专题12不等式选讲-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

专题12  不等式选讲

1．（2021·全国高考真题（文））已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过时的值可求.

【详解】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.

1．（2021·江西高三其他模拟（文））已知不等式的解集为

（1）求的值；

（2）若，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为4.

【分析】（1）用零点分区间法去绝对值后直接解不等式即可得到m、n；

（2）由（1）可得把转化为，利用基本不等式求最值.

【详解】解：（1）当时，由可得，解得，所以

当时，由可得，解得，所以

当时，由可得，解得，所以

综上所述，不等式的解集为，则

（2）由（1）可得所以

，

当且仅当，即时，等号成立，的最小值为4.

【点睛】（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；

（2）不等式的证明通常利用基本不等式、柯西不等式.

2．（2021·广西高三其他模拟（文））已知函数．

（1）解不等式：；

（2）已知实数满足：对都有，若，，且，求最小值．

【答案】（1）；（2）12.

【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集；

（2）由已知可知，是函数的最小值，求出即可得到，再利用柯西不等式求最小值，即可得到答案

【详解】（1）

当时，由得，则；

当时，由得，则；

当时，由，则；

综上，不等式的解集：.

（2）已知对都有，则，

，

则在上是减函数，在上是增函数，

所以，

，即，

则

，

当且仅当，即，，时等号成立，

所以.

【点睛】方法点睛：常见的应用不等式求最值题型：

“1”的代换：适用于已知两项的和为定值，求两项和的最小值；

二维不等式：，当且仅当时，等号成立；

一般形式： ，当且仅当时，等号成立.

3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）设，，，，集合中的最大元素为，且，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为.

【分析】（1）用零点分段讨论求解即可；

（2）由（1）知，进而由柯西不等式求解即可.

【详解】（1）不等式可化为

，或，或，

解得，或，或，

不等式的解集.

（2）易知，所以，，

由柯西不等式得

(当且仅当时取等号)，

，即，

的最小值为.

4．（2021·四川眉山市·仁寿一中高三其他模拟（文））已知函数.

（1）求函数的取值范围；

（2）若的最小值为，且，求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由绝对值不等式的性质可求得的取值范围；

（2）由基本不等式求得，，即可证明.

【详解】（1）

当且仅当，即时取到等号，

∴g(x)的取值范围是

（2）由（1）问可知g(x)的最小值为1，∴，

因为，所以，

同理，，

三个不等式相加得

即，当且仅当时等号成立.

5．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（文））已知函数.

(1)解不等式；

(2)若方程的解集为空集，求k的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)把函数化为分段函数形式，在各段上解不等式即可作答；

(2)化方程为，作出函数图象，利用数形结合的思想即可得解.

【详解】(1)，则不等式化为：

或或，解得或或，

即，所以不等式的解集为；

(2)，令

方程解集为空集，即直线与函数图象无公共点，在同一坐标系内作出直线和函数图象，如图：

直线是过原点的直线，当它过点A(4，2)时，，当它与直线BC平行时，，

观察图形知，当直线在直线和所夹含x轴的对顶角区域(不包括直线)内绕原点旋转时与函数图象无公共点，即，

所以k的取值范围是.

【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：

(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先根据绝对值的性质，将函数的解析表达式写成分段函数的形式，单后利用分区间讨论求解方法求得不等式的解集;

（2）等价转化为恒成立，利用绝对值不等式的性质求得的最大值，进而利用不等式恒成立的意义求得.

【详解】（1）当时，，不等式，即，

当时，由，解得；

当时，由，解得，故不等式无解；

当时，由，解得．

综上的解集为．

（2）等价于.

，当时，等号成立,

∴的最大值为，

∵恒成立,

∴，解得.

7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（文））已知函数，.

（1）解不等式；

（2）若，且恒成立，求实数的最小值.

【答案】（1）；（2）最小值为2.

【分析】（1）利用零点分段法求得不等式的解集.

（2）先求得的最大值，由此求得的取值范围，进而求得的最小值.

【详解】（1）,，，

当时，不等式转化为，无解.

当时，不等式转化为，故，

当时，不等式转化为，恒成立，故.

所以不等式的解集为.

（2）， 当且仅当时成立，

∴，，的最小值为2.

8．（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知f(x)＝|x+a|+|x﹣b|（a＞0，b＞0）．

（1）当a＝b＝1时，解不等式f(x)≥8﹣x2；

（2）若f(x)的最小值为2，求的最小值．

【答案】（1）{x|x≤或x≥}；（2）．

【分析】（1）当，时，， 分类讨论即可得解；

（2）由绝对值三角不等式可得，

若的最小值为2，则，所以，再利用基本不等式即可求最小值．

【详解】解：（1）a＝b＝1时，f(x)＝|x+1|+|x﹣1|，

当x＞1时，f(x)＝2x，问题转化为2x≥8﹣x2，解得：x≥2或x≤﹣4，

当﹣1≤x≤1时，f(x)＝2，问题转化为2≥8﹣x2，解得：x≥或x≤，

当x＜﹣1时，f(x)＝﹣2x，问题转化为﹣2x≥8﹣x2，解得：x≥4或x≤﹣2，

综上，不等式的解集是{x|x≤或x≥}；

（2）f(x)＝|x+a|+|x﹣b|≥|x+a﹣x+b|＝|a+b|＝a+b＝2，

故a+2+b＝4，即[（a+2）+b]＝1，

故

＝

＝

≥

＝，

当且仅当a+2＝2b即a＝，b＝时“＝”成立，

故的最小值是．

【点睛】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

9．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数f（x）的最小值为m.若a，b，c均为正实数，且a+b+2c＝2m，若成立，证明：或.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据绝对值的性质将函数写成分段函数，接着分段求解不等式即可；

（2）由（1）值，即，利用柯西不等式证明即可.

【详解】解：（1），

故等价于或或，

解得或或，即或，

∴所求不等式的解集为.

（2）证明：由（1）值，，

∴，则，

，

∴，

∴，解得或，即得证.

【点睛】绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

10．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数f(x)=|x+2a|x+|x+2|(x+2a).

（1）当a=2时，求不等式f(x)>0的解集；

（2）若当时，f(x)>0，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据零点分段法分类求解即可；

（2）按照、、分类，结合题意运算即可得解.

【详解】（1）当时，，

不等式f(x)>0等价于或或，

解得，

所以不等式的解集为；

（2）当即时，，

当时，，

此时，解得；

当即时，，

当时，，不合题意；

当时，，不合题意；

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】解决本题的关键是零点分段法的应用及对于取值范围的分类，细心运算即可得解.

11．（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）对于任意的正实数，且，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）通过讨论的取值范围，去掉绝对值然后求解不等式即可；

（2）先利用基本不等式求出的最小值，即是的最大值，然后由绝对值三角不等式可得，最后将问题转化为求解即可.

【详解】解：（1）当时，原不等式为，

当时，得，解得，所以；

当时，得，即恒成立，所以；

当时，得，解得，所以．

综上，原不等式的解集为．

（2）因为为正实数，

所以

（当且仅当时等号成立），所以的最大值为，

又因为（当时取到等号），

所以要使恒成立，只需，即或，

所以实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是，利用“1”的灵活运用求出的最小值以及利用绝对值三角不等式求出的最小值.

12．（2021·吉林白城市·白城一中高三其他模拟（文））已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先由，得到；讨论，，三种情况，分别解不等式，即可得出结果；

（2）先由，结合函数解析式，判断函数单调性，得出最小值，进而可得出结果.

【详解】（1）当时，，

①当时，则，∴，∴无解，

②当时，则，∴，

③当时，则，∴，

∴不等式 的解集为．

（2）若，

①当时，则，

②当时，，

③当时，，

∵在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∵恒成立，∴，

即，解得，又∵，

∴的取值范围为．

【点睛】方法点睛：

解绝对值不等式的常用方法：

（1）基本性质法：为正实数，，或；

（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于或型的不等式的求解；

（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；

（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；

（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.

13．（2021·天水市第一中学高三月考（文））设函数.

（1）解不等式；

（2）已知的最小值为，正实数､满足，求的最小值，并指出此时､的值.

【答案】（1）；（2）最小值为，，.

【分析】（1）将写成分段函数形式,从而可解不等式；

（2）由（1）可得的最小值为2,可得,即,则，化简利用基本不等式求出最值，从而求出答案.

【详解】（1）

∵,

当时，，，所以 ；

当时，， ，所以；

当时，，，所以 ；

当时，，，所以；

∴不等式的解集为；

（2）由（1）可知的最小值为

所以,即

所以

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为，此时，.

【点睛】本题考查利用基本不等式中“1”的特殊用法，解题时尤为注意等号成立的条件.

14．（2021·陕西高三其他模拟（文））已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立时，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可；

（2）由绝对值不等式可得，则由可求解.

【详解】解：（1）当时，，

所以当时，令，解得，所以；

当时，恒成立，所以；

当时，令，解得，所以．

综上所述，不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当时，等号成立，

令，解得或，所以实数的取值范围是．

【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值不等式的求解，解题的关键是分类讨论去绝对值.

15．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若函数的最小值为8，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）零点分段法分类讨论，解出含绝对值的不等式的解集即可；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最小值，即得，解之即可.

【详解】解：（1）当时，，所以，

所以，或，或，

解得或或.

所以不等式的解集为.

（2），

又，当且仅当时等号成立，

所以，

所以，解得.

【点睛】零点分段法进行分类讨论是解含绝对值不等式的常用方法.

16．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中高三其他模拟（文））已知

（1）若，解关于的不等式；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）当时，分段讨论得函数的解析式，再分别求解不等式可得答案；

（2）原不等式等价于在时恒成立．再令函数，由函数的单调性求得最值，以及基本不等式可求得实数的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，由得，

当时，由得，，解得一

当时，由得，，不等式解集为

综上所述，不等式的解集为．

（2）

由得，，即，，

在时恒成立，即在时恒成立．

由于时，是减函数，最大值为，等号在时成立，

所以，实数的取值范围是．

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：

① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

② 数形结合( 图象在 上方即可)；

③ 讨论最值或恒成立.

17．（2021·四川高三三模（文））已知函数.

（1）解不等式；

（2）若正实数，满足，试比较与的大小.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）分，和三种情况解不等式即可；

（2）先利用作差法判断与1的大小，然后利用函数的单调性可得答案

【详解】（1）由题

当时，，

得，此时不成立；

当时，，

得，此时取；

当时，，

得，此时取.

综上，不等式的解集为.

（2）

.

因为正实数，满足，

即有，则，

所以，

由（1）已知函数为的增函数，

所以.

【点睛】关键点点睛：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式证明方法等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想，解题的关键是比较与1的大小，属于中档题

18．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的恒成立，，求的最小值.

【答案】（1）；（2）8.

【分析】（1）由得到，然后分，，利用绝对值的几何意义求解；

（2）由对任意的恒成立，转化为，求得t的范围，然后利用基本不等式求解；

【详解】（1）当时，.

当时，恒成立，所以；

当时，由，得，所以；

当时，不成立.

所以不等式的解集为.

（2）因为对任意的恒成立，

所以.

因为，

所以.

因为，

所以.

，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为8.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

19．（2021·河南郑州市·高三二模（文））已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据绝对值定义分类讨论去掉绝对值符号解不等式可得；

（2）根据绝对值三角不等式及函数性质求得的最小值，然后解不等式可得参数范围．

【详解】解：（1）若，不等式

即为，

等价为或或，

解得或或，

所以原不等式的解集为：

（2）若恒成立，

即为，，

而，

当时，上式取得等号，

所以，即，

解得，

即的取值范围是．

【点睛】方法点睛：本题考查解绝对值不等式，及绝对值不等式恒成立问题．解含绝对值的不等式的常用方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类讨论解不等式．在用不同的方法求最值时需要每个地方等号成立的条件相同才可求得最值．