华中师大（附中）2020-2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题

这是一份华中师大（附中）2020-2021学年度下学期期中检测高一年级数学试题，共6页。

一.单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.复数为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（ ）
A.-1 B. C.1 D.
2.已知向量若向量与向量垂直,则实数=( )
A. B.1 C.2 D.3
3.<<掷铁饼者>>是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕像,它取材于现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的每只手臂长约，肩宽约为 “弓”所在圆的半径约为1.25m，则如图掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
4.若内接于以为圆心,1为半径的圆,且,则=( )
A. B. C. D.
5.设内角的对边分别为，已知,的平分线交边于点,则线段的长度为（）
B. C. D.
6.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著。其中卷五记载：“今有刍薨甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问体积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面上的投影为矩形的中心，
（长度单位：丈）则楔体的体积为（ ）（体积单位：立方丈）
A.10 B.8 C.6 D.5
7.在劳动技术课上，某同学欲将一个底面半径为4，高为6的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知分别为的边上的点，线段和线段相交于点，若,且,其中，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.
9.在复平面内，复数对应的向量分别是,其中O是原点，为虚数单位，则下列判断中正确的有
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.已知向量，，函数,则下列结论正确的是
A. B.的最小正周期为
C.的最大值为 D.的图象关于直线对称
11.“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regular slid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美。如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知,则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过A、B、C三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式为
12.已知的内角分别为A、B、C，满足，且，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若为直角三角形，则 B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则的面积为 D. 若，则.
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量与向量的夹角为则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 .
14.设复数其中为虚数单位，若满足则 .
15.轴截面是等边三角形的圆锥，即底面直径与母线相等的圆锥叫等边圆锥（Equilateral cne),它外观看着舒适，且具有稳定的性质，生活中应用广泛，例如冰缴凌，沙漏等呈等边圆锥状。已知一等边圆锥的底面圆直径为6，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，且正四面体在该圆锥内可以任意转动，则的最大值为 .
16.已知锐角的内角所对的边分别为若则的取值范围为 .
四.解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本大题满分10分)设是虚数，是实数，且,
（1）求的值；
（2）求的实部的取值范围.
18.(本大题满分12分)在①；
②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.
问题：的内角A,B,C所对的边分别为,且满足__________.
（1）求A；
（2）若，且向量与共线，求的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按一地个解答给分.
19.(本大题满分12分)已知长方体全部棱长的和为28，其外接球的表面积为，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为10.
（1）求棱的长；
（2）求几何体的表面积.
20.(本大题满分12分)如图，在正方形中，，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点（包括两点）
（1）求的最大值；
（2）设向量，若，求凸四边形的面积。
21.(本大题满分12分)“精准扶贫， 修路先行”，为解决城市和山区的物流运输问题，方便地的农产品运输到城市交易，计划在铁路间的某点处修建一条笔直的公路到达地.示意图如图所示，千米，千米，.己知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从到的总运费为百元,为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1:设千米；方案2:设，
（1）试将分别表示为关于的函数关系式和；
（2）请只选择种一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度.
22.(本大题满分12分)已知函数
（1）若满足且在区间上为单调函数，试求的最大值；
（2）若直线与的图象相交，将其中三个相邻的交点从左到右依次记为且满足当时，函数在区间上单调递增，试求的取值范围.