2022版高考数学大一轮复习作业本65《直接证明与间接证明》(含答案详解)

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这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本65《直接证明与间接证明》(含答案详解)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)
C.a2＋3ab>2b2 D.eq \f(a,b) ①已知p3＋q3=2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
以下正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确；②的假设错误
D.①的假设错误；②的假设正确
分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c=0，求证eq \r(b2－ac)A.a－b>0 B.a－c>0
C.(a－b)(a－c)>0 D.(a－b)(a－c)<0
用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b=2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是( )
A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤
已知f(x)=eq \r(1＋x2)，a≠b，则|f(a)－f(b)|与|a－b|的大小关系为( )
A.|f(a)－f(b)|>|a－b|
B.|f(a)－f(b)|<|a－b|
C.|f(a)－f(b)|=|a－b|
D.不确定
a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)
C.a2＋3ab>2b2 D.eq \f(a,b) 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
已知m>1，a=eq \r(m＋1)－eq \r(m)，b=eq \r(m)－eq \r(m－1)，则以下结论正确的是( )
A.a>b B.a 设a，b，c均为正实数，则三个数a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
已知函数f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，a，b为正实数，A=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，B=f(eq \r(ab))，C=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab,a＋b)))，
则A，B，C的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A
二、填空题
比较eq \r(6)＋eq \r(7)与2eq \r(2)＋eq \r(5)的大小关系为________.
如果aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)，则a，b应满足的条件是________.
下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
其中能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立的条件的序号是________.
用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b=c＋d=1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是： .
用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2=eq \f(n4＋n2,2)，则当n=k＋1时左端应在n=k的基础上加上的项为 .
\s 0 参考答案
答案为：B.
解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)=(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)
=(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.
答案为：D.
解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确.
答案为：C.
解析：由题意知eq \r(b2－ac)⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇐－2a2＋ac＋c2<0⇐2a2－ac－c2>0
⇐(a－c)(2a＋c)>0⇐(a－c)(a－b)>0.
答案为：C.
解析：∵n=1时，21=2,2×1＋1=3,2n>2n＋1不成立；
n=2时，22=4,2×2＋1=5,2n>2n＋1不成立；
n=3时，23=8,2×3＋1=7,2n>2n＋1成立.
∴n的第一个取值应是3.
答案为：C.
解析：若a=eq \f(1,2)，b=eq \f(2,3)，则a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；
若a=b=1，则a＋b=2，故②推不出；
若a=－2，b=－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a=－2，b=－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2.则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，
因此假设不成立，a，b中至少有一个大于1.
答案为：B.
解析：|f(a)－f(b)|=|eq \r(1＋a2)－eq \r(1＋b2)|=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a2－b2,\r(1＋a2)＋\r(1＋b2))))
=eq \f(|a＋b||a－b|,\r(1＋a2)＋\r(1＋b2))所以|f(a)－f(b)|<|a－b|，故选B.
答案为：B
解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)=(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)=(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.
答案为：B
解析：应假设“三个内角都大于 60°”，故选B.
答案为：B
解析：∵a=eq \r(m＋1)－eq \r(m)=eq \f(1,\r(m＋1)＋\r(m))，b=eq \r(m)－eq \r(m－1)=eq \f(1,\r(m)＋\r(m－1)).
而eq \r(m＋1)＋eq \r(m)>eq \r(m)＋eq \r(m－1)＞0(m＞1)，∴eq \f(1,\r(m＋1)＋\r(m)) 答案为：D
解析：∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,a)))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,c)))≥6，
当且仅当a=b=c=1时，“=”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案为：A.
解析：因为eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)，又f(x)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上是单调减函数，
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))≤f(eq \r(ab))≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.
答案为：eq \r(6)＋eq \r(7)>2eq \r(2)＋eq \r(5).
解析：要比较eq \r(6)＋eq \r(7)与2 eq \r(2)＋eq \r(5)的大小，只需比较(eq \r(6)＋eq \r(7))2与(2eq \r(2)＋eq \r(5))2的大小，
即比较6＋7＋2eq \r(42)与8＋5＋4eq \r(10)的大小，只需比较eq \r(42)与2eq \r(10)的大小，
只需比较42与40的大小，∵42>40，∴eq \r(6)＋eq \r(7)>2eq \r(2)＋eq \r(5).
答案为：a≥0，b≥0且a≠b.
解析：∵aeq \r(a)＋beq \r(b)－(aeq \r(b)＋beq \r(a))=eq \r(a)(a－b)＋eq \r(b)(b－a)=(eq \r(a)－eq \r(b))(a－b)
=(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b)).
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b))>0.
∴aeq \r(a)＋beq \r(b)>aeq \r(b)＋beq \r(a)成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
答案为：①③④.
解析：要使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2，只需eq \f(b,a)>0成立，即a，b不为0且同号即可，
故①③④能使eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立.
答案为：a，b，c，d全是负数.
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”.
答案为：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.
解析：当n=k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，
则当n=k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.

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