求磁场最小面积的问题专题（有详解）教案

一、磁场范围为圆形

【例题1】如图所示，一带电质点，质量为m,电量为q，以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度v射出，可在适当的地方圆加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计。

【解析】质点在磁场中做半径为R的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则：，可得质点在磁场中做圆周运动的半径为定值。由题设的质点在有界磁场区域中入射点和出射点方向垂直的条件，可判定带电粒子在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆周的1/4圆弧，这段圆弧与粒子射入和射出磁场时的速度方向相切。过点a作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线aM、bN相距均为R的O’点即为带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心，图中虚线圆弧即为带电粒子在有界磁场中运动的轨迹。由几何关系知：过M、N两点的不同圆周中面积最小的是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为：

【针对练习】：一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为300，如图所示（粒子重力忽略不计）。试求：
⑴圆形磁场区的最小面积；⑵粒子在磁场区域所经历的时间；⑶b点的坐标。
【解析】⑴分析可知，，，可知如虚线所示，做出粒子在磁场中做半径为r的圆周运动的示意图。根据几何关系有：
；；
所以，圆形磁场区的最小面积为：
⑵粒子运动的圆心角为1200，时间：
⑶Ob的距离：； 故b点的坐标为
 

【巩固提高】1、如图所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）

【解析】设粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，可得：为一定值。如图虚线圆所示，作出粒子沿AB进入、

BC射出磁场的运动轨迹。过P、Q两定点的不同圆周中，面积的是以线段PQ为直径的圆（如图中实线圆所示），即所示的最小圆形磁场区域。由几何关系知，实线圆的半径：，则待求最小圆形磁场区域的面积：。

2、一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度v0，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为300，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成600角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示，粒子的重力不计，试求：⑴圆形匀强磁场区域的最小面积；
⑵c点到b点的距离。
【解析】⑴先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：①;    解得：②
过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，要使磁场的区域有最小面积，则oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：③
由②③得：;   所以圆形磁场的最小面积为：
⑵带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：
④  ⑤
而：⑥  联立④⑤⑥解得：。

二、磁场范围为树叶形
【例题2】如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

⑴此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

⑵此匀强磁场区域的最小面积；

【解析】⑴设匀强磁场的磁感应强度的大小为B。令圆弧是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道。电子所受到的洛仑兹力：①
应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外。圆弧的圆心在CB边工其延长线上。依题意，圆心在A、C连线的中垂线上。故B点即圆心，圆半径为a。按照牛顿第二定律有：②; 

联立①②式得：③

 ⑵由⑴中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C点垂直于BC入射的电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。

为了确定该磁场区域的另一边界，我们来考虑射中A点的电子的速度方向与BA的延长线夹角为θ（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹qpA如图所示。图中，圆弧的圆心为O，pq垂直于BC边。由③式知，圆弧的半径仍为a。在以D点为原点，DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，p点的坐标（x,y）为：④；⑤

这意味着，在范围内，过p 点形成以D为圆心、a为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所示的最小匀强磁场区域是分别以B和D为圆心，a为半径的两个四分之一圆周，和所围成的，其面积为：⑥

【针对练习】在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一垂直于xoy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，则符合该条件的磁场的最小面积为（不考虑电子间的相互作用）（ C  ）
A.       B.
C.      D.
【解析】电子由O点射入第一象限做匀速圆周运动，则：，所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为r且位于第IV象限的四分之一圆周上，如图所示。由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程：，即所有出射点均在以坐标（0，r）为圆心的圆弧abO上，显然，磁场健在的最小面积就是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何关系得：

，选项C正确。其他选项均错。

【巩固提高】在xoy平面内有许多电子（质量为m、电量为e），从坐标O不断以相同速率v0沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于xoy平面向内、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。

【解析】由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，如图。当电子速度方向与x轴正向成角度θ时，作出轨迹如图，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为S(x,y)，由图可知：，消去参数θ得：，可以看出随着θ的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。
上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。所以：

三、磁场范围为矩形

【例题3】如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为1.5×103V／m，Bl大小为0.5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合。一质量m=1×10-14kg、电荷量q=2×l0-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域。一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为（0，-10），N点的坐标为（0，30），不计粒子重力，g取10m/s2。则求：

（1）微粒运动速度v的大小；

（2）匀强磁场B2的大小；

（3）B2磁场区域的最小面积。

解析：（1）  。

（2）画出微粒的运动轨迹如图，粒子做圆周运动的半径为

由，解得。

（3）由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD内，由几何关系易得

所以，所求磁场的最小面积为

【针对练习】图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.0×10-3T，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为离子的入射口，在Y上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以v=3.5×104m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力。
⑴求上述粒子的比荷q/m；
⑵如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；
⑶为了在M个观测到按设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。
【答案】⑴或
⑵  ⑶
 

四、磁场范围为三角形
【例题4】如图，一个质量为m，带+q电量的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM=CN）垂直于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅健在在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：
⑴粒子在磁场里运动的轨道半径r及周期T；
⑵该粒子在磁场里运动的时间t；
⑶该正三角形区域磁场的最小边长；

【解析】⑴，；；

⑵

⑶连接ao并延长与bc交与H点，由图可知：；

【跟踪练习】

1、如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1，E的大小为0.5×103V/m，B1大小为0.5T；第一象限的某个区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场B2的下边界与x轴重合。大量的质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒，以某一速度v沿与y轴正方向60°角，从y轴OM间进入B1场，一段时间后，所有的微粒都通过第一象限中的某一点。已知微粒在B1场中沿直线运动，M点的坐标为(0，-10)。不计粒子重力。

(1)请分析判断匀强电场E1的方向并求出微粒的运动速度v；

(2)匀强磁场B2的大小为多大？

(3) B2磁场区域的最小面积为多少？

【解析】由于重力忽略不计，微粒在第四象限内仅受电场力和洛伦兹力，且微粒做直线运动，速度的变化会引起洛仑兹力的变化，所以微粒必做匀速直线运动．这样，电场力和洛仑兹力大小相等，方向相反，电场E的方向与微粒运动的方向垂直，即与y轴负方向成30°角斜向下．　　

由力的平衡有 Eq=B1qv　　　　　　

　 ∴ v=1.0×103 m/s（6分）

(2) 画出微粒的运动轨迹与磁场的几何图．

由几何关系可知粒子在第一象限内做圆周运动的半径为　

　　　　　解之得       6分）
 

(3) 由几何可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的两圆的公共部分的面积．所以，所求磁场的最小面积为

2、如图所示，直角三角形ABC中∠CAB=300，边长AB=a。假设在顶点A处有一放射源可沿∠CAB所夹范围的各个方向放射出质量为m、速度为v0、

带电量为e的电子。在三角形ABC适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A沿AC方向射入磁场时，电子恰好从B点射出。要命放射出的电子穿过磁场后，都只能沿平行于AB方向向右运动，试求⑴此匀强磁场B1的大小和方向；

⑵匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）
【解析】⑴设匀强磁场的磁感应强度的大小为B1，∠CAB=300，电子从A点沿AC方向射入磁场，经偏转恰好能从B点射出。如图所示，设圆弧是电子的运动轨迹，其圆心为，由几何关系知三角形为正三角形。电子在磁场中运动的轨道半径R=a，由电子作圆周运动所受的洛伦兹力提供向心力有：，可得：。电子所受的洛伦兹力指向圆弧的圆心，由左手定则判定磁场方向垂直纸面向里。
⑵题设要求所有由A点向的范围内发射电子均只能平行于AB向右飞出磁场，由几何关系知电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点，所以沿AC方向发射的电子在磁场中运动轨迹与AB中垂线交点的左侧圆弧（如图中设P1点为圆弧中点）即为有界磁场的上边界，其圆心为。下面确定下边界，先设磁场区域足够大。要保证电子在所夹范围内由A点沿任意方向发射电子都只能平行于AB向右飞出磁场，则要示电子飞出有界磁场的点满足：以圆弧（以A为圆心,A为半径）上的任意一点为圆心，a为半径的圆弧与平行于AB的直线的交点。实际上，点相当于圆弧上的点沿垂直于AB向上平移a得到的，所以满足条件的有界磁场的下边界为：将A点沿垂直于AB向上平移距离a得到的O点为圆心，以a为半径的圆弧与交点的下方部分。故所求有界磁场的最小区域为弧与弧所围的部分，其面积为扇形面积减去三角形面积的二倍，即最小磁场区域的面积为
 

3、如图所示，在xoy平面内第二象限的某区域存在一个矩形匀强磁场区，磁场方向垂直xoy平面向里，边界分别平行于x轴和y轴。一电荷量为e、质量为m的电子，从坐标原点O以速度v0射入第二象限，速度方向与y轴正方向成450角，经过磁场偏转后通过P(0,a)点，速度方向垂直于y轴，不计电子的重力。
⑴若磁场的磁感应强度大小为B0，求电子在磁场中运动的时间t；
⑵为使电子完成上述运动，求磁感应强度的大小应满足的条件；
⑶电子到达y轴上P点时，撤去矩形匀强磁场，同时在y轴右侧加上垂直xoy平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B1，在y轴左侧加上垂直xoy平面向里的匀强磁场，电子在第（k+1）次从左向右经过y轴（经过P点为第1次）时恰好通过坐标原点。求y轴左侧磁场磁感应强度大小B2及上述过程电子从P点到坐标原点的运动时间ｔ.

【解析】⑴如图所示，电子在磁场中转过的角度：；运动周期：；
则：；    联立解得：
⑵设磁感应强度最小值为Bmin，对应的最大回旋半径为R，圆心为O1，则有：，
根据几何知识得：，联立解得：；
磁感应强度的大小应满足的条件为：
⑶设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的半径分别为r1和r2，则有：；
由如图的几何关系知，；  联立解得：
设电子在y轴右侧和左侧做圆周运动的周期分别为T1和T2，

则有：，，； 联立解得：

4、如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心在轴上，距离等于半圆磁场的半径，磁感应强度大小为。虚线MN平行轴且与半圆相切于P点。在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿轴负向，磁场磁感应强度大小为。、方向均垂直纸面，方向如图所示。有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动，粒子质量为，电荷量为（粒子重力不计）。求：
⑴粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。
⑵若撤去磁场，则经过P点射入电场的粒子从轴出电场时的坐标。
⑶试证明：题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。
【解答】（1）           （2分）    
                           （2分）

由题意知粒子在磁场B1中圆周运动半径与该磁场半径相同，

                        （2分）

得                 （2分）

（2）在电场中粒子做类平抛运动：

                      （2分）

    （3分）

        （2分）

（3）证明：设从O点入射的任一粒子进入B1磁场时，速度方向与x轴成θ角，粒子出B1磁场与半圆磁场边界交于Q点，如图所示，找出轨迹圆心，可以看出四边形OO1O2Q四条边等长是平行四边形，所以半径O2Q与OO1平行。所以从Q点出磁场速度与O2Q垂直，即与x轴垂直，所以垂直进入MN边界。进入正交电磁场E、B2中都有故做直线运动。（5分）

5、图中坐标原点O(0,0)处有一带电粒子源，向一侧沿oxy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是v，质量均为m，电荷量均为q。有人设计了一方向垂直于oxy平面，磁感应强度的大小为B的均匀磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动。试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图。
【解答】先设磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直xy平面向里，且无边界。考察从粒子源发出的速率为v、方向与x轴夹角为θ的粒子，在磁场的洛仑兹力作用下粒子做圆周运动，圆轨道经过坐标原点O，且与速度方向相切，若圆轨道的半径为R,有：
 ①  得：  ②
圆轨道的圆心O’在过坐标原点O与速度方向垂直的直线上，至原点的距离为R，如图1所示。通过圆心O’作平行于y轴的直线与圆轨道交于P点，粒子运动到P点时其速度方向恰好是沿x轴正方向，故p点就在磁场区域的边界上。对于不同入射方向的粒子，对应的P点的位置不同，所有这些P点的连线就是所示磁场区域的边界线。P点的坐标为：                            ③                            ④
这就是磁场区域边界的参数方程，消去参数θ得： ⑤；
由②、⑤式得：  ⑥
这是半径为R圆心O″的坐标为（O,-R）的圆，作为题所要求的磁场区域的边界线，应是如图2所示的半个圆周，故磁场区域的边界线的方程为：
 ⑦
若磁场方向垂直于xy面向外，则磁场的边界线为如图3所示的半圆，磁场区域的边界线的方程为：
  ⑧
或 ⑨
证明同前。