2022版新高考数学一轮总复习课后集训：38+等比数列及其前n项和+Word版含解析

课后限时集训(三十八)

等比数列及其前n项和

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一、选择题

1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于(　　)

A．－24　　 B．0　 　　

C．12　　 D．24

A　[由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]

2．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　)

A．1 B．－

C．1或－ D．－1或

C　[当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q的值是1或－，故选C.]

3．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列说法正确的是(　　)

A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列

B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列

C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列

D．数列是公比为的等比数列

AD　[对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列．故选AD.]

4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为(　　)

A．6里 B．12里 

C．24里 D．48里

B　[记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为的等比数列，由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×＝12(里)．故选B.]

5．(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋

ak＋10＝215－25，则k＝(　　)

A．2 B．3 

C．4 D．5

C　[令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.]

6．(2020·宝山区一模)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　)

A．若a1＋a2＞0，则a1＋a3＞0

B．若a1＋a3＞0，则a1＋a2＞0

C．若a1＞0，则S2 021＞0

D．若a1＞0，则S2 020＞0

C　[A错误，如数列：－1,2，－4，….

BD错误，如数列1，－2,4，….

C正确，当q＜0时，显然S2 021＞0；当0＜q＜1时，及q＞1时“1－q”与“1－q2 021”同号，故S2 021＞0；当q＝1时，显然S2 021＞0，故C正确．]

二、填空题

7．(2020·浙江嘉兴模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，则公比q＝________，S5＋a5＝________.

3　202　[由题意得2a1＝2，∴a1＝1.由a1＋a1q＋2a1q2＝22，得q＝3或－，∵an>0，∴q＝－不合题意，故q＝3，∴S5＋a5＝＋1×34＝202.]

8．在14与之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为，则此数列的项数为________．

5　[设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得＝，解得q＝－，

∴an＋2＝14×n＋2－1＝，即n＋1＝，解得n＝3，∴该数列共有5项．]

9．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________.

30　[由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．

设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．

由(x－2)2＝2×(14－x)，

解得x＝6或x＝－4(舍去)．

∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]

三、解答题

10．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.

(1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.

[解]　(1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1.

由已知得解得a1＝1，q＝3.

所以{an}的通项公式为an＝3n－1.

(2)由(1)知log3an＝n－1.

故Sn＝.

由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得m(m－1)＋(m＋1)m＝(m＋3)(m＋2)，即m2－5m－6＝0.

解得m＝－1(舍去)，m＝6.

11．设数列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N*)

(1)证明：数列{bn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：∵an＋2＝an＋1－an，

∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an，

∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝，

∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．

(2)由(1)知bn＝×n－1＝n，

∴an－an－1＝n－1，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n.

1．(多选)(2020·山东枣庄期中)将n2个数排成一个如下所示的n行n列的数阵：

该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0)．已知a11＝2，a13＝a61＋1，记这n2个数的和为S，则下列结论正确的有(　　)

A．m＝3

B．a67＝17×37

C．aij＝(3i－1)×3j－1

D．S＝n(3n＋1)(3n－1)

ACD　[由该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列，且a11＝2，a13＝a61＋1，可得a13＝a11m2＝2m2，a61＝a11＋5m＝2＋5m，所以2m2＝2＋5m＋1，解得m＝3或m＝－(舍去)，所以选项A正确；a67＝a61m6＝(2＋5×3)×36＝17×36，所以选项B不正确；aij＝ai1mj－1＝[a11＋(i－1)×m]×mj－1＝[2＋(i－1)×3]×3j－1＝(3i－1)×3j－1，所以选项C正确；S＝(a11＋a12＋…＋a1n)＋(a21＋a22＋…＋a2n)＋…＋(an1＋an2＋…＋ann)＝＋＋…＋＝(3n－1)·

＝n(3n＋1)(3n－1)，所以选项D正确．故选ACD.]

2.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．

　[由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.]

3．[结构不良试题]在①b4＝a3＋a5；②b4＋b6＝3a3＋3a5；③a2＋a3＝b4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的值；若k不存在，说明理由．

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是公比大于0的等比数列，b1＝1，b3＝b2＋2，b5＝a4＋2a6，且________，设cn＝，是否存在实数k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn?

[解]　设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>0)，因为{bn}是公比大于0的等比数列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2(q＝－1不合题意，舍去)．所以bn＝2n－1.

若存在k，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn，则cn存在最小值．

若选①，则由b5＝a4＋2a6，b4＝a3＋a5可得解得d＝1，a1＝1，所以Sn＝n2＋n，cn＝＝＝.

因为n∈N*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.

若选②，由b5＝a4＋2a6，b4＋b6＝3a3＋3a5可得解得d＝－1，a1＝，所以Sn＝－n2＋n，cn＝＝.

因为当n≤20时，cn>0，当n≥21时，cn<0，所以易知cn的最小值为c21＝－.

即存在k＝21，使得对任意的n∈N*，都有ck≤cn.

若选③，则由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4可得解得d＝，a1＝，所以Sn＝，cn＝＝.

因为2n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在满足题意的k.

1．(2020·宣城二模)将正整数排成如图所示：

试问2 020是表中第________行的第________个数．

11　997　[由题意得第n行有2n－1个数，20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝＝1 023，

20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047，

∴2 020是表中第11行的第997个数．]

2．[结构不良试题]设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知满足________，求公比q以及a＋a＋…＋a.

从①a2a5＝－32且a3＋a4＝－4，②a1＝1且S6＝9S3，③S2＝a3－1且S3＝a4－1这三组条件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答．

[解]　若选①，则有a2a5＝a3a4＝－32，

故有a3a4＝－32，a3＋a4＝－4，解得a3＝4，a4＝－8，或a3＝－8，a4＝4，即q＝－2或q＝－.

因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，

若q＝－2，a1＝1，此时a＋a＋…＋a＝；

或q＝－，a1＝－32，

此时a＋a＋…＋a＝.

若选②，＝8，即q3＝8，故q＝2.

因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，

所以a＋a＋…＋a＝.

若选③，S2＝a3－1(*)，S3＝a4－1(**)．

令(**)式减(*)式，得a3＝a4－a3，

即a4＝2a3，故q＝2.

则(*)式中，a1＋a2＝a3－1，

即a1＋2a1＝4a1－1，即a1＝1.

因为{a}是以a为首项，q2为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝.