专题平行四边形培优学案

平行四边形

【知识详解】

1.多边形

（1）多边形：在平面内，由不在同一条直线上的若干条相等（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。

（2）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

（3）多边形的外角：多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。

（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

     从n边形的一个顶点出发可以画条对角线，把n分成了个三角形；

        n边形共有条对角线．

（5）正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。

（6）多边形的内角和：n边形的内角和为：(n-2)·180º

（7）多边形的外角和：任意多边形的外角和360º

（8）镶嵌平面：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌。

注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°。

2.平行四边形及其性质

性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.

2.  (角) 两组对角分别相等.邻角互补

3.（线）对角线互相平分.

4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点.

推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论2：夹在两条平行线间的垂线段相等。

夹在两条平行线间的垂线段的长度叫做平行线之间的距离。由推论2可知两条平行线间的距离处处相等。

3.平行四边形的判断

从边看：  ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）

考点一:多边形的内角、外角

【典型例题1】

有一张长方形的桌面，它的四个内角和为360°,现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？有几种情况？

【相似题】

1.下列命题：①多边形的外角和小于内角和； ②三角形的内角和等于外角和； ③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和；④四边形的内角和等于它的外角和.

 其中正确的有  （   ）     

      A. 0个          B. 1个          C.2个            D.3个

2如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）

   A．140米        B．150米       C．160米         D．240米

3.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加    （   ）                    

   A．180°        B．90°          C．360°    D．540° 

4. 一个多边形除个内角外，其余各内角和为，则这个内角的度数为     （   ）    

     A．        B．　      C．　    　  D．

5. 在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是     （   ）                  

    A． 4           B． 6            C． 8          D． 10

6.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（        ）   

A．360°       B．540°     C．720°      D．900°

7.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

8.如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都是120°且AB=1，DE=2，BC=CD=8，求此六边形的周长

考点二：多边形的对角线

【典型例题2】

探究：画出下列多边形的对角线．回答问题：

（1）从四边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把四边形分成了    个三角形；四边形共有____条对角线．

（2）从五边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把五边形分成了    个三角形；五边形共有____条对角线．

（3）从六边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把六边形分成了    个三角形；六边形共有____条对角线．

（4）猜想：①从100边形的一个顶点出发可以画_____条对角线，把100边形分成了    个三角形；  

            100边形共有___条对角线．

          ②从n边形的一个顶点出发可以画           条对角线，把n边形分成了          个

            三角形；n边形共有            条对角线．

【相似题】

1. 九边形的对角线有（     ）

  A.  25条        B . 31条       C . 27条       D . 30条

2. 过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的   （    ）

  A. 4倍        B. 5倍        C. 6倍       D . 3倍　

3. 从凸边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸边形分成了个小三角形，若等于这个凸边形对角线条数的，那么此边形的内角和为                 （    ）    

  A、       B、        C、       D、

4. 使得正n边形的每个内角都是整数的度数的n有(     )个

   A. 16       B. 18        C. 20       D . 22　

5. 凸n边形的对角线的条数记作，例如：，那么：①=           ；

    ② =      ；       ③=      ；（，用含的代数式表示）

考点三：正多边形

【典型例题3】

（杭州)在平面上，七个边长均为1的等边三角形，分别用①至⑦表示(如图)．从④⑤⑥⑦组成的图形中，取出一个三角形，使剩下的图形经过一次平移，与①②③组成的图形拼成一个正六边形．

(1)你取出的是哪个三角形？写出平移的方向和平移的距离；

(2)将取出的三角形任意放置在拼成的正六边形所在平面上，问：正六边形没有被三角形盖住的面积能否等于?请说明理由．

【相似题】

1. 圆内接正六边形一边所对的圆周角是（    ）

   A. 30       B.60        C. 150      D .30或150

2．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（  ）

A．         B．       C．           D．

3．问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；
②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．
然后运用类比的思想提出了如下命题；
③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：
（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索：
①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

考点4：平行四边形的性质和判定

【典型例题4】

已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE．
（1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相等；
（2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相等吗？说明理由

【相似题】

1.如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S1、S2、S3，若AD=2，AB=2，∠A=60°，则S1+S2+S3的值为（　　）

A．     B．    C． D．4

2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（　　）

　 A．2 B．4 C．4 D．8

3.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）

      A．8     B．10      C．12      D．14

4.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若

 S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）

A．1：3      B．1：4       C．1：5     D．1：25

5.如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

6.如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，∠BAD＝45°,按下列步骤进行裁剪和拼图.

    第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；

第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；

第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM与△DCF在CD同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处（边PR与BC重合，△PRN与△BCG在BC同侧）。

则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为_______.

【典型例题5】

如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．

求证：（1）DE=BF；

      （2）四边形DEBF是平行四边形．

【相似题】

1.下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为(  )

A．55        B．42        C．41        D．29

……

图①    图②          图③              图④

2.如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

4.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；
（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．

【典型例题6】

定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长

【相似题】

1.我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.

（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；

（2）问题探究：如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD、BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC、BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°<∠α<∠BAC），得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

2.类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．

（2）在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图2），其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

（3）已知：在“等对角四边形“ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．

【巩固练习】

1.一个多边形，它的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数是  （    ）．

   A．3        B．4        C．5        D．6

2.一个多边形， 它的每个内角都等于相邻外角的5倍， 则这个多边形是(    )

   A．正五边形      B．正十边形      C．正十二边形       D．不存在．

3.n边形所有对角线的条数是(    )

A.      B.       C.        D.

4.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是(    )

 A.k          B.2k+1        C.2k+2         D.2k-2

5.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是25200，那么原多边形的顶点数为(    )

A.8        B.9          C.6          D.10

6.在多边形的内角中,锐角的个数不能多于(   )

   A.2个    B.3个    C.4个    D.5个

7.从一个多边形的一个顶点出发,一共做了10条对角线,则这个多边形的内角和为_____度.

8.一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是           ．

9.如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是                .

10. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形.取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2.照此规律作下去，则S2011=             .

11.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为      ．

12.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A（0，1）作y轴的垂线l于点B，过点B1作作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B．BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1．B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是　 　．

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是          

14．如图，已知正六边形的外接圆半径为4，求这个正六边形的中心角、边长、周长、面积．

15、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．

（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．

（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．

16.如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
（1）若AE=3cm，AF=4cm，AD=8cm，求：CD的长．
（2）若平行四边形的周长为36cm，AE=4cm，AF=5cm，求平行四边形ABCD的面积．

17.在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明；

（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

18. 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4 cm，∠A＝60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 .

① 求S关于t的函数关系式；

② 求S的最大值.