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高中数学苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用课文内容课件ppt
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这是一份高中数学苏教版必修13.4.2 函数模型及其应用课文内容课件ppt，共22页。PPT课件主要包含了函数模型及其应用，基础梳理，举一反三，考点演练等内容，欢迎下载使用。
1. 常见的几种函数模型(1)一次函数型 ; (2)反比例函数型 ; (3)二次函数型 ;(4)指数函数型 (增长率问题);(5)对数函数型 ;(6)幂函数型 ;(7)分段函数型.
y=kx+b(k≠0);
2. 对于指数函数y=ax(a>1),幂函数y=xn(n>0),对数函y=lgax(a>1),总会存在一个x0,当x>x0时,有 lgax
题型一 一次函数与分段函数模型例1. 电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种关于长途通话的优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注:图中MN∥CD).试问:(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元?(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?
分析 由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此需分段列式.解 由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.由图知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),
则 (1)通话2小时，A、B两种方案的话费分别为116元、168元.(2)∵当x>500时,
(元),∴方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.(3)由图知,当0≤x≤60时,fA(x)500时,显然fB(x)293 分钟,即通话时间为293 分钟以上时,方案B才会比方案A优惠.
学后反思 (1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用、个人所得税、话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.
(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同的函数.要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.
1.(创新题）南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同。甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元，小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家族一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。（1）设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x);
（2）你认为校长选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由；
题型二 二次函数模型【例2】某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?分析 构建二次函数模型,转化为二次函数的最值问题.
解 设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好销售完的进货量为 ,即400(9-2x)瓶.
此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27).根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9-2x)=400(9-2×3.75)=600(瓶).所以销售价应定为每瓶3.75元,以及从工厂购进600瓶时,才能获利最大.学后反思 二次函数模型的建立可以求出函数的最值,解决实际生活中的最优化问题,但一定要注意自变量的取值范围.
举一反三2·某商场销售一种服装，购进价是每件42元，根据试装得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件)可看成是一次函数关系：t=-3x+204（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价格差）；
(2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定位多少？最为合适最大销售利润为多少？
题型三 指数模型的应用【例3】某城市2008年有人口100万,如果年增长率为1.2%,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)10年后,该城市人口达到多少万?(3)计算大约到哪一年该市人口达120万?分析 本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的人口总数与年份的关系来探究出规律,建立指数型函数模型来解决.
3.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减。（1）求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；（2）求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1年）。
题型四 函数模型的综合应用【例4】 （14分）某工厂有一段旧墙长14 m,现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是 元；(3)拆去1 m旧墙,用所得材料建1 m新墙费用为 元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一边边长x≥14,问:如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？分析 利用旧墙为一面建立平面矩形,设此面边长为x m,则另一面边长为
(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14,则修旧墙费用为 元,建新墙费用为 元…………………8′总费用综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12 m为矩形的一面边长时，建墙费用最省. ………………………………… 14′
学后反思 本题关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式，而难点在于求函数的最小值，两种方案的函数式结构表面相似，一个可用不等式求最值，另一个则必须改用单调性求最值.
举一反三4. 某公司欲投资13亿元进行项目开发,现有以下6个项目可供选择. 设计一个投资方案,使投资13亿元所获利润大于1.6亿元,则应选的项目是__________(只需写出项目的代号).
解析： 当投资为13亿元时,有以下两种投资选择方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(亿元);f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(亿元).答案： A、B、E或B、D、E、F
10.某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3为工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，求第n年付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函数表达式.
1. 常见的几种函数模型(1)一次函数型 ; (2)反比例函数型 ; (3)二次函数型 ;(4)指数函数型 (增长率问题);(5)对数函数型 ;(6)幂函数型 ;(7)分段函数型.
y=kx+b(k≠0);
2. 对于指数函数y=ax(a>1),幂函数y=xn(n>0),对数函y=lgax(a>1),总会存在一个x0,当x>x0时,有 lgax
题型一 一次函数与分段函数模型例1. 电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种关于长途通话的优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注:图中MN∥CD).试问:(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元?(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?
分析 由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此需分段列式.解 由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.由图知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MN∥CD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x),
则 (1)通话2小时，A、B两种方案的话费分别为116元、168元.(2)∵当x>500时,
(元),∴方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.(3)由图知,当0≤x≤60时,fA(x)
学后反思 (1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用、个人所得税、话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.
(2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同的函数.要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意.
1.(创新题）南京市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同。甲俱乐部每张球台每小时5元；乙俱乐部按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元，小张准备下个月从这两家俱乐部中的一家族一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时。（1）设在甲俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费f(x)元(15≤x≤40)，在乙俱乐部租一张球台开展活动x小时的收费g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x);
（2）你认为校长选择哪家俱乐部比较合算？请说明理由；
题型二 二次函数模型【例2】某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料,根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售400瓶;若每瓶售价每降低0.05元,则可多销售40瓶.在每月的进货量当月销售完的前提下,请你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?分析 构建二次函数模型,转化为二次函数的最值问题.
解 设销售价为x元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量),正好销售完的进货量为 ,即400(9-2x)瓶.
此时所得的利润为f(x)=400(9-2x)(x-3)=400(-2x2+15x-27).根据函数的性质,当x=3.75时,f(x)取最大值450.这时的进货量为400(9-2x)=400(9-2×3.75)=600(瓶).所以销售价应定为每瓶3.75元,以及从工厂购进600瓶时,才能获利最大.学后反思 二次函数模型的建立可以求出函数的最值,解决实际生活中的最优化问题,但一定要注意自变量的取值范围.
举一反三2·某商场销售一种服装，购进价是每件42元，根据试装得知这种服装每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元/件)可看成是一次函数关系：t=-3x+204（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价格差）；
(2）商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定位多少？最为合适最大销售利润为多少？
题型三 指数模型的应用【例3】某城市2008年有人口100万,如果年增长率为1.2%,(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式;(2)10年后,该城市人口达到多少万?(3)计算大约到哪一年该市人口达120万?分析 本题为人口增长率问题,可以通过计算每年的人口总数与年份的关系来探究出规律,建立指数型函数模型来解决.
3.一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减。（1）求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；（2）求这种放射性元素的半衰期（精确到0.1年）。
题型四 函数模型的综合应用【例4】 （14分）某工厂有一段旧墙长14 m,现准备利用这段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：(1)建1 m新墙费用为a元；(2)修1 m旧墙费用是 元；(3)拆去1 m旧墙,用所得材料建1 m新墙费用为 元，经过讨论有两种方案：①利用旧墙的一段x m（x＜14）为矩形厂房一面的边长；②矩形厂房利用旧墙的一边边长x≥14,问:如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？①②两种方案哪种更好？分析 利用旧墙为一面建立平面矩形,设此面边长为x m,则另一面边长为
(2)利用旧墙的一面，矩形边长x≥14,则修旧墙费用为 元,建新墙费用为 元…………………8′总费用综上所述，采用第一种方案，利用旧墙的12 m为矩形的一面边长时，建墙费用最省. ………………………………… 14′
学后反思 本题关键在于以建墙费用为目标函数建立函数关系式，而难点在于求函数的最小值，两种方案的函数式结构表面相似，一个可用不等式求最值，另一个则必须改用单调性求最值.
举一反三4. 某公司欲投资13亿元进行项目开发,现有以下6个项目可供选择. 设计一个投资方案,使投资13亿元所获利润大于1.6亿元,则应选的项目是__________(只需写出项目的代号).
解析： 当投资为13亿元时,有以下两种投资选择方案:f(A,B,E)=0.55+0.4+0.9=1.85(亿元);f(B,D,E,F)=0.4+0.5+0.9+0.1=1.9(亿元).答案： A、B、E或B、D、E、F
10.某乡企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并每年新招3为工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，求第n年付给工人的工资总额y（万元）表示成n的函数表达式.
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