2014年江苏省高考数学试卷

这是一份2014年江苏省高考数学试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题，附加题【选修4-1等内容，欢迎下载使用。

2014年江苏省高考数学试卷
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　 　．
2．（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　 　．
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　 　．

4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　 　．
5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　 　．
6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　 　株树木的底部周长小于100cm．

7．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　 　．
8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　 　．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　 　．
10．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　 　．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　 　．
12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　 　．

13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　 　．
14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　 　．
　
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（14分）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

19．（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
20．（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
　
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．

　
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．
　
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为　 　．
　
【选修4-4：不等式选讲】
24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
　
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
26．（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（）+f2（）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．
　

2014年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=　{﹣1，3}　．
【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1，3}，
故答案为：{﹣1，3}
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
　
2．（5分）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为　21　．
【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．
【解答】解：z=（5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，
故z的实部为21，
故答案为：21
【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．
　
3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是　5　．

【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．
【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，
∵24=16＜20，25=32＞20，
∴输出n=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．
　
4．（5分）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是　　．
【分析】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．
【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，
所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，
故所求概率P=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，关键是一一列举出所有的基本事件．
　
5．（5分）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是　　．
【分析】由于函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，
∴=．
∵0≤φ＜π，∴，
∴+φ=，
解得φ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题．
　
6．（5分）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有　24　株树木的底部周长小于100cm．

【分析】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率，再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数．
【解答】解：由频率分布直方图知：底部周长小于100cm的频率为（0.015+0.025）×10=0.4，
∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24（株）．
故答案为：24．
【点评】本题考查了频率分布直方图，在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=．
　
7．（5分）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是　4　．
【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，a1＞0．
∵a8=a6+2a4，
∴，
化为q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．
∴a6===1×22=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
　
8．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是　　．
【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．
【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；
∵=，
∴，它们的侧面积相等，
∴，
∴===．
故答案为：．
【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．
　
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为　　．
【分析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径r=2．利用点到直线的距离公式，算出点C到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长．
【解答】解：圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心为C（2，﹣1），半径r=2，
∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==，
∴根据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为2=2=
故答案为：．
【点评】本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
　
10．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　（﹣，0）　．
【分析】由条件利用二次函数的性质可得 ，由此求得m的范围．
【解答】解：∵二次函数f（x）=x2+mx﹣1的图象开口向上，
对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，
即 ，解得﹣＜m＜0，
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
　
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　﹣3　．
【分析】由曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，解方程可得答案．
【解答】解：∵直线7x+2y+3=0的斜率k=，
曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，
∴y′=2ax﹣，
∴，
解得：，
故a+b=﹣3，
故答案为：﹣3
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=，是解答的关键．
　
12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是　22　．

【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．
【解答】解：∵=3，
∴=+，=﹣，
又∵AB=8，AD=5，
∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，
故•=22，
故答案为：22．
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．
　
13．（5分）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　（0，）　．
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象，利用数形结合判断a的范围即可．
【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a的图象如图：由图象可知．
故答案为：（0，）．

【点评】本题考查函数的图象以函数的零点的求法，数形结合的应用．
　
14．（5分）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是　　．
【分析】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．
　
二、解答题（本大题共6小题，共计90分）
15．（14分）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
【分析】（1）通过已知条件求出cosα，然后利用两角和的正弦函数求sin（+α）的值；
（2）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．
【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=
（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；
∴sin（+α）的值为：﹣．
（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣
∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．
cos（﹣2α）的值为：﹣．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．
　
16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

【分析】（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；
（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．
【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE2+EF2=DF2，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
【点评】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．
　
17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．
（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；
（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．

【分析】（1）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a，b的值．
（2）求出C的坐标，利用F1C⊥AB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值．
【解答】解：（1）∵C的坐标为（，），
∴，即，
∵，
∴a2=（）2=2，即b2=1，
则椭圆的方程为+y2=1．
（2）设F1（﹣c，0），F2（c，0），
∵B（0，b），
∴直线BF2：y=﹣x+b，代入椭圆方程+=1（a＞b＞0）得（）x2﹣=0，
解得x=0，或x=，
∵A（，﹣），且A，C关于x轴对称，
∴C（，），
则=﹣=，
∵F1C⊥AB，
∴×（）=﹣1，
由b2=a2﹣c2得，
即e=．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的综合问题，要求熟练掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大．
　
18．（16分）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

【分析】（1）在四边形AOCB中，过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，设出AF，然后通过解直角三角形列式求解BE，进一步得到CE，然后由勾股定理得答案；
（2）设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，设OM=xm，把PC、PQ用含有x的代数式表示，再结合古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范围，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．
【解答】解：（1）如图，

过B作BE⊥OC于E，过A作AF⊥BE于F，
∵∠ABC=90°，∠BEC=90°，
∴∠ABF=∠BCE，
∴．
设AF=4x（m），则BF=3x（m）．
∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，
∴OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），
∴BE=（3x+60）m．
∵，
∴CE=（m）．
∴（m）．
∴，
解得：x=20．
∴BE=120m，CE=90m，
则BC=150m；
（2）如图，

设BC与⊙M切于Q，延长QM、CO交于P，
∵∠POM=∠PQC=90°，
∴∠PMO=∠BCO．
设OM=xm，则OP=m，PM=m．
∴PC=m，PQ=m．
设⊙M半径为R，
∴R=MQ=m=m．
∵A、O到⊙M上任一点距离不少于80m，
则R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，
∴136﹣﹣（60﹣x）≥80，136﹣﹣x≥80．
解得：10≤x≤35．
∴当且仅当x=10时R取到最大值．
∴OM=10m时，保护区面积最大．
【点评】本题考查圆的切线，考查了直线与圆的位置关系，解答的关键在于对题意的理解，是中档题．
　
19．（16分）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是R上的偶函数；
（2）利用参数分离法，将不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m的取值范围；
（3）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论．
【解答】解：（1）∵f（x）=ex+e﹣x，
∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函数：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤在（0，+∞）上恒成立，
设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣，当且仅当t=2时等号成立，
∴m．
（3）令g（x）=ex+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），
则g′（x）=ex﹣e﹣x+3a（x2﹣1），
当x＞1，g′（x）＞0，即函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，
故此时g（x）的最小值g（1）=e+﹣2a，
由于存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，
故e+﹣2a＜0，
即a＞（e+），
令h（x）=x﹣（e﹣1）lnx﹣1，
则h′（x）=1﹣，
由h′（x）=1﹣=0，解得x=e﹣1，
当0＜x＜e﹣1时，h′（x）＜0，此时函数单调递减，
当x＞e﹣1时，h′（x）＞0，此时函数单调递增，
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e﹣1），
注意到h（1）=h（e）=0，
∴当x∈（1，e﹣1）⊆（0，e﹣1）时，h（e﹣1）≤h（x）＜h（1）=0，
当x∈（e﹣1，e）⊆（e﹣1，+∞）时，h（x）＜h（e）=0，
∴h（x）＜0，对任意的x∈（1，e）成立．
①a∈（（e+），e）⊆（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而ea﹣1＜ae﹣1，
②当a=e时，ae﹣1=ea﹣1，
③当a∈（e，+∞）⊆（e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1时，h（a）＞h（e）=0，即a﹣1＞（e﹣1）lna，从而ea﹣1＞ae﹣1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判定，函数单调性和最值的应用，利用导数是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．
　
20．（16分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的前n项和为Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；
（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{an}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．
【分析】（1）利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到an，再利用“H”数列的意义即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和即可得出Sn，对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，取n=2和根据d＜0即可得出；
（3）设{an}的公差为d，构造数列：bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，cn=（n﹣1）（a1+d），可证明{bn}和{cn}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．
【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
当n=1时，a1=S1=2．
当n=1时，S1=a1．
当n≥2时，Sn=an+1．
∴数列{an}是“H”数列．
（2）Sn==，
对∀n∈N*，∃m∈N*使Sn=am，即，
取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，
∵d＜0，∴m＜2，
又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．
（3）设{an}的公差为d，令bn=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，
对∀n∈N*，bn+1﹣bn=﹣a1，
cn=（n﹣1）（a1+d），
对∀n∈N*，cn+1﹣cn=a1+d，
则bn+cn=a1+（n﹣1）d=an，且数列{bn}和{cn}是等差数列．
数列{bn}的前n项和Tn=，
令Tn=（2﹣m）a1，则．
当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．
当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．
因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Tn=bm成立，即{bn}为H数列．
数列{cn}的前n项和Rn=，
令cm=（m﹣1）（a1+d）=Rn，则m=．
∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．
因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使Rn=cm成立，即{cn}为H数列．
因此命题得证．
【点评】本题考查了利用“当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，当n=1时，a1=S1”求an、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．
　
三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．

【分析】利用OC=OB，可得∠OCB=∠B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．
【解答】证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
【点评】本题考查同弧所对的圆周角相等，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
　
【选修4-2：矩阵与变换】
22．（10分）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．
【分析】利用矩阵的乘法，结合A=B，可得方程组，即可求x，y的值，从而求得x+y的值．
【解答】解：∵矩阵A=，B=，向量=，A=B，
∴，
∴x=﹣，y=4，
∴x+y=
【点评】本题考查矩阵的乘法，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
【选修4-3：极坐标及参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于AB两点，则线段AB的长为　　．
【分析】直线l的参数方程化为普通方程，与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求线段AB的长．
【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x+y=3，
与抛物线y2=4x联立，可得x2﹣10x+9=0，
∴交点A（1，2），B（9，﹣6），
∴|AB|==8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
　
【选修4-4：不等式选讲】
24．已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
【分析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．
【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥
分别当且仅当x=y2=1，x2=y=1时等号成立，
∴两式相乘可得（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．
【点评】本题考查不等式的证明，正确运用均值不等式是关键．
　
(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）
25．（10分）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；
（2）先判断X的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可．
【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况
∴取出的2个球颜色相同的概率P=．
（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=
于是P（X=2）=1﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，
X的概率分布列为
X
2
3
4
P



故X数学期望E（X）=．
【点评】本题考查了排列组合，概率公式以概率的分布列和数学期望，知识点比较多，属基础题．
　
26．（10分）已知函数f0（x）=（x＞0），设fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（）+f2（）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．
【分析】（1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：xf0（x）=sinx，然后两边求导后根据条件两边再求导得：2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把x=代入式子求值；
（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx和2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x=代入所给的式子求解验证．
【解答】解：（1）∵f0（x）=，∴xf0（x）=sinx，
则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′，
∵fn（x）为fn﹣1（x）的导数，n∈N*，
∴f0（x）+xf1（x）=cosx，
两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，
将x=代入上式得，2f1（）+f2（）=﹣1，
（2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+），
恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），
再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=﹣cosx=sin（x+），
同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π），
猜想得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，
下面用数学归纳法进行证明等式成立：
①当n=1时，成立，则上式成立；
②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即，
∵[kfk﹣1（x）+xfk（x）]′=kfk﹣1′（x）+fk（x）+xfk′（x）
=（k+1）fk（x）+xfk+1（x）
又
===，
∴那么n=k+1（k＞1且k∈N*）时．等式也成立，
由①②得，nfn﹣1（x）+xfn（x）=sin（x+）对任意n∈N*恒成立，
令x=代入上式得，nfn﹣1（）+fn（）=sin（+）=±cos=±，
所以，对任意n∈N*，等式|nfn﹣1（）+fn（）|=都成立．
【点评】本题考查了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式，以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大，考查了学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，以及逻辑思维能力．