数学思想问题

数学思想问题

一、选择题

1．函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1

C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1

2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4．已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）

A．10 B．6 C．5 D．3

二、填空题

5．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是　　．

6．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　　（结果保留π）．

7．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是　　．

8．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　　．

9．当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为　　．

10．若实数x满足，则的值=　　．

三、解答题

11．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔枝种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；

（2）该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？

数学思想问题

参考答案与试题解析

一、选择题

1．函数y1=x和y2=的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是（　　）

A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1

C．﹣1＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或0＜x＜1

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【专题】计算题．

【分析】由两函数的交点横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．

【解答】解：由图象得：y1＞y2的x取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．

故选C

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．

2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（　　）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【考点】相似三角形的判定．

【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．

【解答】解：∵截得的三角形与△ABC相似，

∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意

∴过点M作直线l共有三条，

故选C．

【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时，运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．

【专题】压轴题．

【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．

【解答】解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，

∵A（0，2），B（0，6），

∴AB=6﹣2=4，

以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，

∵OB=6，

∴点B到直线y=x的距离为6×=3，

∵3＞4，

∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，

所以，点C的个数是1+2=3．

故选B．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．

4．已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）

A．10 B．6 C．5 D．3

【考点】完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】根据完全平方公式由（m﹣n）2=8得到m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到m2+n2的值．

【解答】解：∵（m﹣n）2=8，

∴m2﹣2mn+n2=8①，

∵（m+n）2=2，

∴m2+2mn+n2=2②，

①+②得，2m2+2n2=10，

∴m2+n2=5．

故选：C．

【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．

二、填空题

5．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＜y2成立的x的取值范围是　﹣2＜x＜8　．

【考点】二次函数与不等式（组）．

【专题】数形结合．

【分析】根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．

【解答】解：由图形可得，当﹣2＜x＜8时，二次函数图象在一次函数图象下方，y1＜y2，

所以，使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．

故答案为：﹣2＜x＜8．

【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．

6．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是　　（结果保留π）．

【考点】扇形面积的计算．

【专题】压轴题．

【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．

【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，

∴阴影部分的面积应为：S==．

故答案是：．

【点评】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．

7．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是　2　．

【考点】正多边形和圆．

【专题】压轴题．

【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．

【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．

正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，

中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，

△ACE边EC上的高是：，

则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．

故答案是：2．

【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．

8．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积　7　．

【考点】三角形的面积．

【专题】压轴题．

【分析】连接AB1，BC1，CA1，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ABB1，△A1AB1的面积，从而求出△A1BB1的面积，同理可求△B1CC1的面积，△A1AC1的面积，然后相加即可得解．

【解答】解：如图，连接AB1，BC1，CA1，

∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，

∴S△ABB1=S△ABC=1，

S△A1AB1=S△ABB1=1，

∴S△A1BB1=S△A1AB1+S△ABB1=1+1=2，

同理：S△B1CC1=2，S△A1AC1=2，

∴△A1B1C1的面积=S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC=2+2+2+1=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线把三角形进行分割是解题的关键．

9．当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为　9　．

【考点】完全平方公式．

【分析】将代数式化为完全平方公式的形式，代入即可得出答案．

【解答】解：m2+2mn+n2=（m+n）2=9．

故答案为：9．

【点评】本题考查了完全平方公式的知识，解答本题的关键是掌握完全平方公式的形式．

10．若实数x满足，则的值=　7　．

【考点】完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】先根据完全平方公式变形得到x2+=（x+）2﹣2，然后把满足代入计算即可．

【解答】解：x2+

=（x+）2﹣2

=32﹣2

=7．

故答案为7．

【点评】本题考查了完全平方公式：（x±y）2=x2±2xy+y2．也考查了代数式的变形能力以及整体思想的运用．

三、解答题

11．某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示．从2009年开始，该市荔枝种植面积y（万亩）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式（不必注明自变量x的取值范围）；

（2）该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式利用待定系数法求得函数的解析式即可；

（2）将2012代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可．

【解答】解：（1）由图象可知函数图象经过点（2009，24）和（2011，26）

设函数的解析式为：y=kx+b，则由题意得：

，

解得：，

∴y与x之间的关系式为y=x﹣1985；

（2）令x=2012，

∴y=2012﹣1985=27（万亩），

答：该市2012年荔技种植面积为27万亩．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出一次函数模型，利用一次函数的知识解决实际问题．