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2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数
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这是一份2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数，共32页。试卷主要包含了有以下结论，，则m的值为 等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数
一．选择题（共5小题）
1．（2021•黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
2．（2021•湖北）下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限
C．函数y＝（x＜0），y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
3．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
4．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
5．（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二．填空题（共4小题）
6．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 ．
7．（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 ．
8．（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 ．
9．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
11．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
12．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
13．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【考点】零指数幂；函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数思想；符号意识．
【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得：，
解得：x＞﹣1且x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查函数中自变量的取值范围，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，a0＝1（a≠0）是解题关键．
2．（2021•湖北）下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限
C．函数y＝（x＜0），y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；符号意识．
【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、函数y＝2x的图象是过原点的直线，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、直线y＝﹣x+2经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、函数y＝﹣（x＜0），y随x增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意；
D、函数y＝2x﹣3，y随x增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题的关键．
3．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【考点】根的判别式；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；待定系数法；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得，可得二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据当x＝时，对应的函数值y＜0，有a＜﹣，b＞，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正确；由m＝2a+2，n＝2a+2，结合a＜﹣，可得m+n＜﹣，故②正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x＝，而当x＝时，对应的函数值y＜0，可知当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；由y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2时，t＞，故④不正确，
【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
4．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
5．（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】根据“左加右减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可．
【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1．
将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣1+1﹣m．
解得m＝3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线y＝kx+b平移时，k的值不变．
7．（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再确定△ACH与△AOH的面积．
【解答】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，
∴，，
∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代反比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝•（﹣4x）•（﹣）＝6
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义和平行线分线段成比例，熟练的将解析式，点坐标、线段长进行灵活转换才是解题的关键．
8．（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 S1＝4S4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．
【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，
∴S1＝4S4．
故答案为：S1＝4S4．
【点评】此题考查反比例函数y＝（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （，1） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；含30度角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，进而求解；
（3）由PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，对t的取值分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）设点Q的坐标为（m，﹣m2+6m﹣3），
则PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，
设n＝（m﹣3）2，
则PQ2＝n+（n+t﹣6）2＝n2+n（2t﹣11）+（t﹣6）2，
∵二次项系数为1＞0，故PQ2有最小值，
①当t时，PQ2的最小值＝（t﹣6）2﹣（11﹣2t）2＝，
∴PQ的最小值为；
②当t时，PQ2的最小值＝（t﹣6）2，
∴PQ的最小值为|t﹣6|；
∴当t≥6时，PQ＝t﹣6，当＜t＜6时，PQ＝6﹣t，
综上所述，PQ＝．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），利用函数思想求解PQ的最值，是本题解题的关键．
11．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有
【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）连接AC，BD相交于点E，确定出点E（2，m），AC∥y轴，进而求出点D（0，m），B（4，m），最后将点C，D，P的坐标代入直线CD的解析式中求出m，进而求出点C坐标，最后将点C坐标代入双曲线的解析式中求解，即可得出结论；
（2）先求出点B的坐标，判断即可得出结论；
（3）根据图象直接得出结论．
【解答】解：（1）
连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，
∵A（2，0），C（2，m），
∴E（2，m），AC∥y轴，
∴BD⊥y轴，
∴点D（0，m），B（4，m），
∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，
∴，
∴，
∴点C（2，2），
∵点C在双曲线y2＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的函数关系式为y2＝；
（2）由（1）知，m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．
12．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元”方程组解答即可；
（2）根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式；
（3）由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120），
当300﹣x≤200时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600；
当300﹣x＞200时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣x+500；
∴；
②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W的值最小，
由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，
解得m≤0.25，
∴m的最大值为0.25．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式或不等关系是解题关键．
13．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
6．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
7．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
12．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
13．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
16．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
17．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
22．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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日期：2021/8/3 16:13:35；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118
2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数
一．选择题（共5小题）
1．（2021•黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
2．（2021•湖北）下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限
C．函数y＝（x＜0），y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
3．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
4．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
5．（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
二．填空题（共4小题）
6．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 ．
7．（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 ．
8．（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 ．
9．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 ．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
11．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
12．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
13．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
2021年湖北中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•黄石）函数y＝+（x﹣2）0的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣1 B．x＞2 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【考点】零指数幂；函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【专题】函数思想；符号意识．
【分析】根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得：，
解得：x＞﹣1且x≠2，
故选：C．
【点评】本题考查函数中自变量的取值范围，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，a0＝1（a≠0）是解题关键．
2．（2021•湖北）下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝2x的图象是过原点的射线
B．直线y＝﹣x+2经过第一、二、三象限
C．函数y＝（x＜0），y随x增大而增大
D．函数y＝2x﹣3，y随x增大而减小
【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；符号意识．
【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、函数y＝2x的图象是过原点的直线，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、直线y＝﹣x+2经过第一、二、四象限，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、函数y＝﹣（x＜0），y随x增大而增大，原说法正确，故此选项符合题意；
D、函数y＝2x﹣3，y随x增大而增大，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题的关键．
3．（2021•黄石）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【考点】根的判别式；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；图象法求一元二次方程的近似根．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；待定系数法；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得，可得二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据当x＝时，对应的函数值y＜0，有a＜﹣，b＞，即得a＜0，b＞0，c＞0，故①不正确；由m＝2a+2，n＝2a+2，结合a＜﹣，可得m+n＜﹣，故②正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x＝，而当x＝时，对应的函数值y＜0，可知当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；由y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，知a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2时，t＞，故④不正确，
【解答】解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：
，解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴﹣a＞，即b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
4．（2021•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝2x﹣1与直线y＝kx+b（k≠0）相交于点P（2，3）．根据图象可知，关于x的不等式2x﹣1＞kx+b的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＜3 C．x＞2 D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；几何直观．
【分析】以两函数图象交点为分界，直线y＝kx+b（k≠0）在直线y＝2x﹣1的下方时，x＞2．
【解答】解：根据图象可得：不等式2x﹣1＞kx+b的解集为：x＞2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．
5．（2021•荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；推理能力．
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
函数的y＝（k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
6．（2021•黄石）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 3 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【分析】根据“左加右减”的平移规律写出平行后直线解析式，然后将点（1，﹣3）代入求得m的值即可．
【解答】解：将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后所得直线为：y＝﹣（x+m）+1．
将点（1，﹣3）代入，得﹣3＝﹣1+1﹣m．
解得m＝3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，直线y＝kx+b平移时，k的值不变．
7．（2021•黄石）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 6 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，根据已知条件结合反比例函数k的几何意义，求出点A与点B的坐标关系，再确定△ACH与△AOH的面积．
【解答】解：过A作AH⊥OC，过B作BG⊥OC，
∵A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴设A（x，﹣），S△AOH＝，
∵AB＝2BC，
∴，，
∴BG＝AH，HG＝2CG
∴点B的纵坐标为，代反比例函数中得点B的坐标为（3x，），
∴OG＝﹣3x，HG＝﹣2x，CG＝﹣x，则OC＝﹣4x，
∴S△AOC＝＝•（﹣4x）•（﹣）＝6
故答案为：6．
【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义和平行线分线段成比例，熟练的将解析式，点坐标、线段长进行灵活转换才是解题的关键．
8．（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 S1＝4S4 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．
【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，
∴S1＝4S4．
故答案为：S1＝4S4．
【点评】此题考查反比例函数y＝（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
9．（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为 （，1） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；含30度角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【分析】作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，解直角三角形求得OE＝，即可求得C的坐标，根据待定系数法求的反比例函数的解析式，进一步表示出M（n，n），代入解析式即可求得结果．
【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，
∵∠AOB＝30°，
∴OE＝AE＝，
将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），
∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝1×＝，
∴y＝，
∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，
∴∠DOM＝60°，
∴∠MOF＝30°，
∴OF＝MF，
设MF＝n，则OF＝n，
∴M（n，n），
∵点M在函数y＝的图象上，
∴n＝，
∴n＝1（负数舍去），
∴M（，1），
故答案为（，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，待定系数法求反比例函数的解析式，求得C的坐标是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
10．（2021•黄石）抛物线y＝ax2﹣2bx+b（a≠0）与y轴相交于点C（0，﹣3），且抛物线的对称轴为x＝3，D为对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于E、F两点，若△DEF是等腰直角三角形，求△DEF的面积；
（3）若P（3，t）是对称轴上一定点，Q是抛物线上的动点，求PQ的最小值（用含t的代数式表示）．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数几何综合题；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）由题意得：，即可求解；
（2）△DEF是等腰直角三角形，故DE＝DF且∠EDF＝90°，故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，故点F（3+m，m），则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，进而求解；
（3）由PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，对t的取值分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣3；
（2）∵△DEF是等腰直角三角形，
故DE＝DF且∠EDF＝90°，
故设EF和x轴之间的距离为m，则EF＝2m，
故点F（3+m，m），
则△DEF的面积＝EF•m＝2m•m＝m2，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：m＝﹣（m+3）2+6（m+3）﹣3，
解得m＝﹣3（舍去）或2，
则△DEF的面积＝m2＝4；
（3）设点Q的坐标为（m，﹣m2+6m﹣3），
则PQ2＝（m﹣3）2+（﹣m2+6m﹣3﹣t）2＝（m﹣3）2+[（m﹣3）2+t﹣6]2，
设n＝（m﹣3）2，
则PQ2＝n+（n+t﹣6）2＝n2+n（2t﹣11）+（t﹣6）2，
∵二次项系数为1＞0，故PQ2有最小值，
①当t时，PQ2的最小值＝（t﹣6）2﹣（11﹣2t）2＝，
∴PQ的最小值为；
②当t时，PQ2的最小值＝（t﹣6）2，
∴PQ的最小值为|t﹣6|；
∴当t≥6时，PQ＝t﹣6，当＜t＜6时，PQ＝6﹣t，
综上所述，PQ＝．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），利用函数思想求解PQ的最值，是本题解题的关键．
11．（2021•湖北）如图：在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1＝ax+b与双曲线：y2＝交于C，P（﹣4，﹣1）两点．
（1）求双曲线y2的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，请直接写出x的取值范围．
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【专题】综合题；推理能力．
【分析】（1）连接AC，BD相交于点E，确定出点E（2，m），AC∥y轴，进而求出点D（0，m），B（4，m），最后将点C，D，P的坐标代入直线CD的解析式中求出m，进而求出点C坐标，最后将点C坐标代入双曲线的解析式中求解，即可得出结论；
（2）先求出点B的坐标，判断即可得出结论；
（3）根据图象直接得出结论．
【解答】解：（1）
连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BE，AE＝CE，AC⊥BD，
∵A（2，0），C（2，m），
∴E（2，m），AC∥y轴，
∴BD⊥y轴，
∴点D（0，m），B（4，m），
∵点C（2，m），D（0，m），P（﹣4，﹣1）在直线CD上，
∴，
∴，
∴点C（2，2），
∵点C在双曲线y2＝上，
∴k＝2×2＝4，
∴双曲线的函数关系式为y2＝；
（2）由（1）知，m＝2，B（4，m），
∴B（4，1），
由（1）知双曲线的解析式为y2＝；
∵4×1＝4，
∴点B在双曲线上；
（3）由（1）知C（2，2），
由图象知，当y1＞y2时的x值的范围为﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，用m表示出点D的坐标是解本题的关键．
12．（2021•襄阳）为了切实保护汉江生态环境，襄阳市政府对汉江襄阳段实施全面禁渔．禁渔后，某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲢鱼进行销售，两种鱼的进价和售价如表所示：
品种
进价（元/斤）
售价（元/斤）
鲢鱼
a
5
草鱼
b
销量不超过200斤的部分
销量超过200斤的部分
8
7
已知老李购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元．
（1）求a，b的值；
（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲢鱼不少于80斤且不超过120斤，设每天销售鲢鱼x斤（销售过程中损耗不计）．
①分别求出每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②端午节这天，老李让利销售，将鲢鱼售价每斤降低m元，草鱼售价全部定为7元/斤，为了保证当天销售这两种鱼总获利W（元）最小值不少于320元，求m的最大值．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式(组)及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）根据“购进10斤鲢鱼和20斤草鱼需要155元，购进20斤鲢鱼和10斤草鱼需要130元”方程组解答即可；
（2）根据题意可得每天销售鲢鱼获利y1（元），销售草鱼获利y2（元）与x的函数关系式；
（3）由题意得出W与m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得；
（2）①由题意得，y1＝（5﹣3.5）x＝1.5x（80≤x≤120），
当300﹣x≤200时，100≤x≤120，y2＝（8﹣6）×（300﹣x）＝﹣2x+600；
当300﹣x＞200时，80≤x＜100，y2＝（8﹣6）×200+（7﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣x+500；
∴；
②由题意得，W＝（5﹣m﹣3.5）x+（7﹣6）×（300﹣x）＝（0.5﹣m）x+300，其中80≤x≤120，
∵当0.5﹣m≤0时，W＝（0.5﹣m）x+300≤300，不合题意，
∴0.5﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W的值最小，
由题意得，（0.5﹣m）×80+300≥320，
解得m≤0.25，
∴m的最大值为0.25．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出函数关系式或不等关系是解题关键．
13．（2021•襄阳）如图，直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A．
（1）求出点A，B的坐标及c的值；
（2）若函数y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．
①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；
②结合S与a的函数图象，直接写出S＞时a的取值范围．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】二次函数的应用；图形的全等；推理能力；应用意识．
【分析】（1）先求出点A（0，1），点B（﹣2，0），将点A坐标代入解析式可求c的值；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，由二次函数的性质可求解；
（3）①分四种情况讨论，由“AAS”可证△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面积公式可求解；
②分三种情况讨论，解不等式可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+1与x，y轴分别交于点B，A，
∴点A（0，1），点B（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A，
∴c＝1；
（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴对称轴为直线x＝1，
当a＞0，3≤x≤4时，y随x的增大而增大，
∴当x＝4时，y有最大值，
∴9a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝；
当a＜0，3≤x≤4时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时，y有最大值，
∴4a+1﹣a＝a+2，
解得：a＝（不合题意舍去），
综上所述：a＝；
（3）①当a＜0时，则1﹣a＞1，
如图1，过点P作PN⊥y轴于N，
∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴点P坐标为（1，1﹣a），
∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，
∵AM⊥AP，PN⊥y轴，
∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，
∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，
∴∠PAN＝∠AMO，
∴△AOM≌△PNA（AAS），
∴OM＝AN＝﹣a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，1﹣a＞0时，即0＜a＜1，
如图2，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；
当a＞0，﹣1＜1﹣a＜0时，即1＜a＜2，
如图3，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝2﹣a，
∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；
当a＝2时，点B与点M重合，不合题意，
当a＞0，1﹣a＜﹣1时，即a＞2，
如图4，过点P作PN⊥y轴于N，
∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，
同理可得△AOM≌△PNA，
∴OM＝AN＝a，
∴BM＝a﹣2，
∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；
综上所述：S＝．
②当1＜a＜2时，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，
∴当1＜a＜2时，不存在a的值使S＞；
当a＜1且a≠0时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜或a＞（不合题意舍去）；
当a＞2时，S＝a2﹣a+1＞，
∴（a﹣）（a﹣）＞0，
∴a＜（不合题意舍去）或a＞，
综上所述：a＜且a≠0或a＞．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
考点卡片
1．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
6．函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
7．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
8．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
9．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
10．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
11．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
12．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
13．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
14．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
15．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
16．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
17．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
20．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
21．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
22．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
23．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
24．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
25．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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日期：2021/8/3 16:13:35；用户：招远8；邮箱：zybzy8@xyh.com；学号：40292118
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