（初三）最值模型：距离之和最小样例

这是一份（初三）最值模型：距离之和最小样例，主要包含了课程目标，先验知识，模型背景，模型讲解，典型例题，强化练习，链接中考，课堂总结等内容，欢迎下载使用。

【对象】最值模型：距离之和最小（将军饮马模型）
【课程目标】
认识将军饮马模型的基本结构，理解距离之和最小的基本原理.
能够在具体几何问题中快速识别将军饮马模型的基本结构，并运用其相关结论解决问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引.
【先验知识】
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你认为走哪条路最近？为什么呢？
第②条路最近，理由-两点之间线段最短
如图，A、B两城镇在燃气管道l的异侧，现需在燃气管道l附近建一个燃气气站，使其向两城镇供气所用的输气管线最短，这个燃气气站应具体建在哪个位置呢？
燃气气站应具体建如下位置，理由-两点之间线段最短.
设计意图：
结合学生生活经验，以实际生活问题情境，使学生体会“两点之间线段最短” 的基本事实，为后续分析将军饮马模型做铺垫.
【导入】
如图所示，正方形的边长为4，是边上的一点，且，是对角线上的一动点，连接、，当点在上运动时，周长的最小值是 ．
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.
【模型背景】
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
今天我们就来一起探究下将军因为模型以及其主要应用.
设计意图：
从模型背景导入，引出模型学习的必要性，激发学生的思考和探索意识.
【模型讲解】
上述问题可转化为以下数学问题：将 A、B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，问题转为为在直线l上确定一点C使AC+BC的和最小.
（基本结构特征）
联想导入中问题的解决方法，能把A、B 两点转化到直线l的异侧吗？
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C.
根据对称的性质，BC=B'C.
AC与BC的距离之和，转化为AC与B'C的距离之和，如果AC+B'C最小，则AC+BC最小（转化思想）.
如图，根据以上分析，AB'与直线l的交点C能使AC+BC最小，最短路径为A-C-B，它在长度上等于AC+B'C= AB'.
关键点：
作对称点；
连线；
找交点.
基本原理：两点之间线段最短.
设计意图：
突出模型的基本结构，理解模型结论的推导过程，认识将军饮马模型解决问题的关键点.
【典型例题】
在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．
如图（1），要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在上找几个点试一试，能发现什么规律？
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道看成一条直线（图（2），问题就转化为，要在直线上找一点，使与的和最小．他的做法是这样的：
作点关于直线的对称点．
连接交直线于点，则点为所求．
请你参考小华的做法解决下列问题．如图在中，点、分别是、边的中点，，边上的高为4，请你在边上确定一点，使得周长最小．
（1）在图中作出点（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请直接写出周长的最小值： ．
【分析】
（1）根据提供材料不变，只要求出的最小值即可，作点关于的对称点，连接，与交于点，点即为所求；
（2）利用中位线性质以及勾股定理得出的值，即可得出答案．
【解答】
解：（1）作点关于的对称点，连接，与交于点，
点即为所求；
（2）点、分别是、边的中点，
为中位线，
，边上的高为4，
，，
，
周长的最小值为：，
故答案为：8．
如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是
A．6B．C．D．4.5
【分析】
作点关于的对称点，过点作于点，交于点，
由知点、即为使取得最小值的点，
利用求解可得答案．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，
则点、即为使取得最小值，
其，
四边形是菱形，
点在上，
，，
，
由得，
解得：，
即的最小值是，
故选：．
去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村和李村送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）．两村的坐标分别为，．
（1）若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥多远的地方可使所用输水管道最短？
（2）水泵站建在距离大桥多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
【分析】
（1）为了使所修水泵站的所用输水管道最短，利用轴对称的方法画图可求；
（2）所求点要满足两个条件，到张村和李村的距离相等，可以作连接两村线段的垂直平分线，与轴的交点即为所求．
【解答】
解：（1）作点关于轴的对称点，连接，则点为
设直线的函数关系式为，则
解得，
当时，．
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短．
（2）作线段的垂直平分线，交于点，交轴于点
设点的坐标为
在中，
在中，
，
解得．
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A．B．
C．D．
如图，正方形的边长为4，点是对角线上一动点，点是边的中点，则的最小值为 ．
如图，直线y=23x+4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，点D在y轴的负半轴上，C，D两点到x轴的距离均为2.
(1)点C的坐标为：________，点D的坐标为：________；
(2)点P为线段OA上的一动点，当PC+PD最小时，求点P的坐标.
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
设计意图：
进一步强化对模型结构的认识，掌握基本做法及相关结论.
【链接中考】
（2017黑龙江）如图，边长为4的正方形，点是对角线上一动点，点在边上，，则的最小值是 ．
【分析】
连接、，由正方形的性质可知、关于直线对称，则的长即为的最小值，再根据勾股定理求出的长即可．
【解答】
解：连接、，
四边形是正方形，
、关于直线对称，
的长即为的最小值，
，，
，
在中，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
（2018天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．ABB．DEC．BDD．AF
【分析】
在线段BD上确定一点P使AP+EP取得最小值，符合将军饮马模型的基本结构.
【解答】
解：如图，连接CP，
由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，
∴AP＝CP，
∴AP+PE＝CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．
【课堂总结】
将军饮马模型的基本结构：
将军饮马模型的主要结论：
将军饮马模型的关键点：
作对称点；
连线；
找交点.
将军饮马模型的基本原理：两点之间线段最短.学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
 预科 同步复习 专题复习
1课时