2022版新高考数学一轮总复习课后集训：25+同角三角函数的基本关系与诱导公式+Word版含解析

课后限时集训(二十五)　同角三角函数的基本关系与诱导公式

建议用时：40分钟

一、选择题

1．(多选)(2020·潍坊月考)下列化简正确的是(　　)

A．tan(π＋1)＝tan 1

B．＝cos α

C．＝tan α

D．＝1

AB　[由诱导公式可得tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；

＝＝cos α，故B正确；

＝＝－tan α，故C不正确；

＝＝－1，故D不正确．

故选AB.]

2．cos＝，则sin等于(　　)

A． B． 

C．－ D．－

A　[sin＝sin

＝cos＝.]

3．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)

A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝ D．tan β＝

AC　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，

∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.

A中，sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；

B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；

C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故C符合条件；

D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC.]

4．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－ B． 

C． D．－

D　[∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－，故选D.]

5．(2020·湖南雅礼中学模拟)若sin α＋cos α＝1(0＜α＜π)，则3sin α－cos α＝(　　)

A．0 B．1 

C．－1 D．3

D　[∵sin α＋cos α＝1，

∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1，

∴2sin αcos α＝0.

∵0＜α＜π，

∴cos α＝0，sin α＝1，

∴3sin α－cos α＝3，故选D.]

6．(2020·九江二模)已知＝2，则tan α＝(　　)

A．－ B． 

C． D．2

A　[由＝2得sin α＝2＋2cos α，

两边平方得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，

即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，

整理得5cos2α＋8cos α＋3＝0，

解得cos α＝－或cos α＝－1(舍去)，

∴sin α＝2－2×＝，

∴tan α＝＝－，故选A.]

二、填空题

7．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.

　[因为tan A＝＞0，所以A为锐角，

由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，

可求得sin A＝.]

8．已知角α终边上一点P(－4,3)，则

的值为________．

－　[原式＝＝tan α，

根据三角函数的定义得tan α＝－.]

9．若f(x)＝sin＋1，且f(2 020)＝2，则f(2 021)＝________.

1　[由题意知，f(2 020)＝sin(1 010π＋α)＋1＝sin α＋1＝2，

∴sin α＝1，∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos α＝0，

∴f(2 021)＝sin＋1＝sin＋1＝cos α＋1＝1.]

三、解答题

10．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin 2α.

[解]　由已知得sin α＝2cos α.

(1)原式＝＝－.

(2)原式＝

＝＝.

11．已知α为第三象限角，

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos＝，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)因为cos＝，所以－sin α＝，

从而sin α＝－.

又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f(α)＝－cos α＝.

1．已知sin θ＝，cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan θ的值为(　　)

A．－ B．2 

C．－ D．－

C　[由sin2θ＋cos2θ＝1得2＋2＝1，

整理得a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4.

又θ是第二象限角，∴a＝4.

∴sin θ＝，cos θ＝－，

∴tan θ＝＝－，故选C.]

2．若＋＝，则sin αcos α＝(　　)

A．－ B．

C．－或1 D．或－1

A　[由＋＝得sin α＋cos α＝sin αcos α.

两边平方得1＋2sin αcos α＝3sin2αcos2α，

解得sin αcos α＝－或sin αcos α＝1，

由题意知－1＜sin α＜1，－1＜cos α＜1，且sin α≠0，cos α≠0，

所以sin αcos α≠1，故选A.]

3．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ和cos θ，且θ∈(0,2π)．

(1)求＋的值；

(2)求m的值；

(3)求方程的两根及此时θ的值．

[解]　(1)由根与系数的关系可知

而＋＝＋

＝sin θ＋cos θ＝.

(2)由①两边平方，得1＋2sin θcos θ＝，将②代入，得m＝.

(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，

则或

∵θ∈(0,2π)，∴θ＝或θ＝.

1.如图，角α和角β的终边垂直，且角α与单位圆的交点坐标为P，则sin β＝(　　)

A．－ B．

C．－ D．

B　[由任意角的三角函数的定义可知cos α＝，

所以sin β＝sin＝cos α＝，故选B.]

2．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．

[解]　假设存在角α，β满足条件．

由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.

∴sin2α＝，∴sin α＝±.

∵α∈，∴α＝±.

当α＝时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；

当α＝－时，由②式知cos β＝，

又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．

∴存在α＝，β＝满足条件．