数学3.3 幂函数教案设计

-----                        《幂函数》教学设计

一、教材分析

幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。
二、教学目标

鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标：
⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
⑶加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
⑷培养学生观察、分析、归纳能力。了解类比法在研究问题中的作用。

三、教学方法和教具的选择
基于对课程理念的理解和对教材的分析，运用问题情境可以使学生较快的进入数学知识情景，使学生对数学知识结构作主动性的扩展，通过问题的导引，学生对数学问题探究，进行数学建构，并能运用数学知识解决问题，让学生有运用数学成功的体验。本课采用教师在学生原有的知识经验和方法上，引导学生提出问题、解决问题的教学方法，体现以学生为主体，教师主导作用的教学思想。
教具：多媒体。制作多媒体课件以提高教学效率。
 

四、教学重点和难点
重点是从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并作简单应用。
难点是引导学生概括出幂函数性质。
五、教学流程
基于新课程理念在教学过程中的体现，教学流程的基线为：
 

1.考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开。   

2.实施方案
 问题导引 师生活动 设计意图
问题情境 ⑴写出下列y关于x的函数解析式：
①正方形边长x、面积y
②正方体棱长x、体积y
③正方形面积x、边长y
④某人骑车x秒内匀速前进了1km,骑车速度为y
⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s 

学生口答，教师板书答案。幻灯片演示问题。 

由具体问题入手，从熟悉的情景引入，提高学生的参与程度。符合学生认识特点。
数学建构 
⑵上述函数解析式有什么共同特征？是否为指数函数？ 学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳。投影演示定义。 引导学生观察，训练学生归纳能力。并与前面知识进行区分，以进一步帮助学生明晰概念。
 ⑶判别下列函数中有几个幂函数？
①y= ②y=2x2③y=x ④y=x2+x ⑤y=-x3 
学生独立思考，回答。学生鉴别。幻灯片演示题目。 
巩固概念，强化学生对概念形式特征的把握。
  
⑷幂函数具有哪些性质？研究函数应该是哪些方面的内容。前面指数函数、对数函数研究了哪些内容？ 
学生讨论，教师引导。学生回答。 
引导学生回想前面学习指数函数与对数函数的研究内容和过程。启发学生用类比思想进行研究幂函数。
 
⑸幂函数的定义域是否与对数函数、指数函数一样，具有相同的定义域？ 学生小组讨论，得到结论。引导学生举例研究。结论：幂指数 不同，定义域并不完全相同，应区别对待。 
激发学生探讨的欲望，提高学生主动参与程度。
 
⑹写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：①y=x ②y= ③y=x ④y=x

学生解答，并归纳解决办法。引导学生与指数函数、对数函数对照比较。（幻灯片演示） 引导学生具体问题具体分析，并作简单归纳：分数指数应化成根式，负指数写成正数指数再写出定义域。幂函数的奇偶性也应具体分析。
 
⑺上述函数的单调性如何？如何判断？ 
学生思考：作图 引发学生作图研究函数性质的兴趣。函数单调性的判断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。
 
⑻在同一坐标系内作出上述函数的图象。 学生作图，教师巡视。将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。教师利用几何画板演示（附图1）通过超级链接几何画板演示。 训练学生作图的基本功，加强学生的实践，让学生在自己的经验中认识幂函数的图象。避免教师直接使用计算机演示图象，剥夺学生动手的机会。
 
⑼上述函数图象有哪些共同点？ 学生讨论，总结。教师引导。可将学生已熟悉的函数y= ,y=x一同投影，帮助学生观察。（投影演示结论） 

训练学生观察分析能力。
 
⑽回答第7个问题。 
学生思考，回答。教师注意学生叙述的严密。 训练学生的语言叙述能力。再次体会与指数函数、对数函数性质的区别。体会幂指数的不同情况对函数单调性的影响。
 
⑾图象之间有什么区别？特别是在分布上。与常数 有什么联系？
教师通过几何画板演示图象在第一象限内的变化规律，以验证学生猜想。通过超级链接几何画板演示。（附图2） 
这是较高要求，可以让学生自由猜想和发言。进一步提高学生观察，归纳能力。

 ⑿巩固练习  写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性和单调性：①y=x ②y=x ③y=x 。

学生独立思考并回答。 
训练学生自觉运用幂函数图象性质的基本规律。
 ⒀简单应用1：比较下列各组中两个值的大小，并说明理由：
①0.752 ，0.762 ；
②(-0.95) -1，(-0.96)-1 ；
③0.233 ，0.243 ；
④0.31-3 ，0.31-3

学生思考，作答，教师引导学生叙述语言的逻辑性。 

训练学生用函数性质进行解释，强化学生逻辑意识。其中第④小题是利用指数函数性质解决，注意区别。
 ⒁请学生考虑可以如何验证上述答案的正确。 
学生实践。 使用计算器验证，提高学生使用学习工具的意识。
 ⒂简单应用2：幂函数y=(m2 -3m-3)x 在区间 上是减函数，求m的值。 

学生思考，作答。教师板演。 对幂函数定义进一步巩固，对函数性质作初步应用。同时训练学生对初步答案进行筛选。
 ⒃简单应用2：
已知(a+1)3 <(3-2a)3 ,试求a的取值范围。 
学生思考，作答。教师板演。
 
训练学生灵活使用性质解题。
数学交流 ⒄小结：今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？ 学生思考、小组讨论，教师引导。  让学生回顾，小结，将对学生形成知识系统产生积极影响。
数学再现 
⒅布置作业：
课本p.73 2、3、4、思考5  思考5作为训练学生应用数学于实际的较好例子，应让能力较好学生得到充分发展。