，
2x1−x29+2ty1−y28=0，
即k=y1−y2x1−x2=−89t.
因为点M在椭圆内，且t>0，
所以19+t28<1，解得0所以0<9t<24，
所以−89t<−13，
所以斜率k的取值范围为−∞,−13.
故答案为: −∞,−13.
三、解答题
【答案】
解：(1)对于命题p：(x−3a)(x−a)<0，
又a>0，∴ a当a=1时，1即p为真时实数x的取值范围是1由已知q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则p真且q真，
∴ 实数x的取值范围是(2, 3)
(2)由(1)得：
p:A={x|aq:B={x|2∵ q是p的充分不必要条件，∴ B⊂A，
∴ 3a≥3，a≤2，解得1≤a≤2，
∴ 实数a的取值范围是[1, 2]．
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
本题要把复合命题的真假归结为不等式的求解．
【解答】
解：(1)对于命题p：(x−3a)(x−a)<0，
又a>0，∴ a当a=1时，1即p为真时实数x的取值范围是1由已知q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则p真且q真，
∴ 实数x的取值范围是(2, 3)
(2)由(1)得：
p:A={x|aq:B={x|2∵ q是p的充分不必要条件，∴ B⊂A，
∴ 3a≥3，a≤2，解得1≤a≤2，
∴ 实数a的取值范围是[1, 2]．
【答案】
解：(1)曲线C1的参数方程为x=1+2csθ,y=1+2sinθ, （θ为参数），
所以x2+y2−2x−2y−2=0，
曲线C2的极坐标方程为ρ=2⇒ρ2=4，
所以x2+y2=4 .
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1 .
化为极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ=1，
即ρsinθ+π4=22 .
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
圆的参数方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
【解析】

（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1 .
化为极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ=1，
即ρsinθ+π4=22 .
【解答】
解：(1)曲线C1的参数方程为x=1+2csθ,y=1+2sinθ, （θ为参数），
所以x2+y2−2x−2y−2=0，
曲线C2的极坐标方程为ρ=2⇒ρ2=4，
所以x2+y2=4 .
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x+y=1 .
化为极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ=1，
即ρsinθ+π4=22 .
【答案】
解：(1)因为f−1=1，
且f′x=3x2−6x−3，
f′(−1)=6=k，
所以函数y=fx在点M(−1,f(−1))处的切线方程为6x−y+7=0 .
(2)f′x=3x2−6x−3 .
令f′x>0，得x<1−2或x>1+2；
令f′x<0，得1−2故fx=x3−3x2−3x+2的单调递增区间为−∞,1−2和1+2,+∞，
单调递减区间为1−2,1+2 .
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】


【解答】
解：(1)因为f−1=1，
且f′x=3x2−6x−3，
f′(−1)=6=k，
所以函数y=fx在点M(−1,f(−1))处的切线方程为6x−y+7=0 .
(2)f′x=3x2−6x−3 .
令f′x>0，得x<1−2或x>1+2；
令f′x<0，得1−2故fx=x3−3x2−3x+2的单调递增区间为−∞,1−2和1+2,+∞，
单调递减区间为1−2,1+2 .
【答案】
解：(1)由直线的参数方程定义，
得l的参数方程为 x=100−32t，y=12t, （t为参数）．
(2)以O为圆心，60km为半径作圆O，当台风中心移动后的位置M在圆O内或圆O上时，城市O将受到台风侵袭．
圆O的方程为x2+y2=602，
联立直线的参数方程和圆的普通方程
x=100−32t,y=12t,x2+y2=602,
得t2−1003t+6400=0 .
t1+t2=1003，t1⋅t2=6400，
|AB|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=2011，
则受侵袭时长t=|AB|20=11≈3.3小时．
【考点】
直线的参数方程
直线与圆相交时的弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)由直线的参数方程定义，
得l的参数方程为 x=100−32t，y=12t, （t为参数）．
(2)以O为圆心，60km为半径作圆O，当台风中心移动后的位置M在圆O内或圆O上时，城市O将受到台风侵袭．
圆O的方程为x2+y2=602，
联立直线的参数方程和圆的普通方程
x=100−32t,y=12t,x2+y2=602,
得t2−1003t+6400=0 .
t1+t2=1003，t1⋅t2=6400，
|AB|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=2011，
则受侵袭时长t=|AB|20=11≈3.3小时．
【答案】
解：(1)由抛物线的性质，易得通径最短，即2p=4，则p=2，
∴ 抛物线的方程C：y2=4x．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，Ex0,y0，
AB的方程为x=ty+1t∈R．
由y2=4x,x=ty+1消去x，得y2−4ty−4=0，
则y1+y2=4t，y1y2=−4．
所以|AB|=1+t2|y1−y2|=4t2+1．
Ex1+x22,y1+y22=2t2+1,2t，
过点E的AB的垂线方程为y−2t=−tx−2t2−1，
令y=0，得xT=2t2+3．
因此|FT|=|xT−1|=2t2+1，
所以λ=12．
【考点】
抛物线的性质
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由抛物线的性质，易得通径最短，即2p=4，则p=2，
∴ 抛物线的方程C：y2=4x．
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，Ex0,y0，
AB的方程为x=ty+1t∈R．
由y2=4x,x=ty+1消去x，得y2−4ty−4=0，
则y1+y2=4t，y1y2=−4．
所以|AB|=1+t2|y1−y2|=4t2+1．
Ex1+x22,y1+y22=2t2+1,2t，
过点E的AB的垂线方程为y−2t=−tx−2t2−1，
令y=0，得xT=2t2+3．
因此|FT|=|xT−1|=2t2+1，
所以λ=12．
【答案】
(1)解：设椭圆的半焦距为c，
依题意：ca=12，a+c=3，
解得a=2，c=1，
所以b2=a2−c2=3，
所以椭圆的方程是x24+y23=1．
(2)证明：A−2,0，B2,0．设M4,m，显然m≠0．
则MA：y=m6x+2，MB：y=m2x−2．
由y=m6x+2,x24+y23=1,解得xP=54−2m227+m2yP=18m27+m2,
由y=m2x−2,x24+y23=1,解得xQ=2m2−6m2+3,yQ=−6mm2+3,
当m2=9时，xP=xQ=1 ，P，Q，F三点共线；
当m2≠9时，kFP=yP−0xP−1=18m27−3m2=6m9−m2，
kFQ=yQ−0xQ−1=−6mm2−9=6m9−m2，
所以，kFP=kFQ，所以P，Q，F三点共线．
综上，P，Q，F三点共线．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义和性质
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线的综合问题
直线与椭圆的位置关系
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：设椭圆的半焦距为c，
依题意：ca=12，a+c=3，
解得a=2，c=1，
所以b2=a2−c2=3，
所以椭圆的方程是x24+y23=1．
(2)证明：A−2,0，B2,0．设M4,m，显然m≠0．
则MA：y=m6x+2，MB：y=m2x−2．
由y=m6x+2,x24+y23=1,解得xP=54−2m227+m2yP=18m27+m2,
由y=m2x−2,x24+y23=1,解得xQ=2m2−6m2+3,yQ=−6mm2+3,
当m2=9时，xP=xQ=1 ，P，Q，F三点共线；
当m2≠9时，kFP=yP−0xP−1=18m27−3m2=6m9−m2，
kFQ=yQ−0xQ−1=−6mm2−9=6m9−m2，
所以，kFP=kFQ，所以P，Q，F三点共线．
综上，P，Q，F三点共线．