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2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中考试数学试卷人教B版
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这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中考试数学试卷人教B版，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=x|−2≤x<4，B=x|−5A.x|−5
2. “a>1”是“a−1a−2<0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 已知变量x，y之间的一组数据如表：
若y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，则a=( )
A.0.1B.0.2
4. 已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是( )
A.若a⊥α，b⊥a，则b//α
B.若a，b⊂α，a//β，b//β，则α//β
C.若a//α，b⊥β，a//b，则α⊥β
D.若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有( )
A.15种B.90种C.120种D.180种
6. 已知α∈π2,π， tanα=−3，则sinα−π4等于( )
A.55B.255C.35D.35
7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t（单位：天）满足函数关系Pt=P02−t30，其中P0为t=0时该放射性同位素的含量．已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为−32ln210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天B.30天C.45天D.60天
8. 定义运算⊗：①对∀m∈R，m⊗0=0⊗m=m；
②对∀m，n，p∈R，(m⊗n)⊗p=p⊗(mn)+m⊗p+n⊗p.
若f(x)=ex−1⊗e1−x，则有( )
A.函数y=fx的图象关于x=1对称B.函数fx在R上单调递增
C.函数fx的最小值为2D.f223>f232
二、多选题
中国的华为公司是全球领先的ICT（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人，每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )
A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在31,32内
B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小
D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
若非零实数x，y满足x>y，则以下判断正确的是( )
A.1x<1yB.x3>y3C.12x>12yD.lnx−y+1>0
已知函数fx=csωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x=5π12，则( )
A.φ=π3
B.函数y=fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
C.函数fx在0,π2上的值域为−1,32
D.函数fx在区间−π,−π2上单调递减
已知函数fx=2−4|x−12|, 0≤x≤1afx−1, x>1,’其中a∈R，下列关于函数fx的判断正确的为( )
A.当a=2时，f32=4
B.当|a|<1时，函数fx的值域−2,2
C.当a=2且x∈n−1,nn∈N∗时，fx=2n−12−4|x−2n−12|
D.当a>0时，不等式fx≤2ax−12在[0,+∞)上恒成立
三、填空题
(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________.
若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________.
已知fx是定义在R上的奇函数，满足f1−x=f1+x．若f1=1，则f1+f2+f3+⋯ +f2021=________.
已知菱形ABCD边长为3，∠BAD=60∘，E为对角线AC上一点，AC=6AE，将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′且二面角A′−BD−C的大小为120∘，则三棱锥A′−BCD的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________.
四、解答题
已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点．
(1)求证：直线EF//平面A1BC；
(2)若该正三棱柱的体积为26，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．
在①csinB=bsinA+B2，②csB=217，③bcsC+csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，D是边AB上一点，AD=5，CD=7，且________，试判断AD和DB的大小关系．
已知函数fx=x3−3x2+3bx+c在x=0处取得极大值1.
(1)求函数y=fx的图象在x=1 处切线的方程；
(2)若函数fx在t,t+2上不单调，求实数t的取值范围．
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD//AB，∠ABC=90∘，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P−DC−N的余弦值为13？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由．
2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 YC−801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为mm∈70,100，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95）的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表1试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：
ln2≈0.7,ln5≈1.6）．
已知函数fx=xex−alnx+x.
(1)当a>0时，求fx的最小值；
(2)若对任意x>0恒有不等式fx≥1成立．
①求实数a的值；
②证明：x2ex>x+2lnx+2sinx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|−2≤x<4，B=x|−5∴ A∩B=x|−2≤x≤3.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
由a|11，结合充分必要条件进行判定即可求解.
【解答】
解：由a−1a−2<0可得，1∵ a|11，
∴ “a>1”是“a−1a−2<0”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】
解：由题意，x¯=3+4+5+64=4.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，
代入线性回归方程为y=0.7x+a，可得3.5=0.7×4.5+a，
∴ a=0.35.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
直接利用线面关系，借助判定定理判定即可.
【解答】
解：a，b为不同直线，α，β为不同平面，
A，若a⊥α，b⊥a，则b//α或b⊂α，故A错误；
B，若a，b⊂α，a//β，b//β，则a//b，则α//β或α与β相交，故B错误；
C，若b⊥β，a//b，则a⊥β，又a//α，则易得α⊥β，故C正确；
D，若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α与β相交，但不一定垂直，故D错误．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
首先将5个人，按要求分层3组，再全排即可.
【解答】
解：有题意可知：5个人分成3组的人数分别为：2，2，1，
故报名方案有C52⋅C322⋅A33=90（种）.
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先求出sinα=31010，csα=−1010，将sinα−π4展开，代入即可得到答案.
【解答】
解：由题意可得：tanα=sinαcsα=−3，sin2α+cs2α=1，
又α∈π2,π，
可得sinα=31010，csα=−1010，
∴ sinα−π4=sinαcsπ4−csαsinπ4=255.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
函数的求值
【解析】
求导，得到得P0=18，进而求出Pt=18×2−t30，令Pt=18×2−t30=4.5，求解即可.
【解答】
解：由题意可得：P′t=−P030⋅ln2⋅2−t30，
当t=15时，P′15=−P030⋅ln2⋅2−12=−32ln210，
解得P0=18，
∴ Pt=18×2−t30，
令Pt=18×2−t30=4.5，
解得t=60，
∴ 该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为60天.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数新定义问题
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
先得到fx=ex−1+e1−x+1，然后利用函数的图象与性质、导数、基本不等式即可得解．
【解答】
解：A，fx=ex−1⊗e1−x
=(ex−1⊗e1−x)⊗0
=0⊗(ex−1⋅e1−x)+ex−1⊗0+e1−x⊗0
=e0+ex−1+e1−x
=ex−1+e1−x+1 ，
f1−x=e−x+ex+1，
f1+x=e−x+ex+1，
所以f1−x=f1+x，
所以fx的图象关于直线x=1对称，A项正确；
B，f′x=ex−1−e1−x，
令f′(x)=0，则x=1，
当x>1时，f′x>0，当x<1时，f′x<0，
所以fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，B项错误；
C，fxmin=f(1)=3，C项错误；
D，因为fx在1,+∞上单调递增，1<223<232，
所以f223故选A.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
利用平均数，极差的概念得解,逐项分析.
【解答】
解：对于A，14+21+26+30+52+476≈31.67∈31，32，故A正确；
对于B，由图像可得B正确；
对于C，甲店的极差52−14=38，乙店的极差53−7=46，故C错误；
对于D，甲店7，8，9月份的总营业额30+52+47=129，乙店7，8，9月份的总营业额33+44+53=130，故D正确.
故选ABD.
【答案】
B,D
【考点】
不等式性质的应用
【解析】
利用特值法，比差法，指数函数的性质，对数函数的性质逐项分析得解.
【解答】
解：对于A，当x=2，y=−1时，12>−1，故A错误；
对于B，x3−y3=x−yx2+xy+y2
=x−yx+12y2+34y2>0，故B正确；
对于C，指数函数y=12x在R上单调递减，x>y，
所以12x<12y，故C错误；
对于D，由x>y，得x−y+1>1，
所以lnx−y+1>0，故D正确.
故选BD.
【答案】
B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的对称性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由题设T=π=2πω，得ω=2，得cs2×5π12+φ=±1，解得φ=kπ−5π6,k∈Z，
由0<φ<π2，得φ=π6.故A错误.所以y=cs2x+π6，
对于B，y=sin2x向左平移π3得y=sin2x+π3=sin2x+2π3=sin2x+π2+π6=cs2x+π6，故B正确.
对于C，当x∈0,π2,2x+π6∈π6,7π6，此时f(x)∈−1,32，故C正确.
对于D，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+512π,k∈Z，对k赋值，得D错
【解答】
解：A，由题设T=π=2πω，得ω=2，
图象的对称轴为x=5π12，得cs2×5π12+φ=±1，解得φ=kπ−5π6,k∈Z，
由0<φ<π2，得φ=π6，故A错误；
B，由上述解答可得f(x)=cs2x+π6，
y=sin2x向左平移π3得y=sin2x+π3
=sin2x+2π3=sin2x+π2+π6
=cs2x+π6，故B正确；
C，当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，此时f(x)∈−1,32，故C正确；
D，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+512π,k∈Z，此时函数f(x)单调递减，
对k赋值，可得当x∈(−7π12，−π2)时，f(x)单调递增，故D错误.
故选BC.
【答案】
A,C
【考点】
分段函数的应用
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A选项，当a=2时，f32=2f12=4，A正确；
B选项，当0x∈(n−1,n]，fx∈0,2an−1，
所以此时fx的值域为0,2，
当a=0时，当x∈0,1时，fx∈0,2，x∈1,+∞，fx=0，
所以此时fx的值域为0,2，
当−1当x∈(n−1,n]，n为奇数时，fx∈0,2an−1，
当n为偶数时，fx∈2an−1,0，
所以此时fx的值域为2a,2
综上所述，fx的值域不可能是−2,2，B不正确；
C选项，当a=2时，x∈n−1,nn∈N∗时，
所以x−n+1∈0,1，
fx=2fx−1=22fx−2
=⋯=2n−1fx−n−1
=2n−12−4|x−2n−12|，C正确；
D选项，当a>0时，x∈n−1,nn∈N∗，
fx=an−12−4|x−2n−12|，
令gx=2ax−12，当a=1时， gx=2，fx∈0,2满足题意．
当a>0且a≠1时，令ℎx=gx−fx，
当x∈n−1,nn∈N∗时，
ℎx=gx−fx
=2ax−12−an−12−4|x−2n−12|，
当x∈n−1,n−12时，
ℎ′x=2ax−12lna−4an−1，
ℎn−1=2an−32>0，
当x∈n−12,n−1时，
ℎ′x=2ax−12lna+4an−1，
ℎn=2an−12>0，
当x=n−12时， ℎx=0，
所以当a>1时，ℎ′n−12=2an−1lna−4an−1≤0，解得1当0综上：若fx≤2ax−12在[0,+∞)上恒成立，需满足e−2≤a≤e2，D不正确．
故选AC.
三、填空题
【答案】
40
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：Tr+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2rC5rx10−3r，由10−3r=4，解得r=2，由此能求出(x2+2x)5的展开式中x4的系数．
【解答】
解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：
Tr+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2rC5rx10−3r，
由10−3r=4，解得r=2，
∴ (x2+2x)5的展开式中x4的系数为22C52=40．
故答案为：40.
【答案】
102
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由已知结合三角形的面积公式及基本不等式即可直接求解．
【解答】
解：设直角三角形的直角边分别为a，b，斜边长为c，
则12ab=50，ab=100 a>0,b>0，
∴ c2=a2+b2≥2ab=200，
当且仅当a=b=10时取等号，
∴ 该直角三角形的斜边的最小值c=200=102.
故答案为：102．
【答案】
1
【考点】
奇函数
函数的求值
函数的周期性
【解析】
利用函数的奇偶性与周期，f(0)=0,f(1)=1,f(2)=f(1−1)=0,f(3)=f(1−2)=−f(1)=−1，可得解.
【解答】
解：由题设函数为定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，f(0)=0,
由f(1−x)=f(1+x)，得f(−x)=f(2+x)，
所以得f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=f(x)，得f(x)周期为4,
所以f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)=−1，
f(4)=f(0)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
2021÷4=505⋯⋯1，
所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2021)=f(1)=1.
故答案为：1.
【答案】
212,9π4
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
二面角的平面角及求法
【解析】
利用条件首先求出三棱锥的外接球半径，再判断截面最小，并求最小值面积.
【解答】
解：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，
所以△CBD和△ABD是等边三角形，
取M为△CBD的外接圆圆心，N为△A′BD的外接圆圆心，AC与BD相交于Q，
由几何体的对称性可知，三棱锥A′−BCD的外接球球心O在平面A′MC上，连结OM，ON，OQ，OA′，OE′，
则OM⊥平面CBD，ON⊥平面A′BD，
在等边△A′BD中，BD=3，
QN=13A′Q=32，A′N=23A′Q=3，
在Rt△OQN中，∠OQN=60∘，
则ON=QN⋅tan60∘=32，
在Rt△ONA′中，
外接球半径R=A′O=ON2+A′N2=94+3=212，
当平面α与OE′垂直时，截面面积最小，
在Rt△OQE′中，E′N=13AQ=QN=32，ON=32，
所以OE′=ON2+E′N2=94+34=3，
则截面半径r=R2−E′O2=214−3=32，
所以截面面积为S=πr2=94π.
故答案为：212；9π4.
四、解答题
【答案】
(1)证明：如图，取BB1中点D，连接ED，FD，
平行四边形BCC1B1中，E为CC1中点，D为BB1中点，
所以ED//CB，
△B1BA1中，F为A1B1中点，D为BB,中点，
所以FD//A1B，
因为ED,FD⊂平面EFD，ED∩FD=D，
所以平面EFD//平面A1BC．
又EF⊂平面EFD，所以EF//平面A1BC．
(2)解：设AA1=ℎ，VABC−A1B1C1=S△ABC⋅ℎ=3ℎ，
所以3ℎ=26，即ℎ=22．
因为平面ABC//平面A1B1C1，
所以EF与平面ABC所成的角即直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为CC1⊥平面A1B1C1，
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，
所以∠EFC1即为直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为EC1=2，FC1=3，所以EF=5，
所以cs∠EFC1=35=155，
即直线EF与平面ABC所成角的余弦值为155 ．
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面所成的角
【解析】
【解答】
(1)证明：如图，取BB1中点D，连接ED，FD，
平行四边形BCC1B1中，E为CC1中点，D为BB1中点，
所以ED//CB，
△B1BA1中，F为A1B1中点，D为BB,中点，
所以FD//A1B，
因为ED,FD⊂平面EFD，ED∩FD=D，
所以平面EFD//平面A1BC．
又EF⊂平面EFD，所以EF//平面A1BC．
(2)解：设AA1=ℎ，VABC−A1B1C1=S△ABC⋅ℎ=3ℎ，
所以3ℎ=26，即ℎ=22．
因为平面ABC//平面A1B1C1，
所以EF与平面ABC所成的角即直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为CC1⊥平面A1B1C1，
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，
所以∠EFC1即为直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为EC1=2，FC1=3，所以EF=5，
所以cs∠EFC1=35=155，
即直线EF与平面ABC所成角的余弦值为155 ．
【答案】
解：设AC=x，在△ACD中由余弦定理可得：
49=x2+25−2⋅x⋅5⋅csπ3，
即x2−5x−24=0，
解得x=8或x=−3（舍去），
所以AC=8．
方案一：选择条件①
由正弦定理得sinCsinB=sinBsinA+B2，
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，所以sinC=sinA+B2，
又因为A+B=π−C，
所以sinC=2sinC2csC2=csC2．
因为C∈0,π，
所以C2∈0,π2，所以csC2≠0．
所以sinC2=12,
即C2=π6，C=π3.
又A=π3，所以△ABC是等边三角形，
所以AB=8，所以DB=3，故AD>DB.
方案二：选择条件②
由csB=217，得sinB=277.
因为A+B+C=π，
所以sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
=32×217+12×277=5714，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB5714=8277,
解得AB=10，
又AD=5，故AD=DB.
方案三：选择条件③
因为bcsC+csinB=a，
由正弦定理得sinBcsC+sinCsinB=sinA，
因为A+B+C=π，
所以sinBcsC+sinCsinB=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinCsinB=sinCcsB,
又因为sinC≠0，所以sinB=csB,
又因为B∈0,π，故B=π4,
所以∠ACB=5π12，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB6+24=822，
解得AB=43+1>10，
又因为AD=5，
所以AD【考点】
正弦定理
二倍角的正弦公式
余弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AC=x，在△ACD中由余弦定理可得：
49=x2+25−2⋅x⋅5⋅csπ3，
即x2−5x−24=0，
解得x=8或x=−3（舍去），
所以AC=8．
方案一：选择条件①
由正弦定理得sinCsinB=sinBsinA+B2，
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，所以sinC=sinA+B2，
又因为A+B=π−C，
所以sinC=2sinC2csC2=csC2．
因为C∈0,π，
所以C2∈0,π2，所以csC2≠0．
所以sinC2=12,
即C2=π6，C=π3.
又A=π3，所以△ABC是等边三角形，
所以AB=8，所以DB=3，故AD>DB.
方案二：选择条件②
由csB=217，得sinB=277.
因为A+B+C=π，
所以sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
=32×217+12×277=5714，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB5714=8277,
解得AB=10，
又AD=5，故AD=DB.
方案三：选择条件③
因为bcsC+csinB=a，
由正弦定理得sinBcsC+sinCsinB=sinA，
因为A+B+C=π，
所以sinBcsC+sinCsinB=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinCsinB=sinCcsB,
又因为sinC≠0，所以sinB=csB,
又因为B∈0,π，故B=π4,
所以∠ACB=5π12，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB6+24=822，
解得AB=43+1>10，
又因为AD=5，
所以AD【答案】
解：(1)因为f′x=3x2−6x+3b，
由题意可得f′(0)=0，f(0)=1，
解得b=0,c=1，
所以fx=x3−3x2+1；
又f1=−1,f′1=−3，
所以函数y=fx图象在x=1处切线的方程为y−−1=−3x−1 ，
即3x+y−2=0．
(2)因为f′(x)=3x2−6x，令3x2−6x=0，得x=0或x=2．
当x<0时，f′x>0，函数fx为增函数，
当0当x>2时，f′x>0，函数fx为增函数．
因为函数fx在t,t+2上不单调，
所以t<0所以−2【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)因为f′x=3x2−6x+3b，
由题意可得f′(0)=0，f(0)=1，
解得b=0,c=1，
所以fx=x3−3x2+1；
又f1=−1,f′1=−3，
所以函数y=fx图象在x=1处切线的方程为y−−1=−3x−1 ，
即3x+y−2=0．
(2)因为f′(x)=3x2−6x，令3x2−6x=0，得x=0或x=2．
当x<0时，f′x>0，函数fx为增函数，
当0当x>2时，f′x>0，函数fx为增函数．
因为函数fx在t,t+2上不单调，
所以t<0所以−2【答案】
(1)证明：连接BD，BD=CD2+CB2=22，AD=22，
所以BD2+AD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l，
又P∈l，所以PM即为交线l，
取AB中点Q，连接DQ，则DQ⊥DC，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，
以DQ，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则P(1,−1,2)，C(0,2,0)，M(−2,2,0)，D(0,0,0)，
所以DP→=(1,−1,2)，DC→=0,2,0，
设平面PDC的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅DC→=0，m→⋅DP→=0，
所以y=0，x+2z=0，取m→=−2,0,1，
设Nx1,y1,z1，PN→=λPM→，
则x1−1,y1+1,z1−2=λ−3,3,−2，
所以x1=1−3λ，y1=−1+3λ，z1=2−2λ，
DN→=(1−3λ,−1+3λ,2−2λ)，DC→=0,2,0，
设平面NDC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅DC→=0，n→⋅DN→=0，
所以y2=0，1−3λx2+2−2λz2=0，
取n→=(2−2λ,0,3λ−1)，
所以|cs|
=|(−2)×2(1−λ)+3λ−1|3⋅2(1−λ)2+(3λ−1)2=13，
所以8λ2−10λ+3=0，
所以λ=12，λ=34，
经检验λ=34时，不合题意，舍去，
所以存在N，N为PM中点．
【考点】
直线与平面垂直的判定
两条直线垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明：连接BD，BD=CD2+CB2=22，AD=22，
所以BD2+AD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l，
又P∈l，所以PM即为交线l，
取AB中点Q，连接DQ，则DQ⊥DC，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，
以DQ，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则P(1,−1,2)，C(0,2,0)，M(−2,2,0)，D(0,0,0)，
所以DP→=(1,−1,2)，DC→=0,2,0，
设平面PDC的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅DC→=0，m→⋅DP→=0，
所以y=0，x+2z=0，取m→=−2,0,1，
设Nx1,y1,z1，PN→=λPM→，
则x1−1,y1+1,z1−2=λ−3,3,−2，
所以x1=1−3λ，y1=−1+3λ，z1=2−2λ，
DN→=(1−3λ,−1+3λ,2−2λ)，DC→=0,2,0，
设平面NDC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅DC→=0，n→⋅DN→=0，
所以y2=0，1−3λx2+2−2λz2=0，
取n→=(2−2λ,0,3λ−1)，
所以|cs|
=|(−2)×2(1−λ)+3λ−1|3⋅2(1−λ)2+(3λ−1)2=13，
所以8λ2−10λ+3=0，
所以λ=12，λ=34，
经检验λ=34时，不合题意，舍去，
所以存在N，N为PM中点．
【答案】
解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P=(0.04+0.02)×5=0.3，
则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973．
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4；
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2；
m∈[95,100)的频率为0.02×5=0.1，
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件，
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90.95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示(1故每件产品的利润y=0.3t+0.8t+0.6t+0.8t−0.5et=2.5t−0.5et(1则y′=2.5−0.5et，令y′=2.5−0.5et=0得t=ln5，
故当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=2.5t−0.5et单调递增；
当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=2.5t−0.5et单调递减，
所以当t=ln5时，y取得最大值，为2.5×ln5−0.5eln5≈1.5，
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．
【考点】
简单随机抽样
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
根据实际问题选择函数类型
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P=(0.04+0.02)×5=0.3，
则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973．
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4；
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2；
m∈[95,100)的频率为0.02×5=0.1，
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件，
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90.95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示(1故每件产品的利润y=0.3t+0.8t+0.6t+0.8t−0.5et=2.5t−0.5et(1则y′=2.5−0.5et，令y′=2.5−0.5et=0得t=ln5，
故当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=2.5t−0.5et单调递增；
当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=2.5t−0.5et单调递减，
所以当t=ln5时，y取得最大值，为2.5×ln5−0.5eln5≈1.5，
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．
【答案】
解：(1)方法①：fx的定义域为(0,+∞)，
由题意f′(x)=(x+1)(ex−ax)=(x+1)(xex−ax)，
令xex−a=0，得a=xex，
令g(x)=xex,
g′x=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以gx在x∈0,+∞上为增函数，且g0=0，
所以a=xex有唯一实根，
即f′x=0有唯一实根，设为x0，
即a=x0ex0,
所以fx在(0,x0)上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
所以fxmin=fx0=x0ex0−alnx0+x0=a−alna ．
方法②：fx=xex−alnx+x=elnx+x−a(lnx+x)(x>0)，
设t=lnx+x，则t∈R.
记φ(t)=et−at(t∈R)，
故f(x)最小值即为φ(t)最小值，
φ′(t)=et−a(a>0),
当t∈−∞,lna时，φ′(t)<0，φ′(t)单调递减，
当t∈lna,+∞时，φ′(t)>0，φ′(t)单调递增，
所以f(x)min=φ(lna)=elna−alna=a−alna，
所以f(x)的最小值为a−alna.
(2)①当a≤0时，fx单调递增，fx值域为R，不符合题意，
当a>0时，由(1)可知fminx=a−alna，
设φa=a−alnaa>0，
所以φ′a=−lna.
当a∈0,1时，φ′a>0，φ(a)单调递增，
当a∈(1,+∞) 时，φ′a<0，φa单调递减，
所以φ(a)max=φ1=1，即a−alna≤1 ，
由已知，fx≥1恒成立，
所以a−alna≥1，
所以a−alna=1，所以a=1 .
②由①可知xex−lnx−x≥1，
因此只需证：x2+x>2lnx+2sinx，
又因为lnx≤x−1，
只需证x2+x>2x−2+2sinx，
即x2−x+2>2sinx，
当x>1时，x2−x+2>2≥2sinx结论成立，
当x∈(0,1]时，设g(x)=x2−x+2−2sinx，
g′x=2x−1−2csx，
当x∈(0,1]时，g′(x)显然单调递增，
g′(x)≤g′(1)=1−2cs1<0，故g(x)单调递减，
g(x)≥g1=2−2sin1>0，即x2−x+2>2sinx．
综上，结论成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
【解答】
解：(1)方法①：fx的定义域为(0,+∞)，
由题意f′(x)=(x+1)(ex−ax)=(x+1)(xex−ax)，
令xex−a=0，得a=xex，
令g(x)=xex,
g′x=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以gx在x∈0,+∞上为增函数，且g0=0，
所以a=xex有唯一实根，
即f′x=0有唯一实根，设为x0，
即a=x0ex0,
所以fx在(0,x0)上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
所以fxmin=fx0=x0ex0−alnx0+x0=a−alna ．
方法②：fx=xex−alnx+x=elnx+x−a(lnx+x)(x>0)，
设t=lnx+x，则t∈R.
记φ(t)=et−at(t∈R)，
故f(x)最小值即为φ(t)最小值，
φ′(t)=et−a(a>0),
当t∈−∞,lna时，φ′(t)<0，φ′(t)单调递减，
当t∈lna,+∞时，φ′(t)>0，φ′(t)单调递增，
所以f(x)min=φ(lna)=elna−alna=a−alna，
所以f(x)的最小值为a−alna.
(2)①当a≤0时，fx单调递增，fx值域为R，不符合题意，
当a>0时，由(1)可知fminx=a−alna，
设φa=a−alnaa>0，
所以φ′a=−lna.
当a∈0,1时，φ′a>0，φ(a)单调递增，
当a∈(1,+∞) 时，φ′a<0，φa单调递减，
所以φ(a)max=φ1=1，即a−alna≤1 ，
由已知，fx≥1恒成立，
所以a−alna≥1，
所以a−alna=1，所以a=1 .
②由①可知xex−lnx−x≥1，
因此只需证：x2+x>2lnx+2sinx，
又因为lnx≤x−1，
只需证x2+x>2x−2+2sinx，
即x2−x+2>2sinx，
当x>1时，x2−x+2>2≥2sinx结论成立，
当x∈(0,1]时，设g(x)=x2−x+2−2sinx，
g′x=2x−1−2csx，
当x∈(0,1]时，g′(x)显然单调递增，
g′(x)≤g′(1)=1−2cs1<0，故g(x)单调递减，
g(x)≥g1=2−2sin1>0，即x2−x+2>2sinx．
综上，结论成立．质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
90,100
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
90,100
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
−53et
S
0
1
2
P
27
47
17
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100)
利润y
6t
8t
4t
2t
−53et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
S
0
1
2
P
27
47
17
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100)
利润y
6t
8t
4t
2t
−53et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
1. 已知集合A=x|−2≤x<4，B=x|−5
2. “a>1”是“a−1a−2<0”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 已知变量x，y之间的一组数据如表：
若y关于x的线性回归方程为y=0.7x+a，则a=( )
A.0.1B.0.2
4. 已知a，b为不同直线，α，β为不同平面，则下列结论正确的是( )
A.若a⊥α，b⊥a，则b//α
B.若a，b⊂α，a//β，b//β，则α//β
C.若a//α，b⊥β，a//b，则α⊥β
D.若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β
5. 高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有( )
A.15种B.90种C.120种D.180种
6. 已知α∈π2,π， tanα=−3，则sinα−π4等于( )
A.55B.255C.35D.35
7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t（单位：天）满足函数关系Pt=P02−t30，其中P0为t=0时该放射性同位素的含量．已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为−32ln210，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为( )
A.20天B.30天C.45天D.60天
8. 定义运算⊗：①对∀m∈R，m⊗0=0⊗m=m；
②对∀m，n，p∈R，(m⊗n)⊗p=p⊗(mn)+m⊗p+n⊗p.
若f(x)=ex−1⊗e1−x，则有( )
A.函数y=fx的图象关于x=1对称B.函数fx在R上单调递增
C.函数fx的最小值为2D.f223>f232
二、多选题
中国的华为公司是全球领先的ICT（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人，每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是( )
A.根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在31,32内
B.根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势
C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小
D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少
若非零实数x，y满足x>y，则以下判断正确的是( )
A.1x<1yB.x3>y3C.12x>12yD.lnx−y+1>0
已知函数fx=csωx+φω>0,0<φ<π2的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为x=5π12，则( )
A.φ=π3
B.函数y=fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
C.函数fx在0,π2上的值域为−1,32
D.函数fx在区间−π,−π2上单调递减
已知函数fx=2−4|x−12|, 0≤x≤1afx−1, x>1,’其中a∈R，下列关于函数fx的判断正确的为( )
A.当a=2时，f32=4
B.当|a|<1时，函数fx的值域−2,2
C.当a=2且x∈n−1,nn∈N∗时，fx=2n−12−4|x−2n−12|
D.当a>0时，不等式fx≤2ax−12在[0,+∞)上恒成立
三、填空题
(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________.
若一直角三角形的面积为50，则该直角三角形的斜边的最小值为________.
已知fx是定义在R上的奇函数，满足f1−x=f1+x．若f1=1，则f1+f2+f3+⋯ +f2021=________.
已知菱形ABCD边长为3，∠BAD=60∘，E为对角线AC上一点，AC=6AE，将△ABD沿BD翻折到△A′BD的位置，E记为E′且二面角A′−BD−C的大小为120∘，则三棱锥A′−BCD的外接球的半径为________；过E′作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为________.
四、解答题
已知正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，点E，F分别为棱CC1与A1B1的中点．
(1)求证：直线EF//平面A1BC；
(2)若该正三棱柱的体积为26，求直线EF与平面ABC所成角的余弦值．
在①csinB=bsinA+B2，②csB=217，③bcsC+csinB=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3，D是边AB上一点，AD=5，CD=7，且________，试判断AD和DB的大小关系．
已知函数fx=x3−3x2+3bx+c在x=0处取得极大值1.
(1)求函数y=fx的图象在x=1 处切线的方程；
(2)若函数fx在t,t+2上不单调，求实数t的取值范围．
四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，CD//AB，∠ABC=90∘，AB=2BC=2CD=4，侧面PAD⊥面ABCD，PA=PD=2.
(1)求证：BD⊥PA；
(2)已知平面PAD与平面PBC的交线为l，在l上是否存在点N，使二面角P−DC−N的余弦值为13？若存在，请确定N点位置，若不存在，请说明理由．
2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地 YC−801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为mm∈70,100，其质量指标等级划分如下表：
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95）的件数X的分布列及数学期望；
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y（单位：元）的关系如下表1
ln2≈0.7,ln5≈1.6）．
已知函数fx=xex−alnx+x.
(1)当a>0时，求fx的最小值；
(2)若对任意x>0恒有不等式fx≥1成立．
①求实数a的值；
②证明：x2ex>x+2lnx+2sinx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接利用交集运算求解即可.
【解答】
解：∵ 集合A=x|−2≤x<4，B=x|−5
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次不等式的解法
【解析】
由a|1
【解答】
解：由a−1a−2<0可得，1
∴ “a>1”是“a−1a−2<0”的必要不充分条件.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．
【解答】
解：由题意，x¯=3+4+5+64=4.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5，
代入线性回归方程为y=0.7x+a，可得3.5=0.7×4.5+a，
∴ a=0.35.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
直接利用线面关系，借助判定定理判定即可.
【解答】
解：a，b为不同直线，α，β为不同平面，
A，若a⊥α，b⊥a，则b//α或b⊂α，故A错误；
B，若a，b⊂α，a//β，b//β，则a//b，则α//β或α与β相交，故B错误；
C，若b⊥β，a//b，则a⊥β，又a//α，则易得α⊥β，故C正确；
D，若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α与β相交，但不一定垂直，故D错误．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
首先将5个人，按要求分层3组，再全排即可.
【解答】
解：有题意可知：5个人分成3组的人数分别为：2，2，1，
故报名方案有C52⋅C322⋅A33=90（种）.
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先求出sinα=31010，csα=−1010，将sinα−π4展开，代入即可得到答案.
【解答】
解：由题意可得：tanα=sinαcsα=−3，sin2α+cs2α=1，
又α∈π2,π，
可得sinα=31010，csα=−1010，
∴ sinα−π4=sinαcsπ4−csαsinπ4=255.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
导数的运算
函数的求值
【解析】
求导，得到得P0=18，进而求出Pt=18×2−t30，令Pt=18×2−t30=4.5，求解即可.
【解答】
解：由题意可得：P′t=−P030⋅ln2⋅2−t30，
当t=15时，P′15=−P030⋅ln2⋅2−12=−32ln210，
解得P0=18，
∴ Pt=18×2−t30，
令Pt=18×2−t30=4.5，
解得t=60，
∴ 该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为60天.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
函数新定义问题
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
先得到fx=ex−1+e1−x+1，然后利用函数的图象与性质、导数、基本不等式即可得解．
【解答】
解：A，fx=ex−1⊗e1−x
=(ex−1⊗e1−x)⊗0
=0⊗(ex−1⋅e1−x)+ex−1⊗0+e1−x⊗0
=e0+ex−1+e1−x
=ex−1+e1−x+1 ，
f1−x=e−x+ex+1，
f1+x=e−x+ex+1，
所以f1−x=f1+x，
所以fx的图象关于直线x=1对称，A项正确；
B，f′x=ex−1−e1−x，
令f′(x)=0，则x=1，
当x>1时，f′x>0，当x<1时，f′x<0，
所以fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，B项错误；
C，fxmin=f(1)=3，C项错误；
D，因为fx在1,+∞上单调递增，1<223<232，
所以f223
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
利用平均数，极差的概念得解,逐项分析.
【解答】
解：对于A，14+21+26+30+52+476≈31.67∈31，32，故A正确；
对于B，由图像可得B正确；
对于C，甲店的极差52−14=38，乙店的极差53−7=46，故C错误；
对于D，甲店7，8，9月份的总营业额30+52+47=129，乙店7，8，9月份的总营业额33+44+53=130，故D正确.
故选ABD.
【答案】
B,D
【考点】
不等式性质的应用
【解析】
利用特值法，比差法，指数函数的性质，对数函数的性质逐项分析得解.
【解答】
解：对于A，当x=2，y=−1时，12>−1，故A错误；
对于B，x3−y3=x−yx2+xy+y2
=x−yx+12y2+34y2>0，故B正确；
对于C，指数函数y=12x在R上单调递减，x>y，
所以12x<12y，故C错误；
对于D，由x>y，得x−y+1>1，
所以lnx−y+1>0，故D正确.
故选BD.
【答案】
B,C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的对称性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由题设T=π=2πω，得ω=2，得cs2×5π12+φ=±1，解得φ=kπ−5π6,k∈Z，
由0<φ<π2，得φ=π6.故A错误.所以y=cs2x+π6，
对于B，y=sin2x向左平移π3得y=sin2x+π3=sin2x+2π3=sin2x+π2+π6=cs2x+π6，故B正确.
对于C，当x∈0,π2,2x+π6∈π6,7π6，此时f(x)∈−1,32，故C正确.
对于D，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，解得kπ−π12≤x≤kπ+512π,k∈Z，对k赋值，得D错
【解答】
解：A，由题设T=π=2πω，得ω=2，
图象的对称轴为x=5π12，得cs2×5π12+φ=±1，解得φ=kπ−5π6,k∈Z，
由0<φ<π2，得φ=π6，故A错误；
B，由上述解答可得f(x)=cs2x+π6，
y=sin2x向左平移π3得y=sin2x+π3
=sin2x+2π3=sin2x+π2+π6
=cs2x+π6，故B正确；
C，当x∈0,π2时，2x+π6∈π6,7π6，此时f(x)∈−1,32，故C正确；
D，令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+512π,k∈Z，此时函数f(x)单调递减，
对k赋值，可得当x∈(−7π12，−π2)时，f(x)单调递增，故D错误.
故选BC.
【答案】
A,C
【考点】
分段函数的应用
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A选项，当a=2时，f32=2f12=4，A正确；
B选项，当0
所以此时fx的值域为0,2，
当a=0时，当x∈0,1时，fx∈0,2，x∈1,+∞，fx=0，
所以此时fx的值域为0,2，
当−1
当n为偶数时，fx∈2an−1,0，
所以此时fx的值域为2a,2
综上所述，fx的值域不可能是−2,2，B不正确；
C选项，当a=2时，x∈n−1,nn∈N∗时，
所以x−n+1∈0,1，
fx=2fx−1=22fx−2
=⋯=2n−1fx−n−1
=2n−12−4|x−2n−12|，C正确；
D选项，当a>0时，x∈n−1,nn∈N∗，
fx=an−12−4|x−2n−12|，
令gx=2ax−12，当a=1时， gx=2，fx∈0,2满足题意．
当a>0且a≠1时，令ℎx=gx−fx，
当x∈n−1,nn∈N∗时，
ℎx=gx−fx
=2ax−12−an−12−4|x−2n−12|，
当x∈n−1,n−12时，
ℎ′x=2ax−12lna−4an−1，
ℎn−1=2an−32>0，
当x∈n−12,n−1时，
ℎ′x=2ax−12lna+4an−1，
ℎn=2an−12>0，
当x=n−12时， ℎx=0，
所以当a>1时，ℎ′n−12=2an−1lna−4an−1≤0，解得1
故选AC.
三、填空题
【答案】
40
【考点】
二项式定理的应用
二项展开式的特定项与特定系数
【解析】
由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：Tr+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2rC5rx10−3r，由10−3r=4，解得r=2，由此能求出(x2+2x)5的展开式中x4的系数．
【解答】
解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：
Tr+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2rC5rx10−3r，
由10−3r=4，解得r=2，
∴ (x2+2x)5的展开式中x4的系数为22C52=40．
故答案为：40.
【答案】
102
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由已知结合三角形的面积公式及基本不等式即可直接求解．
【解答】
解：设直角三角形的直角边分别为a，b，斜边长为c，
则12ab=50，ab=100 a>0,b>0，
∴ c2=a2+b2≥2ab=200，
当且仅当a=b=10时取等号，
∴ 该直角三角形的斜边的最小值c=200=102.
故答案为：102．
【答案】
1
【考点】
奇函数
函数的求值
函数的周期性
【解析】
利用函数的奇偶性与周期，f(0)=0,f(1)=1,f(2)=f(1−1)=0,f(3)=f(1−2)=−f(1)=−1，可得解.
【解答】
解：由题设函数为定义在R上的奇函数，则f(−x)=−f(x)，f(0)=0,
由f(1−x)=f(1+x)，得f(−x)=f(2+x)，
所以得f(x+2)=−f(x)，f(x+4)=f(x)，得f(x)周期为4,
所以f(2)=f(0)=0，f(3)=f(1−2)=f(−1)=−f(1)=−1，
f(4)=f(0)=0，
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，
2021÷4=505⋯⋯1，
所以f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2021)=f(1)=1.
故答案为：1.
【答案】
212,9π4
【考点】
球内接多面体
球的表面积和体积
二面角的平面角及求法
【解析】
利用条件首先求出三棱锥的外接球半径，再判断截面最小，并求最小值面积.
【解答】
解：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD=60∘，
所以△CBD和△ABD是等边三角形，
取M为△CBD的外接圆圆心，N为△A′BD的外接圆圆心，AC与BD相交于Q，
由几何体的对称性可知，三棱锥A′−BCD的外接球球心O在平面A′MC上，连结OM，ON，OQ，OA′，OE′，
则OM⊥平面CBD，ON⊥平面A′BD，
在等边△A′BD中，BD=3，
QN=13A′Q=32，A′N=23A′Q=3，
在Rt△OQN中，∠OQN=60∘，
则ON=QN⋅tan60∘=32，
在Rt△ONA′中，
外接球半径R=A′O=ON2+A′N2=94+3=212，
当平面α与OE′垂直时，截面面积最小，
在Rt△OQE′中，E′N=13AQ=QN=32，ON=32，
所以OE′=ON2+E′N2=94+34=3，
则截面半径r=R2−E′O2=214−3=32，
所以截面面积为S=πr2=94π.
故答案为：212；9π4.
四、解答题
【答案】
(1)证明：如图，取BB1中点D，连接ED，FD，
平行四边形BCC1B1中，E为CC1中点，D为BB1中点，
所以ED//CB，
△B1BA1中，F为A1B1中点，D为BB,中点，
所以FD//A1B，
因为ED,FD⊂平面EFD，ED∩FD=D，
所以平面EFD//平面A1BC．
又EF⊂平面EFD，所以EF//平面A1BC．
(2)解：设AA1=ℎ，VABC−A1B1C1=S△ABC⋅ℎ=3ℎ，
所以3ℎ=26，即ℎ=22．
因为平面ABC//平面A1B1C1，
所以EF与平面ABC所成的角即直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为CC1⊥平面A1B1C1，
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，
所以∠EFC1即为直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为EC1=2，FC1=3，所以EF=5，
所以cs∠EFC1=35=155，
即直线EF与平面ABC所成角的余弦值为155 ．
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面所成的角
【解析】
【解答】
(1)证明：如图，取BB1中点D，连接ED，FD，
平行四边形BCC1B1中，E为CC1中点，D为BB1中点，
所以ED//CB，
△B1BA1中，F为A1B1中点，D为BB,中点，
所以FD//A1B，
因为ED,FD⊂平面EFD，ED∩FD=D，
所以平面EFD//平面A1BC．
又EF⊂平面EFD，所以EF//平面A1BC．
(2)解：设AA1=ℎ，VABC−A1B1C1=S△ABC⋅ℎ=3ℎ，
所以3ℎ=26，即ℎ=22．
因为平面ABC//平面A1B1C1，
所以EF与平面ABC所成的角即直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为CC1⊥平面A1B1C1，
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，
所以∠EFC1即为直线EF与平面A1B1C1所成的角，
因为EC1=2，FC1=3，所以EF=5，
所以cs∠EFC1=35=155，
即直线EF与平面ABC所成角的余弦值为155 ．
【答案】
解：设AC=x，在△ACD中由余弦定理可得：
49=x2+25−2⋅x⋅5⋅csπ3，
即x2−5x−24=0，
解得x=8或x=−3（舍去），
所以AC=8．
方案一：选择条件①
由正弦定理得sinCsinB=sinBsinA+B2，
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，所以sinC=sinA+B2，
又因为A+B=π−C，
所以sinC=2sinC2csC2=csC2．
因为C∈0,π，
所以C2∈0,π2，所以csC2≠0．
所以sinC2=12,
即C2=π6，C=π3.
又A=π3，所以△ABC是等边三角形，
所以AB=8，所以DB=3，故AD>DB.
方案二：选择条件②
由csB=217，得sinB=277.
因为A+B+C=π，
所以sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
=32×217+12×277=5714，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB5714=8277,
解得AB=10，
又AD=5，故AD=DB.
方案三：选择条件③
因为bcsC+csinB=a，
由正弦定理得sinBcsC+sinCsinB=sinA，
因为A+B+C=π，
所以sinBcsC+sinCsinB=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinCsinB=sinCcsB,
又因为sinC≠0，所以sinB=csB,
又因为B∈0,π，故B=π4,
所以∠ACB=5π12，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB6+24=822，
解得AB=43+1>10，
又因为AD=5，
所以AD
正弦定理
二倍角的正弦公式
余弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AC=x，在△ACD中由余弦定理可得：
49=x2+25−2⋅x⋅5⋅csπ3，
即x2−5x−24=0，
解得x=8或x=−3（舍去），
所以AC=8．
方案一：选择条件①
由正弦定理得sinCsinB=sinBsinA+B2，
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，所以sinC=sinA+B2，
又因为A+B=π−C，
所以sinC=2sinC2csC2=csC2．
因为C∈0,π，
所以C2∈0,π2，所以csC2≠0．
所以sinC2=12,
即C2=π6，C=π3.
又A=π3，所以△ABC是等边三角形，
所以AB=8，所以DB=3，故AD>DB.
方案二：选择条件②
由csB=217，得sinB=277.
因为A+B+C=π，
所以sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB
=32×217+12×277=5714，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB5714=8277,
解得AB=10，
又AD=5，故AD=DB.
方案三：选择条件③
因为bcsC+csinB=a，
由正弦定理得sinBcsC+sinCsinB=sinA，
因为A+B+C=π，
所以sinBcsC+sinCsinB=sinB+C
=sinBcsC+sinCcsB，
所以sinCsinB=sinCcsB,
又因为sinC≠0，所以sinB=csB,
又因为B∈0,π，故B=π4,
所以∠ACB=5π12，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=ACsinB，
即AB6+24=822，
解得AB=43+1>10，
又因为AD=5，
所以AD
解：(1)因为f′x=3x2−6x+3b，
由题意可得f′(0)=0，f(0)=1，
解得b=0,c=1，
所以fx=x3−3x2+1；
又f1=−1,f′1=−3，
所以函数y=fx图象在x=1处切线的方程为y−−1=−3x−1 ，
即3x+y−2=0．
(2)因为f′(x)=3x2−6x，令3x2−6x=0，得x=0或x=2．
当x<0时，f′x>0，函数fx为增函数，
当0
因为函数fx在t,t+2上不单调，
所以t<0
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)因为f′x=3x2−6x+3b，
由题意可得f′(0)=0，f(0)=1，
解得b=0,c=1，
所以fx=x3−3x2+1；
又f1=−1,f′1=−3，
所以函数y=fx图象在x=1处切线的方程为y−−1=−3x−1 ，
即3x+y−2=0．
(2)因为f′(x)=3x2−6x，令3x2−6x=0，得x=0或x=2．
当x<0时，f′x>0，函数fx为增函数，
当0
因为函数fx在t,t+2上不单调，
所以t<0
(1)证明：连接BD，BD=CD2+CB2=22，AD=22，
所以BD2+AD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l，
又P∈l，所以PM即为交线l，
取AB中点Q，连接DQ，则DQ⊥DC，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，
以DQ，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则P(1,−1,2)，C(0,2,0)，M(−2,2,0)，D(0,0,0)，
所以DP→=(1,−1,2)，DC→=0,2,0，
设平面PDC的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅DC→=0，m→⋅DP→=0，
所以y=0，x+2z=0，取m→=−2,0,1，
设Nx1,y1,z1，PN→=λPM→，
则x1−1,y1+1,z1−2=λ−3,3,−2，
所以x1=1−3λ，y1=−1+3λ，z1=2−2λ，
DN→=(1−3λ,−1+3λ,2−2λ)，DC→=0,2,0，
设平面NDC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅DC→=0，n→⋅DN→=0，
所以y2=0，1−3λx2+2−2λz2=0，
取n→=(2−2λ,0,3λ−1)，
所以|cs
=|(−2)×2(1−λ)+3λ−1|3⋅2(1−λ)2+(3λ−1)2=13，
所以8λ2−10λ+3=0，
所以λ=12，λ=34，
经检验λ=34时，不合题意，舍去，
所以存在N，N为PM中点．
【考点】
直线与平面垂直的判定
两条直线垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明：连接BD，BD=CD2+CB2=22，AD=22，
所以BD2+AD2=AB2，所以AD⊥BD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)解：延长AD，BC相交于点M，连接PM，
因为M∈平面PAD，M∈平面PBC，所以M∈l，
又P∈l，所以PM即为交线l，
取AB中点Q，连接DQ，则DQ⊥DC，
过D在平面PAD内作AD的垂线DH，则DH⊥平面ABCD，
以DQ，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则P(1,−1,2)，C(0,2,0)，M(−2,2,0)，D(0,0,0)，
所以DP→=(1,−1,2)，DC→=0,2,0，
设平面PDC的法向量为m→=x,y,z，
则m→⋅DC→=0，m→⋅DP→=0，
所以y=0，x+2z=0，取m→=−2,0,1，
设Nx1,y1,z1，PN→=λPM→，
则x1−1,y1+1,z1−2=λ−3,3,−2，
所以x1=1−3λ，y1=−1+3λ，z1=2−2λ，
DN→=(1−3λ,−1+3λ,2−2λ)，DC→=0,2,0，
设平面NDC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则n→⋅DC→=0，n→⋅DN→=0，
所以y2=0，1−3λx2+2−2λz2=0，
取n→=(2−2λ,0,3λ−1)，
所以|cs
=|(−2)×2(1−λ)+3λ−1|3⋅2(1−λ)2+(3λ−1)2=13，
所以8λ2−10λ+3=0，
所以λ=12，λ=34，
经检验λ=34时，不合题意，舍去，
所以存在N，N为PM中点．
【答案】
解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P=(0.04+0.02)×5=0.3，
则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973．
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4；
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2；
m∈[95,100)的频率为0.02×5=0.1，
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件，
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90.95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示(1
故当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=2.5t−0.5et单调递增；
当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=2.5t−0.5et单调递减，
所以当t=ln5时，y取得最大值，为2.5×ln5−0.5eln5≈1.5，
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．
【考点】
简单随机抽样
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
根据实际问题选择函数类型
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：(1)设事件A的概率为P(A)，则由频率分布直方图可得，
1件产品为废品的概率为P=(0.04+0.02)×5=0.3，
则P(A)=1−C33(0.3)3=1−0.027=0.973．
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5=0.4；
m∈[90,95)的频率为0.04×5=0.2；
m∈[95,100)的频率为0.02×5=0.1，
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件，
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90.95)的件数X的所有可能取值为0，1，2，
P(X=0)=C53C73=27，P(X=1)=C21C52C73=47，P(X=2)=C22C51C73=17，
所以X的分布列为：
所以E(X)=0×27+1×47+2×17=67．
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y（元）的关系如下表所示(1
故当t∈(1,ln5)时，y′>0，函数y=2.5t−0.5et单调递增；
当t∈(ln5,4)时，y′<0，函数y=2.5t−0.5et单调递减，
所以当t=ln5时，y取得最大值，为2.5×ln5−0.5eln5≈1.5，
所以生产该产品能够盈利，当t=ln5≈1.6时，每件产品的利润取得最大值1.5元．
【答案】
解：(1)方法①：fx的定义域为(0,+∞)，
由题意f′(x)=(x+1)(ex−ax)=(x+1)(xex−ax)，
令xex−a=0，得a=xex，
令g(x)=xex,
g′x=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以gx在x∈0,+∞上为增函数，且g0=0，
所以a=xex有唯一实根，
即f′x=0有唯一实根，设为x0，
即a=x0ex0,
所以fx在(0,x0)上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
所以fxmin=fx0=x0ex0−alnx0+x0=a−alna ．
方法②：fx=xex−alnx+x=elnx+x−a(lnx+x)(x>0)，
设t=lnx+x，则t∈R.
记φ(t)=et−at(t∈R)，
故f(x)最小值即为φ(t)最小值，
φ′(t)=et−a(a>0),
当t∈−∞,lna时，φ′(t)<0，φ′(t)单调递减，
当t∈lna,+∞时，φ′(t)>0，φ′(t)单调递增，
所以f(x)min=φ(lna)=elna−alna=a−alna，
所以f(x)的最小值为a−alna.
(2)①当a≤0时，fx单调递增，fx值域为R，不符合题意，
当a>0时，由(1)可知fminx=a−alna，
设φa=a−alnaa>0，
所以φ′a=−lna.
当a∈0,1时，φ′a>0，φ(a)单调递增，
当a∈(1,+∞) 时，φ′a<0，φa单调递减，
所以φ(a)max=φ1=1，即a−alna≤1 ，
由已知，fx≥1恒成立，
所以a−alna≥1，
所以a−alna=1，所以a=1 .
②由①可知xex−lnx−x≥1，
因此只需证：x2+x>2lnx+2sinx，
又因为lnx≤x−1，
只需证x2+x>2x−2+2sinx，
即x2−x+2>2sinx，
当x>1时，x2−x+2>2≥2sinx结论成立，
当x∈(0,1]时，设g(x)=x2−x+2−2sinx，
g′x=2x−1−2csx，
当x∈(0,1]时，g′(x)显然单调递增，
g′(x)≤g′(1)=1−2cs1<0，故g(x)单调递减，
g(x)≥g1=2−2sin1>0，即x2−x+2>2sinx．
综上，结论成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
【解答】
解：(1)方法①：fx的定义域为(0,+∞)，
由题意f′(x)=(x+1)(ex−ax)=(x+1)(xex−ax)，
令xex−a=0，得a=xex，
令g(x)=xex,
g′x=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以gx在x∈0,+∞上为增函数，且g0=0，
所以a=xex有唯一实根，
即f′x=0有唯一实根，设为x0，
即a=x0ex0,
所以fx在(0,x0)上为减函数，在x0,+∞上为增函数，
所以fxmin=fx0=x0ex0−alnx0+x0=a−alna ．
方法②：fx=xex−alnx+x=elnx+x−a(lnx+x)(x>0)，
设t=lnx+x，则t∈R.
记φ(t)=et−at(t∈R)，
故f(x)最小值即为φ(t)最小值，
φ′(t)=et−a(a>0),
当t∈−∞,lna时，φ′(t)<0，φ′(t)单调递减，
当t∈lna,+∞时，φ′(t)>0，φ′(t)单调递增，
所以f(x)min=φ(lna)=elna−alna=a−alna，
所以f(x)的最小值为a−alna.
(2)①当a≤0时，fx单调递增，fx值域为R，不符合题意，
当a>0时，由(1)可知fminx=a−alna，
设φa=a−alnaa>0，
所以φ′a=−lna.
当a∈0,1时，φ′a>0，φ(a)单调递增，
当a∈(1,+∞) 时，φ′a<0，φa单调递减，
所以φ(a)max=φ1=1，即a−alna≤1 ，
由已知，fx≥1恒成立，
所以a−alna≥1，
所以a−alna=1，所以a=1 .
②由①可知xex−lnx−x≥1，
因此只需证：x2+x>2lnx+2sinx，
又因为lnx≤x−1，
只需证x2+x>2x−2+2sinx，
即x2−x+2>2sinx，
当x>1时，x2−x+2>2≥2sinx结论成立，
当x∈(0,1]时，设g(x)=x2−x+2−2sinx，
g′x=2x−1−2csx，
当x∈(0,1]时，g′(x)显然单调递增，
g′(x)≤g′(1)=1−2cs1<0，故g(x)单调递减，
g(x)≥g1=2−2sin1>0，即x2−x+2>2sinx．
综上，结论成立．质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
90,100
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
90,100
利润y（元）
6t
8t
4t
2t
−53et
S
0
1
2
P
27
47
17
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100)
利润y
6t
8t
4t
2t
−53et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
S
0
1
2
P
27
47
17
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100)
利润y
6t
8t
4t
2t
−53et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
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