2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷2含答案

这是一份2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷2含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．复数满足，则
A．B．C．D．
2．已知集合，集合，则
A．B．C．，1，2，D．，2，
3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是
A．B．C．D．
4．设函数，则下列函数中为奇函数的是
A．B．C．D．
5．矩形ABCD中，，，点为CD中点，沿AE把折起，点到达点，使得平面平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
6．在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的5名选手的成绩的平均数为
A．93.6B．94.6C．95.6D．97
7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A．B．C．D．
8．若，，，则，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
9．如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点为AD的中点，在正方形ABCD中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为
A．B．C．D．
10．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边AB于，且CD将三角形的面积分成3:4两部分，则
A．B．C．D．
11．设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是
A．B．1C．3D．9
12．已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ．
15．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值是 ．
16．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在，，内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
19．如图，在四棱锥B﹣ACDE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直，点M，N分别为BC，AE的中点，点F在棱CD上．
（1）证明：MN∥平面BDE；
（2）若AB＝2，点M到AF的距离为，求CF的长．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线垂足为，求证：直线过定点．
21．已知为函数的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求．
23．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围．
2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数满足，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
故．
故选B．
2．已知集合，集合，则
A．B．C．，1，2，D．，2，
【答案】D
【解析】集合，
集合，
，2，，
故选D．
3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于命题，，
当时，，故命题为真命题，为假命题；
对于命题，，
因为，又函数为单调递增函数，故，
故命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，
故选A．
4．设函数，则下列函数中为奇函数的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，
得到函数，该函数的对称中心为，
故函数为奇函数．
故选B．
5．矩形ABCD中，，，点为CD中点，沿AE把折起，点到达点，使得平面平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如右图，因为，异面直线与所成角就是或其补角，
在中，，，
在左图中作，垂足为，则，，
所以，
所以．
故选D．
6．在一次53.5公里的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的5名选手的成绩的平均数为
A．93.6B．94.6C．95.6D．97
【答案】B
【解析】结合系统抽样法知间隔5人抽取一次，甲为85分，故其他人的成绩分别是88，94，99，107，
故平均数为，
故选B．
7．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选B．
8．若，，，则，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，即，
，即，
，
故选B．
9．如图，已知四边形ABCD为正方形，扇形GEF的弧EF与BC相切，点为AD的中点，在正方形ABCD中随机取一点，则该点落在扇形GEF内部的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设正方形的边长为2，则扇形的半径为2，
，
同理，
，
，而正方形的面积，
在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率．
故选A．
10．在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边AB于，且CD将三角形的面积分成3:4两部分，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为的平分线，由角平分线的性质定理可得，
而，
可得，
在中，由正弦定理可得，
又，可得，
所以，可得，
故选C．
11．设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是
A．B．1C．3D．9
【答案】D
【解析】根据题意，是椭圆即上的一个动点，则，且，
而定点，则，
函数是开口向上的二次函数，其对称轴为，
当时，取得最大值，且其最大值为9，
故选D．
12．已知函数．记零点个数为，极大值点个数为，若，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取，，，则，其图象如下，
由图易知，，符合题意，故排除选项，；
取，，，则，
则，
易知函数在，单调递增，
在，单调递减，其图象如下，
由图象易知，，符合题意，故排除选项；
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
【答案】
【解析】点满足曲线的方程，
点为切点．
，
当时，
曲线在点处的切线的斜率为1，倾斜角为
故答案为.
14．已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 ．
【答案】4
【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线为，
则有，解可得，
则双曲线的方程为，则，
其焦距；
故答案为：4．
15．已知向量与的夹角为，且，，若，且，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】向量与的夹角为，且，，
．
若，且，则，
则实数，
故答案为：．
16．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿对角线折叠，使平面平面，则三棱锥外接球的体积是 ．
【答案】
【解析】解：如图，
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
平面，
，
同理可证，
在中，，所以，
取中点为，连接，，
由直角三角形的性质可知，，，
又，即到，，，四点的距离相等，
为三棱锥外接球的球心，
，
球的体积，
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）证明：因为，所以，
又，故数列为首项为1，公比为的等比数列．
所以，故．
（2）因为①，
②，
①、②式错位相减得：
化简整理得．
18．4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若采用分层抽样的方法，从样本在，，内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．
【答案】（1）58；（2）.
【解析】（1）由频率分布直方图可得，，即，
这1000名学生每日的平均阅读时间分钟．
（2）由频率分布直方图，可知样本在，，内的学生频率分布为0.3，0.2，
样本在，，采用分层抽样的比例为，
，抽取了3人，，，，抽取了2人，，
则再从5人中抽取2人共有，，，，，，，，，种不同的抽取方法，
抽取的2人来自不同组共有，，，，，种，
抽取的2人来自不同组的概率．
19．如图，在四棱锥B﹣ACDE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直，点M，N分别为BC，AE的中点，点F在棱CD上．
（1）证明：MN∥平面BDE；
（2）若AB＝2，点M到AF的距离为，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）1.
【解析】（1）证明：取BD的中点G，连接EG，MG，
∵M为棱BC的中点，
∴MG∥CD，且MG＝CD．
又N为棱AE的中点，四边形ACDE为正方形，
∴EN∥CD，且EN＝CD．
从而EN∥MG，且EN＝MG，于是四边形EGMN为平行四边形，
则MN∥EG．
∵MN⊄平面BDE，EG⊂平面BDE，
∴MN∥平面BDE．
（2）解：过M作MI⊥AC于I，
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴MI⊥平面ACDE，
过I作IK⊥AF于K，连接MK，则MK⊥AF．
∵AB＝2，∴MI＝2，∴MK，
∴IK，过C作CH⊥AF于H，易知，则CH，
∵CH，
∴CF＝1．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作动直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线垂足为，求证：直线过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1），，点为椭圆上一点，
由椭圆定义可得，
，
，
，
椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，，，，
联立直线与椭圆方程，可得，
运用韦达定理，可得①，②，
，
直线的方程为，即③，
又，
④，
将①、②式代入④式化简得⑤，
⑤代入③化简得直线的方程为，
故直线过定，即得证．
21．已知为函数的极值点．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ），，解得，
经检验，在递减，在递增，为的极小值点，符合题意，因此，．
（Ⅱ），，
设，其中，，，，
在递增，．
（1）当时，即，，在递增，符合题意，所以；
（2）当时，即，，，
在上，，在递减，
所以时，不符合题意；
综上，实数的取值范围为．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；
（2）设射线与直线交于点，点在曲线上，且，求．
【答案】（1）；.（2）2.
【解析】（1）曲线的普通方程，将，代入，
整理得，即为曲线的极坐标方程．
对于直线，，将，代入，
整理得，即为直线的直角坐标方程．
（2）把代入直线的极坐标方程得，
射线的极坐标方程为，即．
把代入曲线的极坐标方程，得，
，为等边三角形，
．
23．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）函数，，
当时，不等式，即，
设，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的解集为．
（2）设，且当时，，，
，即，
，对内恒成立，
，
，解得，
的取值范围为．