优化提升专题训练（新高考）相等关系与不等关系（含答案解析）学案

  相等关系与不等关系

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、（2020届山东实验中学高三上期中）若是任意实数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】、是任意实数，且，如果，，显然不正确；

如果，，显然无意义，不正确；

如果，，显然，，不正确；

因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确．

故选：．

2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知，则“”是“”的(     )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

由解得，所以由“”能推出“”，反之，不能推出；

因此“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

4、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由关于x的不等式的解集是，

得且，

则关于x的不等式可化为，

即，

解得：或，

所求不等式的解集为：.

故选：A.

5、已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】时，不等式可化为；

当时，不等式为，满足题意；

当时，不等式化为，则，当且仅当时取等号，

所以，即；

当时，恒成立；

综上所述，实数的取值范围是

答案选A

6、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）不等式的解集为，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】当时，不等式显然恒成立，即，满足条件。

当时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，。

所以，

即

综上所述：

7、（江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试）若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】关于x的不等式对任意的实数

及任意的实数恒成立，

先看成b的一次函数 ，可得

即为，

可得恒成立，

设，，

，

可得时，，递增；

时，，递减，

又，，

可得在的最小值为，

可得．

即有a的范围是．

故答案为：．

8、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知函数.

（1）若不等式的解集为，则实数，的值分别为     ；

（2）若对任意，恒有，则实数的取值范围为      .

【答案】（1），；（2）

【解析】（1），即，

根据题意：，解得.

（2）恒成立，

当时，或，故，解得；

当时，易知成立；

当时，或，故，解得.

综上所述：.

【问题探究，变式训练】

题型一、不等式的概念与性质

知识点拨：考查的形式主要以选择题为主，涉及到不等式比较大小，解决方法主要有两种：1、直接法：运用不等式的性质进行判断；2、排除法：运用特殊值进行验证。

例1、【2019年高考全国II卷理数】若a>b，则

A．ln(a−b)>0 B．3a<3b

C．a3−b3>0 D．│a│>│b│

【答案】C

【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

变式1、【2018年高考全国III卷理数】设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】∵，，，

，

,即，又，

，即，故选B.

变式2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若则

D．若则

【答案】BC

【解析】若，，则，故A错；

若，，则，化简得，故B对；

若，则，又，则，故C对；

若，，，，则，，，故D错；

故选：BC．

变式3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设，，则下列不等式中恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】当，满足条件．但不成立，故A错误，
当时，，故B错误，
，，则，故C正确，
，，故D正确.
故选：CD．

变式4、【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．

【答案】①130 ；②15.

【解析】（1）,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.

（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为元,

元时,李明得到的金额为,符合要求.

元时,有恒成立,即,即元.

所以的最大值为.

题型二、不等式的解法

知识点拨：主要考查一元二次不等式或者简单的分式不等式以及与指对数有关的不等式。

例2、【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】化简不等式，可知 推不出，

由能推出，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

变式1、（2020届北京昌平区新学道临川学校高三上学期第三次月考）已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（    ）.

A．或 B．

C． D．

【答案】D

【解析】一元二次不等式的解集为或，

则的解集为，

则可化为；

解得，

所以所求不等式的解集为．

故选：．

变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式的解集为，则不等式的解集为（   ）

A．或 B． C． D．或

【答案】A

【解析】不等式的解集为,

 的两根为，，且，

即,解得

则不等式可化为

解得

故选

变式3、（2020届山东实验中学高三上期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】由题意得，，解得，所以，由，解得，即，要使得是的充分不必要条件，

则，解得，所以实数的取值范围是．

题型三、不等式的含参问题

知识点拨：此类为题有两种处理方式，一是运用函数的思想进行解题；二是吧参数独立出来。

例3、（江苏省南通巿2019-2020学年第一次教学质量调研）不等式的解集为，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】当时，不等式显然恒成立，即，满足条件。

当时，为二次函数，要恒大于零只有开口向上，。

所以，

即

综上所述：

变式1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）若关于的不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，.

不等式对任意都成立，

即对任意都成立，

取，则，此时，排除A.

取，则，此时，排除C、D.

故选：B.

变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】∵，∴或，即或，∴．∴“”是“”的充分不必要条件．

故选：A.

变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】题意即为对恒成立，

即对恒成立，从而求，的最小值，而

故

即

当时，等号成立，方程在内有根，

故，所以，故选D．

变式4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）已知，若对任意的 aR，存在 [0，2] ，使得成立，则实数k的最大值是_____

【答案】

【解析】

当0时，即a≤0时，在[0，2]恒成立，

∴，此时在[0，2]上单调递增，

∴maxf（x）max＝f（2）＝22﹣2a＝4﹣2a，∴k≤4-2a对任意的a≤0成立，∴k≤4；

当2时，即a≥4，在[0，2]恒成立，

∴，此时在[0，2]上单调递减，

∴maxf（x）min＝-f（2）＝-22+2a＝-4+2a，∴k≤-4+2a对任意的a≥4成立，∴k≤4；

当0时，即0＜a≤2时，此时在[0，]上单调递减，在[，2] 上单调递增，

且在[0，a]恒成立，在[a，2]恒成立，

∴max

又-=+2a-4≥0时，即时，max，

∴k≤对任意的成立，∴k≤；

时，max，

∴k≤对任意的成立，

∴k≤；

当2时，即2＜a＜4时，f（x）max＝＝，∴k≤对任意的2＜a＜4成立，∴k≤1；

综上所述： k≤；

故答案为.