2018_2019学年上海市普陀区九上期末数学试卷（一模）

这是一份2018_2019学年上海市普陀区九上期末数学试卷（一模），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列函数中，y 关于 x 的二次函数是
A. y=ax2+bx+cB. y=xx−1
C. y=1x2D. y=x−12−x2

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=2，下面结论中，正确的是
A. AB=2sinAB. AB=2csAC. BC=2tanAD. BC=2ctA

3. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判断 ED∥BC 的是
A. BABD=CACEB. EAEC=DADBC. EDBC=EAACD. EAAD=ACAB

4. 已知 a=5b，下列说法中，不正确的是
A. a−5b=0B. a 与 b 方向相同
C. a∥bD. a=5b

5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，F 是边 AD 上一点，射线 CF 和 BA 的延长线交于点 E，如果 C△EAFC△CDF=12，那么 S△EAFS△EBC 的值是
A. 12B. 13C. 14D. 19

6. 如图，已知 AB 和 CD 是 ⊙O 的两条等弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点 M，N，BA，DC 的延长线交于点 P，连接 OP．下列四个说法中，① AB=CD；② OM=ON；③ PA=PC；④ ∠BPO=∠DPO，正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 如果 ab=23，那么 b−aa+b= ．

8. 已知线段 a=4 厘米，b=9 厘米，线段 c 是线段 a 和线段 b 的比例中项，线段 c 的长度等于 厘米．

9. 化简：b−4a−32b= ．

10. 在直角坐标平面内，抛物线 y=3x2+2x 在对称轴的左侧部分是 的．（填“上升”或“下降”）

11. 二次函数 y=x−12−3 的图象与 y 轴的交点坐标是 ．

12. 将抛物线 y=2x2 平移，使顶点移动到点 P−3,1 的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是 ．

13. 在平面直角坐标系内有一点 A3,4，点 A 与原点 O 的连线与 x 轴的正半轴夹角为 α，那么角 α 的余弦值是 ．

14. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别在边 BC，AB 上，且 ∠ADE=∠B，如果 DE:AD=2:5，BD=3，那么 AC= ．

15. 如图，某水库大坝的横断面是梯形 ABCD，坝顶宽 AD 是 6 米，坝高是 20 米，背水坡 AB 的坡角为 30∘，迎水坡 CD 的坡度为 1:2，那么坝底 BC 的长度等于 米．（结果保留根号）

16. 已知 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3，BC=7，CD⊥AB，垂足为点 D，以点 D 为圆心作 ⊙D，使得点 A 在 ⊙D 外，且点 B 在 ⊙D 内，设 ⊙D 的半径为 r，那么 r 的取值范围是 ．

17. 如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，已知点 E 、点 F 分别为 △ABD 和 △ADC 的重心，如果 BC=12，那么两个三角形重心之间的距离 EF 的长等于 ．

18. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，将 △ABC 翻折，使得点 A 落到边 BC 上的点 Aʹ 处，折痕分别交边 AB，AC 于点 E 、点 F，如果 AʹF∥AB，那么 BE= ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：12cs30∘−ct45∘−tan60∘⋅sin245∘．

20. 已知一个二次函数的图象经过 A0,−3，B1,0，Cm,2m+3，D−1,−2 四点，求这个函数的解析式及点 C 的坐标．

21. 如图，已知 ⊙O 经过 △ABC 的顶点 A，B，交边 BC 于点 D，点 A 恰为 BD 的中点，且 BD=8，AC=9，sinC=13，求 ⊙O 的半径．

22. 下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段 a，b，c（如图），求作线段 x，使 a:b=c:x．
他的作法如下：
1．以点 O 为端点画射线 OM，ON；
2．在 OM 上依次截取 OA=a，AB=b；
3．在 ON 上截取 OC=c；
4．连接 AC，过点 B 作 BD∥AC，交 ON 于点 D．
∴ 线段 就是所求的线段 x．
（1）试将结论补完整：线段 就是所求的线段 x；
（2）这位同学作图的依据是 ；
（3）如果 OA=4，AB=5，AC=m，试用向量 m 表示向量 DB．

23. 已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 E，AD=DC，DC2=DE⋅DB．求证：
（1）△BCE∽△ADE；
（2）AB⋅BC=BD⋅BE．

24. 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+2ax+c（其中 a，c 为常数，且 a<0）与 x 轴交于点 A，它的坐标是 −3,0，与 y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求 ∠CAB 的正切值；
（3）如果点 P 是抛物线上的一点，且 ∠ABP=∠CAO，试直接写出点 P 的坐标．

25. 如图，∠BAC 的余切值为 2，AB=25，点 D 是线段 AB 上的一动点（点 D 不与点 A，B 重合），以点 D 为顶点的正方形 DEFG 的另两个顶点 E，F 都在射线 AC 上，且点 F 在点 E 的右侧，连接 BG，并延长 BG，交射线 EC 于点 P．
（1）在点 D 运动时，下列的线段和角中， 是始终保持不变的量（填序号）；
① AF；② FP；③ BP；④ ∠BDG；⑤ ∠GAC；⑥ ∠BPA．
（2）设正方形的边长为 x，线段 AP 的长度为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果 △PFG 和 △AFG 相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. C
4. A
5. D
【解析】∵C△EAFC△CDF=12，
∴AF:DF=1:2，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AF:BC=1:3，
∴S△EAFS△EBC=1:9．
6. D【解析】由于弦 AB 与弦 CD 相等，
∴ 所对应的弧也相等，
∴AB=CD，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM=ON=2AM=2CN，
∴ OP 是 ∠BPD 的平分线，
∴∠BPO=∠DPO，
在 Rt△PMO 和 Rt△PNO 中，
PO=PO,OM=ON,
∴Rt△PMO≌Rt△PNO，
∴PM=PN，
∵AM=CN，
∴AP=CP．
第二部分
7. 15
【解析】因为 ab=23，
所以 a2=b3，
设 a=2t，b=3t，
所以 b−aa+b=3t−2t2t+3t=15．
8. 6
9. −4a+7b
10. 下降
11. 0,−2
12. y=2x+32+1
13. 35
14. 152
15. 46+203
16. 7417. 4
【解析】如图，连接 AE 并延长交 BD 于 M，连接 AF 并延长交 CD 于 N，
∵ 点 E，F 分别是 △ABD 和 △ACD 的重心，
∴DM=12BD，DN=12CD，AE=2ME，AF=2NF，
∵BC=12，
∴MN=DM+DN=12BD+CD=12BC=12×12=6，
∵AEAM=AFAN=22+1=23，∠EAF=∠MAN，
∴△AEF∽△AMN，
∴EFMN=23，即 EF6=23，解得 EF=4．
18. 2511
【解析】如图所示，
由题意可得 AF=AʹF，AʹF∥AB，
∴△CAʹF∽△CBA，
假设 AʹF=a，则 AʹF:AB=CF:AC，
∴a:5=6−a:6，得 a=3011，
∴BE=2511．
第三部分
19. 原式=12×32−1−3×222=3+12−32=12.
20. 设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
则 c=−3,a+b+c=0,a−b+c=−2, 解得 a=2,b=1,c=−3,
∴y=2x2+x−3，
∴2m+3=2m2+m−3，解得 m=−32 或 m=2，
∴C2,7 或 C−32,0．
21. 如图所示，连接 AO 与 BC 相交于点 E，连接 BO，
∵ 点 A 为 BD 的中点，
∴AO⊥BD，BE=DE=4，
∵sinC=13，AC=9，
∴AE=3，
在 Rt△BOE 中，r2=42+r−32，解得 r=256．
22. （1） CD
（2） 三角形一边的平行线性质定理
（3） ∵AOOB=ACBD，
∴49=mBD，
∴BD=94m，
∵AC 与 DB 方向相反，
∴DB=−94m．
23. （1） 由 AD=DC 得 ∠DAC=∠DCA，
∵∠EDC=∠CDB，DC2=DE⋅DB，
∴△DEC∽△DCB，
∴∠DCA=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBC，
∵∠AED=∠CEB，
∴△BCE∽△ADE．
（2） 由 AD=DC，DC2=DE⋅DB 得 AD2=DE⋅DB，
又 ∵∠ADB=∠EDA，
∴△ADE∽△BDA，
由（1）得 △BCE∽△ADE，
∴△BDA∽△BCE，
∴BDBC=ABBE，
∴AB⋅BC=BD⋅BE．
24. （1） 由题意可知抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∴C−1,4，
∴0=9a−6a+c,4=a−2a+c, 解得 a=−1,c=3,
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3．
（2） 由（1）可得：A−3,0，B0,3，C−1,4，
∴BC=2，AB=32，AC=25，
∴BC2+AB2=AC2，
∴∠ABC=90∘，
∴tan∠CAB=BCAB=13．
（3） P11,0，P2−53,329．
【解析】如图，

① P 在 AB 下方时，记为 P1，
∵OA=OB=3，
∴∠BAO=∠ABO，
∵∠CAO=∠ABP1，
∴∠BAC=∠OBP1，
∴tan∠OBP1=13，
设 Pm,−m2−2m+3，则 m3+m2+2m−3=13，
∵m≠0，
∴m=1，
∴P11,0；
②当点 P 在 AB 上方时，记为 P2，
过 B 作 BE∥AO 交抛物线于点 E，
∴∠EBA=∠BAO，
∴∠CAB=∠P2BE，
∴tan∠P2BE=13，
∴−m2−2m+3−30−m=13，
∵m≠0，
∴m=−53，
∴P2−53,329．
25. （1） ④⑤
（2） 过 B 作 BH⊥AC 于 H，
∴DE∥BH，
∵ct∠BAC=2，AB=25，
∴BH=2，AH=4，
P 在线段 EF 上或 EF 延长线情况相同，
∵GD∥AC，DE∥BH，
∴DGAP=BDAB，DEBH=ADAB，
∴DGAP+DEBH=1，即 xy+x2=1，
∴y=2x2−x1≤x<2．
（3） 由题可得：FG=x，AF=3x，
∴tan∠GAF=13，
∵△PFG 与 △AFG 相似，但这两三角形的面积不相等，
∴△PFG∽△GFA，
∴∠GAF=∠PGF，
∴FP=13FG=13x，
∴AP=3x+13x 或 AP=3x−13x，
即 2x2−x=3x+13x 或 2x2−x=3x−13x，
∴x=75 或 x=54．