2018年南京市玄武区中考一模数学试卷

这是一份2018年南京市玄武区中考一模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. −2 的相反数是
A. −12B. 12C. −2D. 2

2. 下列运算正确的是
A. 2a+3b=5abB. −a23＝a6
C. a+b2＝a2+b2D. 2a2⋅3b2＝6a2b2

3. 下列哪个几何体，它的主视图、俯视图、左视图都相同的是
A. B.
C. D.

4. 如图，AB∥CD，直线 EF 与 AB，CD 分别交于点 E，F，FG 平分 ∠EFD，交 AB 于点 G，若 ∠1=72∘，则 ∠2 的度数为
A. 36∘B. 30∘C. 34∘D. 33∘

5. 已知二次函数 y=x2−5x+m 的图象与 x 轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为 1,0，则另一个交点的坐标为
A. −1,0B. 4,0C. 5,0D. −6,0

6. 如图，点 A 在反比例函数 y=4xx>0 的图象上，点 B 在反比例函数 y=kxx>0 的图象上，AB∥x 轴，BC⊥x 轴，垂足为 C，连接 AC，若 △ABC 的面积是 6，则 k 的值为
A. 10B. 12C. 14D. 16

二、填空题（共10小题；共50分）
7. 一组数据 1，6，3，4，5 的极差是 ．

8. 若式子 1x−2 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

9. 国家统计局的相关数据显示，2017 年我国国民生产总值约为 830000 亿元，用科学记数法表示 830000 是 ．

10. 分解因式 x3−4x 的结果是 ．

11. 若关于 x 的一元二次方程 x2−2x+a−1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 ．

12. 如图，在平行四边形 ABCD 中，DB=DC，AE⊥BD，垂足为 E，若 ∠EAB=46∘，则 ∠C= ∘．

13. 某圆锥的底面圆的半径为 3 cm，它的侧面展开图是半圆，则此圆锥的侧面积是 cm2．（结果保留 π）

14. 如图，在 ⊙O 中，AE 是直径，半径OD⊥弦AB，垂足为 C，连接 CE．若 OC=3，△ACE 的面积为 12，则 CD= ．

15. 某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高 20% 作为销售价，共获利 1200 元，第二个月商场搞促销活动，将此商品的进价提高 15% 作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了 80 件，并且商场第二个月比第一个月多获利 300 元．设此商品的进价是 x 元，则可列方程 ．

16. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AB=6，AD=2，∠A=60∘，点 E 在边 AC 上，将 △ADE 沿 DE 翻折，使点 A 落在点 Aʹ 处，当 AʹE⊥AC 时，AʹB2= ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. （1）计算 8−2sin45∘+2−π0−13−1；
（2）解方程 x2−2x−1=0．

18. 先化简，再求值：1x−2+1÷x2−2x+1x−2，其中 x=3+1．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 BD 上，且 BE=DF．连接 AE，CF．
（1）求证 △AOE≌△COF；
（2）若 AC⊥EF，连接 AF，CE，判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．

20. 某校组织九年级学生参加汉字听写大赛，并随机抽取部分学生成绩作为样本进行分析，绘制成如图所示的统计图表．请根据所给信息，解答下列问题：
九年级抽取部分学生成绩的频率分布表
成绩x/分频数频率x<6020.0460≤x<7060.1270≤x<809b80≤x<90a0.3690≤x≤100150.30
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）已知该年级有 400 名学生参加这次比赛，若成绩在 90 分以上（含 90 分）的为优，估计该年级成绩为优的有多少名?

21. 甲、乙两名同学参加 1000 米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分为 A，B，C 三组进行比赛．
（1）甲同学恰好在 A 组的概率是 ；
（2）求甲、乙两人至少有一人在 B 组的概率．

22. 如图，将 △ABC 沿 BC 方向平移到 △DEF，DE 交 AC 于点 G．若 BC=2，△GEC 的面积是 △ABC 的面积的一半，求 △ABC 平移的距离．

23. 一辆货车从甲地出发以 50 km/h 的速度匀速驶往乙地，行驶 1 h 后，一辆轿车从乙地出发沿同一条路匀速驶往甲地．轿车行驶 0.8 h 后两车相遇．图中折线 ABC 表示两车之间的距离 y（km）与货车行驶时间 x（h）的函数关系．
（1）甲乙两地之间的距离是 km，轿车的速度是 km/h；
（2）求线段 BC 所表示的函数表达式；
（3）在图中画出货车与轿车相遇后的 y（km）与 x（h）的函数图象．

24. 如图，甲楼 AB 高 20 m，乙楼 CD 高 10 m，两栋楼之间的水平距离 BD=20 m，为了测量某电视塔 EF 的高度，小明在甲楼楼顶 A 处观测电视塔塔顶 E，测得仰角为 37∘，小丽在乙楼楼顶 C 处观测电视塔塔顶 E，测得仰角为 45∘，求电视塔的高度 EF．（参考数据：sin37∘≈0.6，cs37∘≈0.8，tan37∘≈0.75，2≈1.4，结果保留整数）

25. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠C=90∘，以 AB 为直径的 ⊙O 交 AD 于点 E，CD=ED，连接 BD 交 ⊙O 于点 F．
（1）求证：BC 与 ⊙O 相切；
（2）若 BD=10，AB=13，求 AE 的长．

26. 甲、乙两公司同时销售一款进价为 40 元/千克的产品．图①中折线 ABC 表示甲公司销售价 y1（元/千克）与销售量 x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润 y2（元）与销售量 x（千克）之间的函数关系．
（1）分别求出图①中线段 AB 、图②中抛物线所表示的函数表达式；
（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大?最大值为多少?

27. （1）【操作体验】
如图①，已知线段 AB 和直线 l，用直尺和圆规在 l 上作出所有的点 P，使得 ∠APB=30∘．
如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点 A，B 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在 AB 上方交于点 O；
第二步：连接 OA，OB；
第三步：以 O 为圆心，OA 长为半径作 ⊙O，交 l 于 P1，P2．
所以图中 P1，P2 即为所求的点．
在图②中，连接 P1A，P1B，说明 ∠AP1B=30∘．
（2）【方法迁移】
如图③，用直尺和圆规在矩形 ABCD 内作出所有的点 P，使得 ∠BPC=45∘．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）【深入探究】
（1）已知矩形 ABCD，BC=2，AB=m，P 为 AD 边上的点，若满足 ∠BPC=45∘ 的点 P 恰有两个，则 m 的取值范围为 ．
（2）已知矩形 ABCD，AB=3，BC=2，P 为矩形 ABCD 内一点，且 ∠BPC=135∘，若点 P 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 到点 Q，则 PQ 的最小值为 ．
答案
第一部分
1. D
2. D
3. B
4. A
5. B
6. D
第二部分
7. 5
8. x≠2
9. 8.3×105
10. xx+2x−2
11. a≤2
12. 68
13. 18π
14. 2
15. 150015%x−120020%x=80
16. 20−83
第三部分
17. （1） 原式=22−2+1−3=2−2.
（2）
x2−2x=1,x2−2x+1=2,x−12=2,x−1=±2,x1=1+2,x2=1−2.
18. 原式=1+x−2x−2⋅x−2x−12=x−1x−2⋅x−2x−12=1x−1.
当 x=3+1 时，
原式=13=33.
19. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．
又 ∵BE=DF，
∴OB−BE=OD−DF．
∴OE=OF．
在 △AOE 和 △COF 中，
OA=OC,∠AOE=∠COF,OE=OF,
∴△AOE≌△COF．
（2） 四边形 AECF 是菱形．
理由如下：
如图所示，
∵OA=OC，OE=OF．
∴ 四边形 AECF 是平行四边形．
又 ∵AC⊥EF，
∴ 四边形 AECF 是菱形．
20. （1） 18；0.18
（2） 补全的统计图如图所示：
（3） 由题意得：400×0.30=120（名）．
答：估计该年级成绩为优的有 120 名．
21. （1） 13
（2） 所有可能出现的结果有：A,A，A,B，A,C，B,A，B,B，B,C，C,A，C,B，C,C 共有 9 种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“至少有一人抽到 B 项目”（记为事件 A）的结果有 5 种，所以 PA=59．
22. 由平移得：∠B=∠DEF，
又 ∵ 点 B，E，C，F 在同一条直线上，
∴AB∥DE，
∴△CGE∽△CAB．
∴S△CGES△CAB=ECBC2=EC2BC2=12．
∵BC=2，
∴EC24=12．
∴EC=2．
∴BE=BC−EC=2−2．
即平移的距离为 2−2．
23. （1） 150；75
（2） 根据题意，C 点坐标为 1.8,0，
当 x=1 时，y=150−50=100，
所以 B 点坐标为 1,100，
设线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b．
因为 y=kx+b 的图象过点 1,100 与 1.8,0，
所以
1.8k+b=0,k+b=100.
解方程组得
k=−125,b=225.
所以线段 BC 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y=−125x+225．
（3） 如图所示，
线段 CD 即为所求．
24. 如图，分别过点 A，C 作 AM⊥EF，CN⊥EF 垂足分别为 M，N，
∴MF=AB=20 m，NF=CD=10 m．
设 EF=x m，则 EN=x−10m，EM=x−20m．
在 Rt△ECN 中，∠ECN=45∘，tan45∘=ENCN，
∴CN=ENtan45∘=x−10tan45∘ m．
在 Rt△AEM 中，∠EAM=37∘，tan37∘=EMAM，
∴AM=EMtan37∘=x−20tan37∘ m．
又 ∵AM−CN=BD，
∴x−20tan37∘−x−10tan45∘=20．
∴x≈110．
答：电视塔的高度为 110 米．
25. （1） 如图 1，连接 BE．
∵AB 是直径，
∴∠AEB=90∘．
在 Rt△BCD 和 Rt△BED 中，
BD=BD,CD=ED,
∴Rt△BCD≌Rt△BED．
∴∠ADB=∠BDC．
又 ∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD．
∴∠BDC=∠ABD．
∴AB∥CD．
∴∠ABC+∠C=180∘．
∴∠ABC=180∘−∠C=180∘−90∘=90∘．
即 BC⊥AB．
又 ∵ 点 B 在 ⊙O 上，
∴BD 与 ⊙O 相切．
（2） 连接 AF．
∵AB 是直径，
∴∠AFB=90∘，即 AF⊥BD．
∵AD=AB，BC=10，
∴BF=5．
∵ ∠ABF=∠BDC,∠AFB=∠BCD,
∴Rt△ABF∽Rt△BDC．
∴ABBD=BFDC．
∴1310=5DC．
∴DC=5013．
∴ED=5013．
∴AE=AD−ED=13−5013=11913．
26. （1） 设 y1 与 x 之间的函数表达式为 y1=kx+b．
根据题意，当 x=0 时，y1=120；当 x=80 时，y1=72．
所以 120=b,72=80k+b, 解得 k=−0.6,b=120,
所以，y1 与 x 之间的函数表达式为 y1=−0.6x+120．
设 y2 与 x 之间的函数表达式为 y2=ax−752+2250，
当 x=0 时，y2=0，解得 a=−0.4．
所以，y2 与 x 之间的函数表达式为 y2=−0.4x−752+2250．
（2） 设甲、乙两公司的销售总利润的差为 w 元．
当 0 w=y1−40x−y2=−0.6x+120−40x−−0.4x−752+2250=−0.2x2+20x=−0.2x−502+500.
因为 −0.2<0，0所以当 x=50 时，w 有最大值，最大值为 500．
当 80 w=72−40x−−0.4x−752+2250=0.4x2−28x,
因为当 80所以当 x=84 时，w 有最大值，最大值为 470.4．
综上所述，当销售量为 50 千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是 500 元．
27. （1） 如图 1，
由作法可知：OA=OB=AB，
∴△OAB 是等边三角形，
∴∠AOB=60∘．
∴∠AP1B=30∘．
（2） 如图 2，EF 上所有的点即为所求的点（不含点 E，F）．
（3） （1）2≤m<2+1；
（2）34−2