阶段性测试题3导数及其应用
展开阶段性测试题三(导数及其应用)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(2014·北京东城区联考)曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为( )
A.1 B.-
C. D.
[答案] C
[解析] ∵y=x3,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角α满足tanα=1,∵0≤α<π,∴α=.
2.(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] D
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f ′(x)=0的实数根,∴a=5.
(理)(2014·营口三中期中)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则a+b等于( )
A.2 B.3
C.6 D.9
[答案] C
[解析] f ′(x)=12x2-2ax-2b,由条件知x=1是方程f ′(x)=0的实数根,∴a+b=6.
3.(2015·皖南八校联考)函数f(x)=xex-ex+1的单调递增区间是( )
A.(-∞,e) B.(1,e)
C.(e,+∞) D.(e-1,+∞)
[答案] D
[解析] f ′(x)=ex+xex-ex+1=ex(1+x-e),
由f ′(x)>0得:x>e-1,故选D.
4.(2015·江西乐安一中月考)已知实数a,b,c,d成等比数列,且函数y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
[答案] A
[解析] 由条件知ad=bc,由y=3x-x3得,y′=3-3x2=3(1+x)(1-x),当-1
5.(2015·内蒙赤峰市宁城县月考)函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2] B.(-∞,2)
C.(2,+∞) D.(0,+∞)
[答案] B
[解析] f ′(x)=+a,由条件知+a=2有解,∴a=2-,∵x>0,∴a∈(-∞,2).
6.(2015·韶关市十校联考)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于-1的极值点,则( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a<- D.a>-
[答案] C
[解析] 由y′=ex+a=0得,ex=-a,∵函数有大于-1的极值点,∴a=-ex<-.
7.(文)(2015·江西三县联考)已知函数f(x)=x3+2ax2+x(a>0),则f(2)的最小值为( )
A.12+4 B.16
C.8+8a+ D.12+8a+
[答案] A
[解析] ∵f ′(x)=3x2+4ax+,∴f ′(2)=12+8a+,
∵a>0,∴f ′(2)≥12+2=12+4,等号在a=时成立.
(理)(2015·潮阳一中、桂城中学等七校联考)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 由得两曲线交点坐标为(0,0),(1,1),故积分区间为[0,1],
所求封闭图形的面积为(x2-x3)dx=(x3-x4)|
=.
8.(文)(2015·石光中学段考)函数f(x)在定义域R内可导,f(x)=f(2-x),当x∈(-∞,1)时,(x-1)f ′(x)<0,设a=f(0),b=f(),c=f(3),则( )
A.a C.c [答案] B
[解析] 由f(x)=f(2-x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,又x<1时,(x-1)f ′(x)<0,∴f ′(x)>0,∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,∴f(-1)
C.P D.Q
[答案] D
[解析] 由于函数f(x)=logax(0 9.(2015·浏阳一中、醴陵一中、攸县一中联考)已知函数f(x)=x3+ax2+cx,g(x)=ax2+2ax+c,a≠0,则它们的图象可能是( )
[答案] B
[解析] 因为f ′(x)=ax2+2ax+c,则函数f ′(x)即g(x)图象的对称轴为x=-1,故可排除A,D;由选项C的图象可知,当x>0时,f ′(x)>0,故函数f(x)=x3+ax2+cx在(0,+∞)上单调递增,但图象中函数f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故排除C,本题应选B.
10.(文)(2015·北京师大二附中期中)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是( )
[答案] A
[解析] ∵导函数f ′(x)是增函数,
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大,
故选A.
[点评] B图中切线斜率逐渐减小,C图中f ′(x)为常数,D图中切线斜率先增大后减小.
(理)(2015·宁夏银川二中统练四)若f(x)=-x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1]
[答案] D
[解析] 由条件知f ′(x)=-x+≤0在(-1,+∞)上恒成立,∴b≤x(x+2),∵x>-1时,x(x+2)>-1,
∴b≤-1.
11.(2015·山东滕州一中单元检测)函数f(x)=sinx+2xf ′(),f ′(x)为f(x)的导函数,令a=-,b=log32,则下列关系正确的是( )
A.f(a)>f(b) B.f(a)
[答案] A
[解析] ∵f(x)=sinx+2xf ′(),∴f ′(x)=cosx+2f ′(),∴f ′()=cos+2f ′(),∴f ′()=-,∴f(x)=sinx-x,∴f ′(x)=cosx-1≤0,∴f(x)在R上为减函数,
∵a=-,b=log32>0,∴af(b).
12.(文)(2015·娄底市名校联考)若函数f(x)=x2-lnx+1在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.[1,)
C.[1,+2) D.[,2)
[答案] B
[解析] f(x)的定义域为(0,+∞),y′=2x-,
由f ′(x)=0得x=,
依题意得∴1≤k<.
(理)(2015·洛阳期中)设f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f ′(x),若f(x)+f ′(x)>1,f(0)=2015,则不等式exf(x)>ex+2014(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(2014,+∞)
B.(-∞,0)∪(2014,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)
D.(0,+∞)
[答案] D
[解析] 令F(x)=exf(x)-ex-2014,∵f(x)+f ′(x)>1,∴F′(x)=exf(x)+exf ′(x)-ex=ex(f(x)+f ′(x)-1)>0,
∴F(x)在R上为增函数,又F(0)=e0f(0)-e0-2014=2015-1-2014=0,∴由F(x)>F(0)得x>0,即exf(x)-ex-2014>0的解为x>0,故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.)
13.(2015·北郊高中调研)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c=________.
[答案] 5
[解析] y′=3x2+m,
由题意知∴
∴m+n+c=5.
14.(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
[答案] (-∞,0]
[解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f ′(x)=3x2-2ax-3,
又因为f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,
f ′(x)=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
∴解得a≤0,
故答案为(-∞,0].
(理)(2015·滕州一中检测)已知x∈R,奇函数f(x)=x3-ax2-bx+c在[1,+∞)上单调,则字母a,b,c应满足的条件是________.
[答案] a=c=0,b≤3
[解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0恒成立,∴a=c=0,∴f(x)=x3-bx,f ′(x)=3x2-b,
∵f(x)在[1,+∞)上单调,∴≤1,∴b≤3.
15.(文)(2014·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________cm3.
[答案] 144
[解析] 设小正方形边长为x,则盒子的容积为v=x(10-2x)(16-2x),
即v=4(x3-13x2+40x),(0
所以,x=2时,盒子容积的最大值为144cm3.
(理)(2015·河南八校联考)已知函数f(x)=esinx+cosx-sin2x(x∈R),则函数f(x)的最大值与最小值的差是________.
[答案]
[解析] 令sinx+cosx=t,则sin2x=t2-1,易知-≤t≤,∴函数f(x)化为y=et-t2+.(-≤t≤),y′=et-t,令u(t)=et-t,则u′(t)=et-1.当0
16.(2015·山西大学附中月考)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b的值为________.
[答案] -7
[解析] f ′(x)=3x2+6ax+6,
由条件知∴
∴或
当a=2,b=9时,f ′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),
∴f(x)在x=-1时取到极小值0;当a=1,b=3时,f ′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,f(x)在R上单调递增,与条件矛盾,∴a-b=-7.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解析] (1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2),
∴f(1)=2.
∴a+b=1.①
又函数图象在点P处的切线斜率为8,∴f ′(1)=8,
又f ′(x)=3x2+2ax+b,
∴2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f ′(x)=3x2+8x-3,
令f ′(x)>0,可得x<-3或x>;
令f ′(x)<0,可得-3
(理)(2014·威海期中)已知函数f(x)=x3-x2+2x+5.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与y=2x+m有三个不同的交点,求实数m的取值范围.
[解析] (1)f ′(x)=x2-3x+2,
令f ′(x)=0,解得x=1或x=2.
当x<1或x>2时,f ′(x)>0;当1
(2)令f(x)=2x+m,即x3-x2+2x+5=2x+m,
∴x3-x2+5=m,
设g(x)=x3-x2+5,即考察函数y=g(x)与y=m何时有三个公共点,
令g′(x)=0,解得x=0或x=3.
当x<0或x>3时,g′(x)>0,
当0
根据图象可得
(1)求常数a,b,c的值;
(2)求f(x)的极值.
[解析] (1)f ′(x)=3ax2+2bx+c,由已知有f ′(1)=f ′(-1)=0,f(1)=-1,
即∴a=,b=0,c=-.
(2)由(1)知,f(x)=x3-x,∴f ′(x)=x2-=(x-1)(x+1),
当x<-1时,或x>1时,f ′(x)>0.当-1
∴当x=-1时,函数f(x)取得极大值f(-1)=1;
当x=1时,函数f(x)取得极小值f(1)=-1.
19.(本小题满分12分)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且x=时,y=f(x)有极值.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-4,1]上的最大值和最小值.
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+b,
(1)由题意得,
解得
经检验得x=时,y=f(x)有极小值,
所以f(x)=x3+2x2-4x+5.
(2)由(1)知,f ′(x)=3x2+4x-4=(x+2)(3x-2).
令f ′(x)=0,得x1=-2,x2=,
f ′(x),f(x)的值随x的变化情况如下表:
x
-4
(-4,-2)
-2
(-2,)
(,1)
1
f ′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
函数值
-11
13
4
∵f()=,f(-2)=13,f(-4)=-11,f(1)=4,
∴f(x)在[-4,1]上的最大值为13,最小值为-11.
20.(本小题满分12分)(2015·皖南八校联考)函数f(x)=x3-x2+ax+1(a∈R)的导函数为f ′(x).
(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)已知不等式f ′(x)>x2+x-a对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围.
[解析] (1)f ′(x)=ax2-x+a,由于函数f(x)在x=2时取得极值,所以f ′(2)=0.
即4a-2+a=0,解得a=,此时f ′(x)在x=2两边异号,f(x)在x=2处取得极值.
(2)方法一:由题设知:ax2-x+a>x2+x-a对任意a∈(0,+∞)都成立,
即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立.
设g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),则对任意x∈R,g(a)为单调递增函数(a∈R),
所以对任意a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立的充分必要条件是g(0)≥0,
即-x2-2x≥0,∴-2≤x≤0,于是x的取值范围是
{x|-2≤x≤0}.
方法二:由题设知:ax2-x+a>x2+x-a,对任意a∈(0,+∞)都成立,
即a(x2+2)-x2-2x>0对任意a∈(0,+∞)都成立,
于是a>对任意a∈(0,+∞)都成立,
即≤0.
∴-2≤x≤0,于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}.
21.(本小题满分12分)(2014·威海期中)已知f(x)=ex,g(x)=lnx.
(1)求证:g(x)
[解析] (1)令y=f(x)-x=ex-x,则y′=ex-1,
令y′=0,解得x=0,
当x<0时y′<0,当x>0时y′>0,
∴当x=0时,ymin=e0-0=1>0,
∴ex>x,
令y=x-g(x)=x-lnx,y′=1-=(x>0),
令y′=0,解得x=1,
当0
∴当x=1时,ymin=1-ln1=1>0,
∴x>lnx,(x>0),
∴g(x)
∵x1>x2>0,∴ex1>1,∴=ex1>1,∴0
∴lnx2=ex1 (x2-x1+1),
∵0
∴x1>1.
22.(本小题满分14分)(文)(2015·娄底市名校联考)已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点,求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程;
(2)若函数y=f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数a.
[解析] (1)设切线的斜率为k,
则k=f ′(x)=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,
当x=1时,kmin=1.又f(1)=,
所以所求切线的方程为y-=x-1,
即3x-3y+2=0.
(2)f ′(x)=2x2-4ax+3,要使y=f(x)为单调递增函数,必须满足f ′(x)>0,即对任意的x∈(0,+∞),恒有2x2-4ax+3>0,
∴a<=+,而+≥,
当且仅当x=时,等号成立,
所以a<,
所求满足条件的a值为1.
(理)(2015·江西乐安一中月考)已知函数f(x)=x2+alnx,g(x)=(a+1)x,a≠-1.
(1)若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a的取值范围;
(2)若a∈(1,e](e=2.71828…),设F(x)=f(x)-g(x),求证:当x1,x2∈[1,a]时,不等式|F(x1)-F(x2)|<1成立.
[解析] (1)f ′(x)=x+,g′(x)=a+1,
∵函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,
∴当x∈[1,3]时,f ′(x)·g′(x)=≥0恒成立,
即(a+1)(x2+a)≥0恒成立,
∴在x∈[1,3]时恒成立,或在x∈[1,3]时恒成立,
∵-9≤-x2≤-1,∴a>-1或a≤-9.
(2)F(x)=x2+alnx-(a+1)x,F′(x)=x+-(a+1)=,
∵F(x)定义域是(0,+∞),a∈(1,e],即a>1,
∴F(x)在(0,1)上是增函数,在(1,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,
∴当x=1时,F(x)取极大值M=F(1)=-a-,
当x=a时,F(x)取极小值m=F(a)=alna-a2-a,
∵x1,x2∈[1,a],∴|F(x1)-F(x2)|≤|M-m|=M-m,
设G(a)=M-m=a2-alna-,则G′(a)=a-lna-1,
∴[G′(a)]′=1-,∵a∈(1,e],∴[G′(a)]′>0,
∴G′(a)=a-lna-1在a∈(1,e]是增函数,∴G′(a)>G′(1)=0,
∴G(a)=a2-alna-在a∈(1,e]也是增函数,
∴G(a)≤G(e),即G(a)≤e2-e-=-1,
而-1<-1=1,∴G(a)=M-m<1,
∴当x1,x2∈[1,a]时,不等式|F(x1)-F(x2)|<1成立.
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