中考数学热点冲刺：专题2 规律探究问题（含答案）

这是一份中考数学热点冲刺：专题2 规律探究问题（含答案），共13页。试卷主要包含了 按一定规律排列的单项式等内容，欢迎下载使用。


数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.
归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.
结合全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.
考向1 数字类规律探究型问题
1. 有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.
【答案】0，2
【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2.
2. 将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

则第20行第19个数是_____________________．
【答案】625
【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19个数是：628﹣3=625．
3. 已知一列数，，，，，，，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
【答案】
【解析】 由题意知第7个数是，第8个数是，第9个数是，故答案为．
4. 按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是（ ）
A.（－1）n－1x2n－1B.（－1）nx2n－1C.（－1）n－1x2n＋1D.（－1）nx2n＋1
【答案】C
【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x3=（﹣1）1﹣1x2×1+1，
﹣x5=（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7=（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9=（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11=（﹣1）5﹣1x2×5+1，……
由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，因此本题选C．
5. 数轴上O，A两点的距离为4，一动点P从点A出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An(n≥3，n是整数)处，那么线段AnA的长度为________(n≥3，n是整数).
【答案】4－
【解析】∵AO=4，∴OA1=2，OA2=1，OA3=，OA4=，可推测OAn=，∴AnA=AO－OAn=4－.
6．将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．
【答案】2019
【解析】观察图表可知：第n行第一个数是n2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019，故答案为2019．
7. 我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a＋b)n的展开式(按b的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s＋x)15的展开式按x的升幂排列得：(s＋x)15=a0＋a1x＋a2x2＋…＋a15x15．
依上述规律，解决下列问题：
(1)若s=1，则a2= ．
(2)若s=2，则a0＋a1＋a2＋…＋a15= ．
【答案】(1)105 (2)315
【解析】(1)当s=1时，
(1＋x)1=1＋x
(1＋x)2=1＋2x＋x2 a2=1
(1＋x)3=1＋3x＋3x2＋x3 a2=3=1＋2
(1＋x)4=1＋4x＋6x2＋4x3＋x4 a2=6=1＋2＋3
(1＋x)5=1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5 a2=10=1＋2＋3＋4
(1＋x)6=1＋6x＋15x2＋20x3＋15x4＋6x5＋x6 a2=15=1＋2＋3＋4＋5
当n=15时，a2=1＋2＋3＋4＋……＋14=×(1＋14)×14=105．
(2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15= a0＋a1＋a2＋…＋a15，即a0＋a1＋a2＋…＋a15=315．
考向2 几何图形类规律探究型问题
1．下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）
A．上方B．右方C．下方D．左方
【答案】C
【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504…3，
则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选C．
2. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．
【答案】6058
【解析】 由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，
第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，
第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……
∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．
3. 如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第幅图中有2019个菱形，则__________．
【答案】1010
【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有个．第3幅图中有个．
第4幅图中有个．．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第幅图中共有个．当图中有2019个菱形时，
，，故答案为1010．
4. 归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n个"T"字形需要的棋子个数为______.
【答案】3n+2
【解析】第1个图形有5个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有11个棋子，所以第n个图形有(3n+2)个棋子
5. 如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3，再以对角线OA3为边作第三个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4…的面积分别为S1，S2，S3…，如此下去，则S2019=________．
【答案】22017.
【解析】△AA1A2中，AA1=1，AA1边上的高是1，它的面积S1=×1×1；
△A1A2A3中，A1A2=1×，A1A2边上的高是1×，它的面积S2=×1××1×；
△A2A3A4中，A2A3=1××，A2A3边上的高是1××，它的面积S3=×1×××1××；
…如此下去，△A2018A2019A2020中，A2018A2019==，A2018A2019边上的高是，它的面积S2019=××=22017.
6. 如图，在中，，，若进行以下操作，在边上从左到右依次取点、、、、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、；过点作、的平行线分别交、于点、，则__________．
【答案】40380
【解析】，，，即，
，，，
同理，，，
；
故答案为40380．
考向3 点的坐标变化的规律探究型问题
1. 如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（－3，4），B（3，4）.将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）
A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）
【答案】D
【解题】延长DA交x轴于点M∵A（-3，4），B（3，4），∴AB=6，AB∥x轴，
∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°，
连结OD，Rt△DMO中，MO=3 DM=10 则D点的坐标为（-3，10）
将△OAB和正方形ABCD绕点O每次顺时针旋转90°，Rt△DMO也同步绕点O每次顺时针旋转90°
当图形绕点O顺时针第一次旋转90°后， D点的坐标为（10，3），
当图形绕点O顺时针第二次旋转90°后， D点的坐标为（3，-10），
当图形绕点O顺时针第三次旋转90°后， D点的坐标为（-10，-3），
当图形绕点O顺时针第四次旋转90°后， D点的坐标为（-3，10），
当图形绕点O顺时针第五次旋转90°后， D点的坐标为（10，3），
······
每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转70次后，D点的坐标为（3，-10）， 故选D.
2. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）
A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）
【答案】C
【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，
2019÷4=504…3，
所以A2019的坐标为（504×2+1，0），
则A2019的坐标是（1009，0），故选C．
3. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使，再以为直角边作△，并使按此规律进行下去，则点的坐标为__________．
【答案】，．
【解析】由题意得，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，
的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，
由上可知，点的方位是每6个循环，
与第一点方位相同的点在正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0，
与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第四点方位相同的点在负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0，
与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为，
与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为，
，
点的方位与点的方位相同，在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为，
故答案为：，．
4. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过上的点A1（1，）作x轴的垂线交于点A2，过点A2作y轴的垂线交于点A3，过点A3作x轴的垂线交于点A4…，一次进行下去，则点的横坐标为 .
【答案】：-31009
【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律：
A1（1，），A2（1，），
A3（-3，），A4（-3，），
A5（9，），A6（9，），
A7（-27，），……
A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n为自然数），2019=1009×2+1，所以A2019的横坐标为：(-3)1009=-31009.
5. 如图，点B1在直线l：上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点Cn的横坐标为
【答案】.
【解题过程】如图，过B1、C1点分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
∵点B1在直线l：上，且点B1的横坐标为2，∴B1（2，1），
∴B1M=1，OM=2，∴A1M=.
∵四边形A1C1B2B1是正方形，
∴△A1B1M≌△C1A1N，
∴A1N=1，
∴C1的横坐标为2+1+=2+，
在Rt△A1MB1中A1B1=，
∴OB2=，∴B2的坐标为（3，）
同理可得C2的横坐标为3+×，B3（，），C3的横坐标为+×，…
Bn（2×，），
Cn的横坐标为2×+×=，
故答案为.
6. 如图，直线l：y=分别交x轴、y轴于点A和点A1，过点A1作A1B1⊥l，交x轴于点B1，过点B1作B1A2⊥x轴，交直线L于点A2；过点A2作A2B2⊥l，交x轴于点B2，过点B2作B2A3⊥x轴，交直线L于点A3；依此规律...若图中阴影△A1OB1的面积为S1，阴影△A2B1B2的面积S2，阴影△A3B2B3的面积S3...，则Sn=__________．
【答案】
【解析】由题意知OA=1，则OB1=，∴S1=；
∴A2(，)，∴A2B1=，B1B2=，∴S2=；
∴A3(，)，∴A2B1=，B1B2=，∴S2=；...∴Sn=