2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知命题p：若(x−1)(x−2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0．下列选项中为真命题的是( )
A.¬pB.¬p∨qC.¬q∧pD.q

2. 对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中真命题的个数是( )
①若a>b，c≠0，则ac>bc；
②若a>b， 则ac2>bc2；
③若ac2>bc2，则a>b；
④若a>b>0，c>d， 则ac>bd.
A.1B.2C.3D.4

3. 在数列{an}中，a1=2，2an+1−2an=1，则a101的值为( )
A.49B.50C.51D.52

4. 命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，则命题p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=6，则S7=( )
A.7B.10C.14D.21

6. 已知p：点P在直线y=2x−3上；q：点P在直线y=−3x+2上，则使命题p∧q为真命题的点P的坐标是( )
A.(0, −3)B.(1, 2)C.(1, −1)D.(−1, 1)

7. 在数列an中，已知a1=2 ，an=2an−1an−1+2 ，n≥2，则an等于( )
A.2n+1B.2nC.3nD.3n+1

8. 若等比数列an的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S20=( )
A.80B.120C.150D.180

9. 不等式2x2+2x−4≤12的解集为( )
A.(−∞, −3]B.(−3, 1]
C.[−3, 1]D.[1,+∞)∪(−∞,−3]

10. 数列an中， a1=2，an+1=2an−1，则a10=( )
A.511B.513C.1025D.1024

11. 设D是不等式组x+2y≤10，2x+y≥3，0≤x≤4，y≥1，表示的平面区域，则D中的点P(x, y)到直线x+y=10距离的最大值是( )
A.2B.22C.32D.42

12. 设A=ba+ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B=−x2+4x−2，则A与B的大小关系是( )
A.A≥BB.A>BC.A二、填空题

已知等差数列an，若a1+a5+a9=4π，则sina2+a8=________.

数列{an}的前n项和公式为Sn=2n2−n，则{an}的通项公式为________．

若x，y满足约束条件 y−x≤1,x+y≤3,y≥1, 则z=x+3y的最大值为________.

给出以下判断：其中正确命题的序号是________.
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x03>x02”；
③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
三、解答题

已知函数f(x)=x2+2x，求不等式f(x)−f(x−1)>2x−1的解集．

已知an是等比数列，且公比不为1．若a1=13，且a1，2a2，3a3成等差数列．
(1)求an的通项公式；

(2)若数列cn=2n−1，设an+cn的前n项和为Tn，求Tn.

已知命题p：不等式2x−x2
已知等差数列an满足a2=3，a4+a7=20，且{an}前n项和为Sn．
(1)求数列an的通项公式an及Sn；

(2)若bn=an2n，求数列bn的前n项和Tn．

已知数列an为递增的等差数列， a3=5，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求an的通项公式；

(2)设bn=1an+1an+1+1，记数列bn的前n项和为Tn，求使得Tn<15成立的n的最大值．

已知函数f(x)=x2−2x−8，g(x)=2x2−4x−16.
(1)求不等式g(x)<0的解集；

(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m+2)x−m−15成立，求实数m的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据一元二次方程的根与指数函数的性质判断命题P、q的真假，再利用复合命题真值表判断命题￢P、￢PVq、￢P∧P的真假即可．
【解答】
解：∵ (x−1)(x−2)≠0⇒x≠1且x≠2，∴ p为真命题.
∵ 对∀x∈R，2x>0，∴ q为假命题.
∴ ¬p为假命题；¬p∨q为假命题；¬q∧p为真命题．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：①项，当 c<0时， ac②项，当 c=0 时，ac2=bc2=0 ，故②项错误；
③项，由 ac2>bc2 ，所以 c≠0 ,即c2>0，所以a>b ，故③项正确；
④项，当 c=−b，d=−a 时，满足 c>d ，此时ac=bd， 故④项错误.
故选A．
3.
【答案】
D
【考点】
数列递推式
【解析】
由数列递推式得到数列是等差数列并求得公差，代入等差数列的通项公式得答案．
【解答】
解：在数列{an}中，a1=2，
由2an+1−2an=1，得an+1−an=12．
∴ 数列{an}是首项为2，公差为12的等差数列，
∴ a101=2+100×12=52．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
由命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，可得：￢q:x=1且y=2，￢p:x+y=3，可得：￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=12，y=52．
【解答】
解：∵ 命题p:x+y≠3，命题q:x≠1或y≠2，
￢q:x=1且y=2，￢p:x+y=3，
∴ ￢q⇒￢p，反之不成立，例如x=12，y=52．
因此命题p是q的充分不必要条件．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差中项
【解析】

【解答】
解：∵ a1+a4+a7=6，∴ 3a4=6，解得a4=2，
则S7=7a1+a72=7a4=14．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据已知条件便知P点是直线y=2x−3和直线y=−3x+2的交点，所以解方程组y=2x−3y=−3x+2即得点P坐标．
【解答】
解：若p∧q为真命题，则：
P既在直线y=2x−3上，又在y=−3x+2上，
∴ 点P是直线y=2x−3和y=−3x+2的交点，
联立y=2x−3,y=−3x+2,解得x=1，y=−1.
∴ P(1, −1)．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
【解析】

【解答】
解：∵ an=2an−1an−1+2，
∴ 1an=1an−1+12 ，且1a1=12，
∴ {1an}是以12为首项，公差为12的等差数列，
即1an=12n，所以an=2n ．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
等比数列的前n项和
【解析】
由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】
解：∵ 等比数列an中S5=10，S10=30，
∴ q≠1，
a11−q51−q=10,a11−q101−q=30,
解得： a11−q=−10，q5=2，
则S20=a11−q1−q20=−10×1−16=150．
故选C．
9.
【答案】
C
【考点】
指、对数不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
根据指数函数的单调性，把原不等式化为2x2+2x−4≤2−1，求出解集即可．
【解答】
解：不等式2x2+2x−4≤12可化为2x2+2x−4≤2−1，
即x2+2x−4≤−1，
整理得x2+2x−3≤0，
解得−3≤x≤1，
所以原不等式的解集为[−3, 1]．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
数列递推式
【解析】

【解答】
解：因为an+1=2an−1，所以an+1−1=2an−1，
所以an+1−1an−1=2，又a1−1=1≠0，
所以an−1是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an−1=2n−1，所以an=2n−1+1，
所以a10=29+1=513.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
根据题意做出可行域，欲求区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值，由其几何意义为区域D的点A(3, −2)到直线x+y=10的距离为所求，代入计算可得答案．
【解答】
解：如图为x+2y≤10，2x+y≥3，0≤x≤4，y≥1，表示的可行域（阴影部分），
由其几何意义为区域D的点A到直线x+y=10的距离最大，
即为所求，由2x+y=3，y=1，解得A(1, 1).
由点到直线的距离公式得：
d=|1+1−10|2=42，
则区域D中的点到直线x+y=10的距离最大值等于42.
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式与一元二次方程
【解析】
依题意，利用基本不等式求出A的最值，然后根据二次函数性质求得B的最大值，比较两个最值的关系即可得出结论．
【解答】
解：∵ a，b都是正实数，且a≠b，利用基本不等式可得A>2，
根据B=−x2+4x−2=−(x−2)2+2≤2，可得B≤2，
∴A>B.
故选B.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
等差中项
三角函数的化简求值
【解析】
【解答】
解：∵ a1+a5+a9=3a5=4π，∴ a5=4π3，
sina2+a8=sin2a5=sin8π3=sin2π3=32.
故答案为：32．
【答案】
an=4n−3
【考点】
数列递推式
等差数列的前n项和
【解析】
利用递推关系即可得出．
【解答】
解：∵ Sn=2n2−n，
∴ 当n=1时，a1=1；
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=2n2−n−[2(n−1)2−(n−1)]=4n−3，
当n=1时也成立，
∴ an=4n−3．
故答案为：an=4n−3．
【答案】
7
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】

【解答】
解：根据约束条件画出可行域如图所示，
平移直线y=−13x，当直线y=−13x+z3过点A时，
目标函数取得最大值．由y−x=1，x+y=3， 可得A1,2，
代入可得z=1+3×2=7．
故答案为：7．
【答案】
③
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题与特称命题
四种命题的定义
【解析】
根据全称命题的定义以及否定的形式，可判断①②的真假；
接下来，根据二次函数的性质、偶函数的性质、正四棱锥的定义和特点，可判断③④真假，从而解答此题．
【解答】
解：①命题“负数的平方是正数”是全称命题，故①错误；
②“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x03≤x02”，故②错误；
③若b=0，可得到fx=ax2+c是偶函数；
若fx=ax2+bx+c为偶函数，可得到b=0，
则函数fx=ax2+bx+c为偶函数的充要条件是"b=0" ，故③正确；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题是“底面是正方形的棱锥是正四棱锥”，
根据正棱锥的定义可知为假命题，故④错误．
故答案为：③.
三、解答题
【答案】
解：∵ f(x)=x2+2x，
∴ f(x−1)=(x−1)2+2x−1，
则x≠0且x≠1，
则不等式f(x)−f(x−1)>2x−1，
等价为x2+2x−(x−1)2−2x−1>2x−1，
即2x−2x−1>0，
则2(x−1)−2xx(x−1)=−2x(x−1)>0，
则x(x−1)<0，
解得0故不等式的解集为(0, 1)．
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
求出函数的定义域，解不等式即可．
【解答】
解：∵ f(x)=x2+2x，
∴ f(x−1)=(x−1)2+2x−1，
则x≠0且x≠1，
则不等式f(x)−f(x−1)>2x−1，
等价为x2+2x−(x−1)2−2x−1>2x−1，
即2x−2x−1>0，
则2(x−1)−2xx(x−1)=−2x(x−1)>0，
则x(x−1)<0，
解得0故不等式的解集为(0, 1)．
【答案】
解：(1)∵ a1，2a2，3a3成等差数列，
∴ 2×2a2=a1+3a3，即4×q=1+3q2，
∵ q≠1，解得q=13．
∴ an=13⋅13n−1=13n．
(2)an+cn=2n−1+13n，
∴ Tn=a1+c1+a2+c2+a3+c3+⋯+an+cn
=1+3+5+⋯+2n−1+131+132+⋯+13n
=(1+2n−1)n2+13(1−(13)n)1−13
=n2+12−12×13n.
【考点】
等差中项
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】


【解答】
解：(1)∵ a1，2a2，3a3成等差数列，
∴ 2×2a2=a1+3a3，即4×q=1+3q2，
∵ q≠1，解得q=13．
∴ an=13⋅13n−1=13n．
(2)an+cn=2n−1+13n，
∴ Tn=a1+c1+a2+c2+a3+c3+⋯+an+cn
=1+3+5+⋯+2n−1+131+132+⋯+13n
=(1+2n−1)n2+13(1−(13)n)1−13
=n2+12−12×13n.
【答案】
解：根据命题p：不等式2x−x2得m>−x2+2x=−(x−1)2+1恒成立，
∴ m>1，
根据命题q:m2−2m−3≥0，得
m≤−1或m≥3，
∵ ￢p与“p∧q”同时为假命题，
∴ p为真命题，q为假命题，
∴ m>1,−1∴ 1∴ 实数m的取值范围(1, 3)．
【考点】
函数恒成立问题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
首先，求解所给命题都是真命题时，m的取值情况，然后，结合条件求解即可．
【解答】
解：根据命题p：不等式2x−x2得m>−x2+2x=−(x−1)2+1恒成立，
∴ m>1，
根据命题q:m2−2m−3≥0，得
m≤−1或m≥3，
∵ ￢p与“p∧q”同时为假命题，
∴ p为真命题，q为假命题，
∴ m>1,−1∴ 1∴ 实数m的取值范围(1, 3)．
【答案】
解：(1)设等差数列an的公差为d，则a1+d=3，2a1+9d=20，
解得： a1=1，d=2，
∴ an=2n−1，Sn=n2．
(2)Tn=12+322+523+⋯+2n−12n ，①
①式两边同时乘12，得12Tn=122+323+524+⋯+2n−12n+1 ，②
①−②可得12Tn=12+2(122+123+⋯+12n) −2n−12n+1，
12Tn=2(12+122+123+⋯+12n)−12−2n−12n+1
=21−12n−12−2n−12n+1，
∴ Tn=3−2n+32n．
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列an的公差为d，则a1+d=3，2a1+9d=20，
解得： a1=1，d=2，
∴ an=2n−1，Sn=n2．
(2)Tn=12+322+523+⋯+2n−12n ，①
①式两边同时乘12，得12Tn=122+323+524+⋯+2n−12n+1 ，②
①−②可得12Tn=12+2(122+123+⋯+12n) −2n−12n+1，
12Tn=2(12+122+123+⋯+12n)−12−2n−12n+1
=21−12n−12−2n−12n+1，
∴ Tn=3−2n+32n．
【答案】
解：(1)在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意a1a5=a22，a3=5，得a1(a1+4d)=(a1+d)2，a1+2d=5，
解得a1=1，d=2.
∴ an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
(2)由(1)知，an=2n−1，
则bn=1an+1an+1+1=12n⋅2n+1=141n−1n+1，
∴ Tn=141−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=141−1n+1=n4n+1，
∵ Tn+1−Tn=n+14n+2−n4n+1=14n+1n+2>0，
∴ {Tn}单调递增，又∵ T3=316<15，T4=15，
所以使Tn<15成立的n的最大值为3.
【考点】
等比中项
等差数列的通项公式
数列与不等式的综合
数列的求和
【解析】


【解答】
解：(1)在等差数列中，设公差为d≠0，
由题意a1a5=a22，a3=5，得a1(a1+4d)=(a1+d)2，a1+2d=5，
解得a1=1，d=2.
∴ an=a1+n−1d=1+2n−1=2n−1.
(2)由(1)知，an=2n−1，
则bn=1an+1an+1+1=12n⋅2n+1=141n−1n+1，
∴ Tn=141−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=141−1n+1=n4n+1，
∵ Tn+1−Tn=n+14n+2−n4n+1=14n+1n+2>0，
∴ {Tn}单调递增，又∵ T3=316<15，T4=15，
所以使Tn<15成立的n的最大值为3.
【答案】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，
得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，
解得−2所以不等式g(x)<0的解集
为{x|−2(2)因为f(x)=x2−2x−8，
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2(当且仅当x=3时等号成立)．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．
【考点】
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
一元二次不等式的解法
【解析】
(1)直接因式分解后求解不等式的解集；
(2)把函数f(x)的解析式代入f(x)≥(m+2)x−m−15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
【解答】
解：(1)由g(x)=2x2−4x−16<0，
得x2−2x−8<0，
即(x+2)(x−4)<0，
解得−2所以不等式g(x)<0的解集
为{x|−2(2)因为f(x)=x2−2x−8，
当x>2时，f(x)≥(m+2)x−m−15成立，
则x2−2x−8≥(m+2)x−m−15成立，
即x2−4x+7≥m(x−1),
所以对一切x>2，均有不等式x2−4x+7x−1≥m成立．
而x2−4x+7x−1=(x−1)+4x−1−2
≥2(x−1)×4x−1−2=2(当且仅当x=3时等号成立)．
所以实数m的取值范围是(−∞, 2]．