高中数学人教版新课标A选修1-13.2导数的计算课后练习题

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课时提升作业(二十三)

函数的极值与导数

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.下列说法正确的是　(　　)

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大

B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小

C.函数f(x)=|x|只有一个极小值

D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值

【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.

2.(2015·惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为　(　　)

A.4    B.3    C.-3   D.-4

【解析】选A.y′=3x2-6,令y′>0,得

x>或x<-,令y′<0,得-<x<.

所以函数y=x3-6x在(-∞,-),(,+∞)上递增,在(-,)上递减,

所以当x=-时,函数取得极大值4.

【补偿训练】函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是　(　　)

A.有极大值,没有极小值

B.有极小值,没有极大值

C.既无极大值也无极小值

D.既有极大值又有极小值

【解析】选D.f′ (x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.当x<-时,f′(x)<0;当-<x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0,从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.

3.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)　(　　)

A.无极大值点、有四个极小值点

B.有一个极大值点、两个极小值点

C.有两个极大值点、两个极小值点

D.有四个极大值点、无极小值点

【解题指南】可依据极大值、极小值的定义判定.

【解析】选C.设f′(x)与x轴的4个交点,从左至右依次为x1,x2,x3,x4,

当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,

当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,

则x=x1为极大值点,

同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.

【规律方法】给出图象研究函数性质问题的解题方法

(1)要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象.

(2)若给的是f(x)的图象,应先找出f(x)的单调区间及极值点,若给的是f′(x)的图象,应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正.

(3)结合题目特点分析求解,可依据极大值、极小值的定义判定.

4.设f(x)=x(ax2+bx+c),其中a≠0,并且在x=1或x=-1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是　(　　)

A.(a,b)   B.(a,c)   C.(b,c)   D.(a+b,c)

【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx2+cx,

所以f′(x)=3ax2+2bx+c.

又因为在x=1或x=-1处f(x)有极值,

所以x=1或x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.

所以-=0,b=0.所以点(a,b)一定在x轴上.

5.(2015·沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是　(　　)

A.(-∞,1)       B.(1,+∞)

C.(0,1)        D.

【解析】选C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令f′(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有0<b<1,当0<x<b时,f′(x)<0;当b<x<1时,f′(x)>0,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.(2015·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导数f′(x)的图象如图所示,则函数的极小值是________.

【解析】由图象可知,当x<0时,f′(x)<0,

当0<x<2时,f′(x)>0,

故x=0时函数f(x)取极小值f(0)=c.

答案:c

7.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,对此图象,有如下结论:

①在区间(-2,1)内f(x)是增函数;

②在区间(1,3)内f(x)是减函数;

③x=2时,f(x)取到极大值;

④在x=3时,f(x)取到极小值.

其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上).

【解题指南】给出了y=f′(x)的图象,应观察图象找出使f′(x)>0与f′(x)<0的x的取值范围,并区分f′(x)的符号由正到负和由负到正,再进行判断.

【解析】由f′(x)的图象可知在和(2,4)上f′(x)<0,f(x)单调递减,在和(4,+∞)上f′(x)>0,f(x)单调递增,所以只有③正确.

答案:③

8.(2015·陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为________.

【解析】依题意得y′=ex+xex,

令y′=0,可得x=-1,所以y=-.

因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-.

答案:y=-

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·银川高二检测)已知函数f(x)=x3-x2-2x+c,

(1)求函数f(x)的极值.

(2)求函数f(x)的单调区间.

【解析】f′(x)=3x2-x-2.

(1)令f′(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,

所以x=-或x=1.

当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如表,

从表中可以看出当x=-时,f(x)有极大值,极大值为+c;当x=1时,f(x)有极小值,极小值为c-.

(2)由(1)可知f(x)的递增区间为和(1,+∞),递减区间为.

10.已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值.

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

【解析】(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f′(0)=4,故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,

f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).

令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)>0;

当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为　(　　)

A.1,-3    B.1,3    C.-1,3    D.-1,-3

【解析】选A.f′(x)=3ax2+b,

由题意知f′(1)=0,f(1)=-2,

所以所以a=1,b=-3.

2.(2015·陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零常数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是　(　　)

A.-1是f(x)的零点

B.1是f(x)的极值点

C.3是f(x)的极值

D.点(2,8)在曲线y=f(x)上

【解析】选A.若选项A错误,则选项B,C,D正确.f′(x)=2ax+b,因为1是f(x)的极值点,3是f(x)的极值,所以,即,解得,因为点(2,8)在曲线y=f(x)上,所以4a+2b+c=8,即4a+2×(-2a)+a+3=8,解得:a=5,所以b=-10,c=8,所以f(x)=5x2-10x+8,因为f(-1)=5×1-10×(-1)+8=23≠0,所以-1不是f(x)的零点,所以选项A错误,选项B、C、D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2015·南昌高二检测)函数f(x)=(a∈R)的极大值为________.

【解析】f′(x)=,

令f′(x)=0,得x=,

当x<时,f′(x)>0;

当x>时,f′(x)<0,

所以函数的极大值为f()==.

答案:

4.若函数y=-x3+6x2+m的极大值为13,则实数m等于________.

【解题指南】先依据函数解析式求出其极大值,再结合已知条件得出关于m的方程,解方程即可.

【解析】y′=-3x2+12x=-3x(x-4),

由y′=0,得x=0或4.且当x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0.

所以当x=4时取到极大值.

故-64+96+m=13,

解得m=-19.

答案:-19

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.(2015·广州高二检测)若a≠0,试求函数f(x)=-ax3-x2+a2x2+2ax的单调区间与极值.

【解析】因为f(x)=-ax3-x2+a2x2+2ax,

所以f′(x)=-2ax2-2x+2a2x+2a

=-2(ax2+x-a2x-a)

=-2(x-a)(ax+1).

令f′(x)=0,可得x=-或x=a.

若a>0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在区间(-∞,-),(a,+∞)上单调递减,在区间上单调递增.函数f(x)在x=-处取得极小值f=-1-,在x=a处取得极大值f(a)=a2+a4.

若a<0,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在区间(-∞,a),上单调递增,在区间上单调递减.函数f(x)在x=a处取得极大值f(a)=a2+,在x=-处取得极小值f=-1-.

6.(2015·梅州高二检测)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.

(1)求b的值.

(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.

【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,

因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,

所以-=2,即b=6.

(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,

f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,

当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.

【补偿训练】设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.(1)求a,b的值.(2)若对于任意的x∈,都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.

【解析】(1)f′(x)=6x2+6ax+3b.

因为函数f(x)在x=1及x=2时取得极值,

则有f′(1)=0,f′(2)=0,

即

解得

(2)由(1)可知,f(x)=2x3-9x2+12x+8c,

所以f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),

当x∈(0,1)时,f′(x)>0;

当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,3)时,f′(x)>0.

所以当x=1时,f(x)取得极大值,f(1)=5+8c.

又f(0)=8c,f(3)=9+8c,

则当x∈时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c,

所以对于任意的x∈,有f(x)<c2恒成立,

所以9+8c<c2,解得c<-1或c>9,

因此,c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).

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