人教A版高一（上）十一月份月考数学试卷

这是一份人教A版高一（上）十一月份月考数学试卷，共10页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上;等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷II（非选择题）
一、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 5 分 ，共计70分 ， ）

1. 若角α的终边与240∘角的终边相同，则α2的终边在第________象限．

2. 已知函数fx=a2sin2x+cs2x的图象关于直线x=π12对称，则fπ4=________.

3. 已知函数y=csx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．

4. 已知函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于y轴对称，当函数y=f(x)和y=g(x)在区间[a, b]上同时递增或者同时递减时，把区间[a, b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”，若区间[1, 2]为函数y=|2x−t|的“不动区间”，则实数t的取值范围是________．

5. 函数的f(x)=1x−1+ln(3−2x)定义域是________．

6. 将函数f(x)=3sinx−csx的图象沿着x轴向右平移a个单位(a>0)后的图象关于y轴对称，则a的最小值为________

7. 若曲线y=sin(ωx−π5)(0<ω<π2)关于点2,0对称，则ω=________.

8. 函数y=sin2x+cs2x在[0, π]上的单调递减区间为________．

9. 已知函数fx是奇函数，当x∈0,+∞时，fx=3x−1；则当x∈−∞,0时，fx=________.

10. 函数y=tan(π2x+π3)的周期为________单调区间为________．

11. 已知函数fx=3sinωx+φω>0,|φ|<π，f4=f2−6，且fx在2,4上单调．设函数gx=fx−1，且gx的定义域为−5,8，则函数gx的所有零点之和等于________.

12. 方程4x+1=16⋅2x−1的解为________．

13. 已知函数f(x)＝ex+ax，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，则a的取值范围为________．

14. 将函数y=sinx图象上所有点向左平移π4个单位，再将横坐标变为原来的1ω倍ω>0，纵坐标不变，得到函数y=fx图像．若fπ6=−fπ3，且fx在π4,π3上单调递减，则ω=________.
二、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计80分 ， ）

15.(13分) 已知函数f(x)=asin(2x+π3)+1(a>0)的定义域为R，若当−7π12≤x≤−π12时，f(x)的最大值为2，
（1）求a的值；

（2）用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象．

（3）写出该函数的对称中心的坐标．

16.(13分) 某学生用“五点法”作函数fx=2sin2x−π6的图象时，在列表过程中，列出了部分数据如表：

(1)请将上表中的数据补充完整，并在下面的坐标系中画出fx在以上的周期内的图象；

(2)请描述上述函数图象可以由函数y=sinx怎样变换而来？
y=2sin(2x−π6)

17.(13分) 随着人们物质和文化生活水平的提高，旅游业也逐渐兴旺起来.经过调查研究，在某个风景区，每年到访的游客人数会发生周期性的变化.现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位：万人)可近似地用函数来刻画.其中：正整数表示月份且，例如时表示二月份；和是正整数；.统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律：
①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同；
②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约人；
③二月份该风景区游客大约为人，随后逐渐增加，八月份达到最多.
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的的表达式；

（2）一般地，当该地区游客超过人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”.那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由.

18.(13分) 已知函数f(x)=x2+2ax+2，x∈[−5, 5]
（1）当a=−1时，求函数的最值；

（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[−5, 5]上是单调函数；

（3）求y=f(x)的最小值．

19.(14分) 已知函数f(x)=|1−2x|+|x+2|.
(1)解不等式f(x)≤4；

(2)若f(x)≥m2−32对任意x恒成立，求实数m的取值范围．

20.(14分) 已知函数fx=2sinωx+φ0<φ<π2的部分图象如图，该图象与y轴交于点A0,3，与x轴交于点B，C两点，D为图象的最高点，且△DBC的面积为π2.

(1)求fx的解析式及其单调递增区间；

(2)若x0∈π3,4π3，且fx0=1，求x0的值；

(3)若将fx的图象向右平移π12个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象．试求关于x的方程g(x)=a(−1参考答案与试题解析
人教A版高一（上）十一月份月考数学试卷
一、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 5 分 ，共计70分 ）
1.
【答案】
二或四
【考点】
象限角、轴线角
终边相同的角
【解析】
首先表示出α，然后可知α2=120∘+k⋅180∘，从而确定所在的象限．
【解答】
解：由题意知，α=240∘+k⋅360∘，k∈Z，
α2=120∘+k⋅180∘，k∈Z
故α2的终边在第二或四象限．
故答案为：二或四．
2.
【答案】
33
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
左侧未给出解答解析．
【解答】
解：因为fx=a2sin2x+cs2x的图象关于直线x=π12对称，
所以f0=fπ6，即1=34a+12，
所以a=233，fπ4=a2=33．
故答案为：33．
3.
【答案】
π6
【考点】
三角方程
函数的零点
【解析】
由于函数y=csx与y=sin(2x+φ)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，可得sin(2π3+φ)=csπ3=12．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
【解答】
解：∵ 函数y=csx与y=sin(2x+φ)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，
∴ sin(2π3+φ)=csπ3=12．
∵ 0≤φ<π，∴ 2π3≤2π3+φ≤5π3，
∴ 2π3+φ=5π6，
解得φ=π6．
故答案为：π6．
4.
【答案】
[12,2]
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
利用新定义，转化列出不等式，通过x的范围求解即可
【解答】
因为函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称，所以F(x)=f(−x)=|2−x−t|，
因为区间[1, 2]为函数y=|2x−t|的“不动区间”，
所以函数y=|2x−t|和函数F(x)=|2−x−t|在[1, 2]上单调性相同，
因为y=2x−t和函数y=2−x−t的单调性相反，所以(2x−t)(2−x−t)≤0在[1, 2]上恒成立，
即1−t(2x+2−x)+t2≤0在[1, 2]上恒成立，即2−x≤t≤2x在[1, 2]上恒成立，
得12≤t≤2；
5.
【答案】
(1, 32)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由分母中根式内部的代数式大于0，对数式的真数等于0联立不等式组求解．
【解答】
由x−1>03−2x>0 ，解得1∴ 函数的f(x)=1x−1+ln(3−2x)定义域是(1, 32)．
6.
【答案】
π6
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用辅助角公式进行化简，结合平移求出函数解析式，利用函数关于y轴对称，建立方程进行求解即可．
【解答】
f(x)＝2sin(x−π3)，
将f(x)的图象沿着x轴向右平移a个单位(a>0)后的图象关于y轴对称，
得y＝2sin(x−a−π3)，
此时得−a−π3=π2+kπ，得a=−5π6−kπ，
∵ a>0，
∴ 当k＝−1时，a＝π−5π6=π6，
即a的最小值为π6，
7.
【答案】
π10
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】

【解答】
解：依题意可得，2ω−π5=kπk∈Z，
又0<ω<π2，则ω=π10．
故答案为：π10．
8.
【答案】
[π8, 5π8]
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦函数的单调性
【解析】
由条件利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数在在[0, π]上的单调递减区间．
【解答】
解：函数y=sin2x+cs2x=2sin(2x+π4)，令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，
求得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z，
可得函数的减区间为[kπ+π8, kπ+5π8]，k∈Z．
结合x∈[0, π]，可得函数的减区间为[π8, 5π8]，
故答案为：[π8，5π8]．
9.
【答案】
−3−x+1
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数奇偶性的性质
【解析】
根据奇函数的性质f(−x)=−f(x)进行求函数的解析式即可.
【解答】
解：设x<0，则−x>0，
∴ f−x=3−x−1.
又∵ 函数fx是奇函数，
∴ f(x)=−f−x=−3−x+1，
∴ 当x∈−∞,0时，fx=−3−x+1.
故答案为：−3−x+1.
10.
【答案】
2,(−53+2k, 13+2k)(k∈Z)
【考点】
正切函数的周期性
正切函数的单调性
【解析】
根据正切函数的周期公式T=πω可得函数的周期为2，根据正切函数的单调区间(−π2+kπ, π2+kπ)，利用整体思想利用π2x+π3代替x的位置进而得到函数的单调区间．
【解答】
解：因为函数为y=tan(π2x+π3)，
所以周期T=πω=ππ2=2．
因为函数y=tanx的单调区间为(−π2+kπ, π2+kπ)，
所以−π2+kπ<π2x+π3<π2+kπ，解得：−53+2k所以函数y=tan(π2x+π3)的单调区间为(−53+2k, 13+2k)(k∈Z)．
故答案为：2，(−53+2k, 13+2k)(k∈Z)．
11.
【答案】
12
【考点】
函数的零点
正弦函数的单调性
【解析】
通过已知条件，以及正弦函数的最大及最小值，以及在[2,4]上单调可确定出ω的取值，再将ω代入，可求得取最大值时φ的取值范围，确定φ的取值，从而确定出f(x)的解析式以及g(x)的解析式，通过函数图像以及定义域可求得零点数量，再由函数图像的对称性，即可求出所有零点之和.
【解答】
解：∵ f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)，
∴ f(4)=3sin(4ω+φ)，f(2)=3sin(2ω+φ)，
∴ 3sin(4ω+φ)=3sin(2ω+φ)−6，
整理得，sin(2ω+φ)−sin(4ω+φ)=2，
∴ sin(2ω+φ)=1，sin(4ω+φ)=−1，
∴ 2ω+φ=π2+2kπ，4ω+φ=−π2+2kπ，
∴ ω=−π2+kπ.
∵ f(x)在[2,4]上单调，
∴ T2≥4−2=2，
解得ω≤π2，
∴ ω=π2，
∴ sin(2×π2+φ)=1，
∴ π+φ=π2+2kπ.
∵ |φ|<π，
∴ φ=−π2，
∴ f(x)=3sin(π2x−π2)=−3csπ2x，
∴ g(x)=−3csπ2x−1，
g(x)的定义域为[−5,8]，
∴ π2x∈[−5π2,4π]，
令g(x)=0，即csπ2x=−13，
由余弦函数图象可知，当π2x∈[−5π2,4π]时，g(x)共有6个零点，
从左到右以此设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
易知x1，x2关于x=−2对称，x3，x4关于x=2对称，x5，x6关于x=6对称，
所以零点之和为2×(−2)+2×2+2×6=12.
故答案为：12.
12.
【答案】
x=1
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
直接利用指数方程，转化求解即可．
【解答】
方程4x+1=16⋅2x−1，化为方程22x+2=2x+3，可得2x+2=x+3，
解得x=1．
13.
【答案】
[−e, +∞)
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
3
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的对称性
【解析】
根据三角函数的恒等变换及正弦函数对称性分析．
【解答】
解：将函数y=sinx图像上所有点向左平移π4个单位，
得到函数y=sin(x+π4)的图像，
再将横坐标变为原来的1ω倍(ω>0)，纵坐标不变，
得到f(x)=sin(ωx+π4)的图像，
∵ f(π6)=−f(π3)，
∴ 函数f(x)的图像关于点(π4)对称，
∴ sin(π4ω+π4)=0，
∴ π4ω+π4=kπ，k∈Z，
∴ ω=4k−1，k∈Z，
∵ 函数f(x)在(π4,π3)上单调递减，
∴ π4≤T2，即T≥π2，即2πω≥π2，
∴ ω≤4，
又∵ ω>0，
∴ 0<ω≤4，
∴ ω=3.
故答案为：3．
二、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计80分 ）
15.
【答案】
解：（1）当−7π12≤x≤−π12时，则−5π6≤2x+π3≤π6
∴ 当2x+π3=π6，f(x)有最大值为a2+1．
又∵ f(x)的最大值为2，∴ a2+1=2，解得：a=2．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+π3)+1
令2x+π3分别取0，π2，π，3π2，2π，则求出对应的x与y的值
画出函数在区间[−π6, 5π6]的图象如下图
（3）f(x)=2sin(2x+π3)+1
令2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π6，k∈Z，
∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的对称中心的横坐标为kπ2−π6，k∈Z，
又∵ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的图象是函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向上平移一个单位长度得到的，∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的对称中心的纵坐标为1．
∴ 对称中心坐标为(kπ2−π6, 1)k∈Z
【考点】
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【解析】
（1）由x的范围，求出2x+π3的范围，再根据函数的最大值，继而求出a的值，
（2）列表描点连线即可
（3）根据正弦函数图象与性质，令原题中三角函数中的角度等于kπ，解出x，即为对称中心的横坐标，又纵坐标为1，从而得到对称中心坐标．
【解答】
解：（1）当−7π12≤x≤−π12时，则−5π6≤2x+π3≤π6
∴ 当2x+π3=π6，f(x)有最大值为a2+1．
又∵ f(x)的最大值为2，∴ a2+1=2，解得：a=2．
（2）由（1）知f(x)=2sin(2x+π3)+1
令2x+π3分别取0，π2，π，3π2，2π，则求出对应的x与y的值
画出函数在区间[−π6, 5π6]的图象如下图
（3）f(x)=2sin(2x+π3)+1
令2x+π3=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π6，k∈Z，
∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的对称中心的横坐标为kπ2−π6，k∈Z，
又∵ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的图象是函数f(x)=2sin(2x+π3)的图象向上平移一个单位长度得到的，∴ 函数f(x)=2sin(2x+π3)+1
的对称中心的纵坐标为1．
∴ 对称中心坐标为(kπ2−π6, 1)k∈Z
16.
【答案】
解：表格补充如下：
可得五点坐标为π12,0，π3,2，7π12,0，5π6,−2，13π12,0，
将五点标入坐标系后用平滑的曲线连接即可得图象.
2首先将y=sinx向右移动π6个单位得y=sinx−π6，
再将y=sinx−π6纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍得y=sin2x−π6，
最后将y=sin2x−π6横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即可得y=2sin2x−π6.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由表格求出五点的坐标即可.
利用图像变换法则求解即可.
【解答】
解：表格补充如下：
可得五点坐标为π12,0，π3,2，7π12,0，5π6,−2，13π12,0，
将五点标入坐标系后用平滑的曲线连接即可得图象.
2首先将y=sinx向右移动π6个单位得y=sinx−π6，
再将y=sinx−π6纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍得y=sin2x−π6，
最后将y=sin2x−π6横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即可得y=2sin2x−π6.
17.
【答案】
（1）φn=102csπn6+2+3；
（2）一年中的四个月是该风景区的旅游“旺季”
【考点】
余弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）由实际问题的周期性且周期为12、淡旺季数据，结合数学模型即可求ω,A,k，进而可得表达式；
（2）由（1）结合已知条件φn>40即可求出”的范围，结合实际条件即可知旺季所含月份．
【解答】
（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为12，可得T=2πω=12，即ω=π6
由规律②③可知，φ8=10A+k=50ρ2=10A+k=10，解得：A=2,k=3
综上可得，ρn=102csπn6+2+3
（2）由条件，φn=102csπn6+2+3>40，可得csππ6+2>12
．2kπ−π3⋅π6n+2<2kπ+π3,k∈Z，即12k−2−12π又n∈1,12,n∈Z，所以k=16.18≤n<10.18，故：n=7.8,9,10，即一年中的7.8，9，10四个月是该风景区的旅游“旺
季”．
18.
【答案】
解：（1）当a=−1时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，
∴ 当x=1时，f(x)min=f(1)=1；当x=−5时，f(x)max=37；
（2）∵ f(x)=x2+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=−a；
∴ 当−a≤−5或−a≥5，即a≥5或a≤−5时，f(x)是单调函数；
（3）∵ f(x)=x2+2ax+2的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=−a；
∴ 当a≥5时，f(x)在[−5, 5]上是增函数；∴ f(x)min=f(−5)=27−10a；
当5>a>−5时，f(x)在[−5, 5]上是先减后增的函数，∴ f(x)min=f(−a)=−a2+2
当a≤−5时，f(x)在[−5, 5]上是减函数；∴ f(x)min=f(5)=27+10a；
所以，f(x)在[−5, 5]上的最小值是：f(x)min=27−10a(a≥5)−a2+2(5>a>−5)27+10a(a≤−5)．
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）a=−1时，易求二次函数f(x)在闭区间上的最值；
（2）f(x)的图象是抛物线，区间在对称轴的一侧时是单调函数；
（3）讨论f(x)图象的对称轴在区间[−5, 5]上，还是在区间左侧，右侧？从而求f(x)的最小值．
【解答】
解：（1）当a=−1时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，
∴ 当x=1时，f(x)min=f(1)=1；当x=−5时，f(x)max=37；
（2）∵ f(x)=x2+2ax+2的图象是抛物线，且开口向上，对称轴为x=−a；
∴ 当−a≤−5或−a≥5，即a≥5或a≤−5时，f(x)是单调函数；
（3）∵ f(x)=x2+2ax+2的图象是抛物线，开口向上，对称轴为x=−a；
∴ 当a≥5时，f(x)在[−5, 5]上是增函数；∴ f(x)min=f(−5)=27−10a；
当5>a>−5时，f(x)在[−5, 5]上是先减后增的函数，∴ f(x)min=f(−a)=−a2+2
当a≤−5时，f(x)在[−5, 5]上是减函数；∴ f(x)min=f(5)=27+10a；
所以，f(x)在[−5, 5]上的最小值是：f(x)min=27−10a(a≥5)−a2+2(5>a>−5)27+10a(a≤−5)．
19.
【答案】
解：(1)f(x)=|1−2x|+|x+2|=−3x−1,x≤−23−x,−2解x≥123x+1≤4 ，或−2得−1≤x≤1 ,
所以解集为 [−1,1].
(2)由(1)得，f(x)在x=12时取得最小值52，
所以52≥m2−32 ,解之得 −2≤m≤2
所以m的取值范围是[−2,2].
【考点】
函数恒成立问题
绝对值不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)f(x)=|1−2x|+|x+2|=−3x−1,x≤−23−x,−2解x≥123x+1≤4 ，或−2得−1≤x≤1 ,
所以解集为 [−1,1].
(2)由(1)得，f(x)在x=12时取得最小值52，
所以52≥m2−32 ,解之得 −2≤m≤2
所以m的取值范围是[−2,2].
20.
【答案】
解：(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最大值为2，
故△BCD的面积S=12×|BC|×2=π2，
∴|BC|=π2，
所以函数f(x)的周期T=π，即ω=2，
由函数f(x)的图象与y交于点A(0,3)，
得f(0)=2sinφ=3，
∴sinφ=32，
∵0<φ<π2，
∴φ=π3，
所以 f(x)=2sin2x+π3．
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπ(k∈Z)．
(2)因为f(x0)=1，即sin2x0+π3=12，
又因为x0∈π3,4π3，
所以2x0+π3∈[π,3π]，
所以2x0+π3=13π6或2x0+π3=17π6，
所以x0=5π4或x0=11π12．
(3)由题意易知g(x)=2sinx+π6，
画出g(x)的图象如图所示：
则方程g(x)=a(−1由正弦函数的对称性得四个根的和为24π3+10π3=28π3．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最大值为2，
故△BCD的面积S=12×|BC|×2=π2，
∴|BC|=π2，
所以函数f(x)的周期T=π，即ω=2，
由函数f(x)的图象与y交于点A(0,3)，
得f(0)=2sinφ=3，
∴sinφ=32，
∵0<φ<π2，
∴φ=π3，
所以 f(x)=2sin2x+π3．
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为−5π12+kπ,π12+kπ(k∈Z)．
(2)因为f(x0)=1，即sin2x0+π3=12，
又因为x0∈π3,4π3，
所以2x0+π3∈[π,3π]，
所以2x0+π3=13π6或2x0+π3=17π6，
所以x0=5π4或x0=11π12．
(3)由题意易知g(x)=2sinx+π6，
画出g(x)的图象如图所示：
则方程g(x)=a(−1由正弦函数的对称性得四个根的和为24π3+10π3=28π3．2x−π6
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
fx
0
2
−2
0
x
−π6
π12
π3
7π12
5π6
2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y
1
3
−1
1
3
x
−π6
π12
π3
7π12
5π6
2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
y
1
3
−1
1
3
2x−π6
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
fx
0
2
0
−2
0
2x−π6
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
fx
0
2
0
−2
0