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2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
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这是一份2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 ．
15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【解答】解：∵z==，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．
4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．
【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，
则||=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）2=．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1===．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2•…•a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF===．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 70 ．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，
令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 5 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．
【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
三、解答题
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）通过Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；
（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=（﹣），并项相加即可．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4得：
a4≥0，a5≤0，
又∵a1=13，
∴，解得﹣≤d≤﹣，
∵a2为整数，∴d=﹣4，
∴{an}的通项为：an=17﹣4n；
（2）∵an=17﹣4n，
∴bn===﹣（﹣），
于是Tn=b1+b2+……+bn
=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
=﹣（﹣）
=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，
∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A1FD==，
∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可．
【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），
可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．
又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，
∴+DE2=MN2，
∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，
下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），
ak+1=ln（ak+1）＜ln（），
即当n=k+1时，成立，
综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 ．（用数字作答）
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 ．
15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是 ．
三、解答题
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）．
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
1．（5分）设z=，则z的共轭复数为（ ）
A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i
【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则z的共轭可求．
【解答】解：∵z==，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N=（ ）
A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0]
【分析】求解一元二次不等式化简集合M，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．
∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，
又N={x|0≤x≤5}，
∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．
3．（5分）设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（ ）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，综合可得．
【解答】解：由诱导公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，
由正弦函数的单调性可知b＞a，
而c=tan35°=＞sin35°=b，
∴c＞b＞a
故选：C．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．
4．（5分）若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．
【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，
则||=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．
5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选：C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）
A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1
【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．
【解答】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）
A．2e B．e C．2 D．1
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．
【解答】解：函数的导数为f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，
当x=1时，f′（1）=2，
即曲线y=xex﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础．
8．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B．16π C．9π D．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2=（4﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴球的表面积为4π•（）2=．
故选：A．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．
9．（5分）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．
【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，
∴e=，即c=2a，
点A在双曲线上，
则|F1A|﹣|F2A|=2a，
又|F1A|=2|F2A|，
∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，
则由余弦定理得cos∠AF2F1===．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
10．（5分）等比数列{an}中，a4=2，a5=5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．
【解答】解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2•…•a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
【点评】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题．
11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．
【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF===．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题．
12．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（ ）
A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x）
【分析】设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得．
【解答】解：设P（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，
则P关于y=x的对称点P′（y，x）一点在y=f（x）的图象上，
又∵函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，
∴P′（y，x）关于直线x+y=0的对称点P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）图象上，
∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）
∴y=f（x）的反函数为：y=﹣g（﹣x）
故选：D．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．（5分）的展开式中x2y2的系数为 70 ．（用数字作答）
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2y2的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=•（﹣1）r••=•（﹣1）r••，
令 8﹣=﹣4=2，求得 r=4，
故展开式中x2y2的系数为 =70，
故答案为：70．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为 5 ．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时zmax=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15．（5分）直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于 ．
【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ= 的值，可得cosθ、tanθ 的值，再根据tan2θ=，计算求得结果．
【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，
且点A与圆心O之间的距离为OA==，
圆的半径为r=，
∴sinθ==，
∴cosθ=，tanθ==，
∴tan2θ===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是 （﹣∞，2] ．
【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t=sinx换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．
【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx
=﹣2sin2x+asinx+1，
令t=sinx，
则原函数化为y=﹣2t2+at+1．
∵x∈（，）时f（x）为减函数，
则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，
∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．
∴，解得：a≤2．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]．
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，是中档题．
三、解答题
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．
【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．
【解答】解：∵3acosC=2ccosA，
由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，
∴3tanA=2tanC，
∵tanA=，
∴2tanC=3×=1，解得tanC=．
∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
18．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=13，a2为整数，且Sn≤S4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）通过Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2为整数可得d=﹣4，进而可得结论；
（2）通过an=13﹣3n，分离分母可得bn=（﹣），并项相加即可．
【解答】解：（1）在等差数列{an}中，由Sn≤S4得：
a4≥0，a5≤0，
又∵a1=13，
∴，解得﹣≤d≤﹣，
∵a2为整数，∴d=﹣4，
∴{an}的通项为：an=17﹣4n；
（2）∵an=17﹣4n，
∴bn===﹣（﹣），
于是Tn=b1+b2+……+bn
=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]
=﹣（﹣）
=．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．
（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；
（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．
【分析】（Ⅰ）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；
（Ⅱ）作辅助线可证∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函数可得．
【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D⊂平面AA1C1C，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC
∴BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，
由侧面AA1C1C为菱形可得AC1⊥A1C，
又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，
∴AC1⊥平面A1BC，AB1⊂平面A1BC，
∴AC1⊥A1B；
（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1，
∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，
作A1E⊥CC1，E为垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，
又直线AA1∥平面BCC1B1，
∴A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，即A1E=，
∵A1C为∠ACC1的平分线，∴A1D=A1E=，
作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F，
又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，
∴AB⊥平面A1DF，∵A1F⊂平面A1DF
∴A1F⊥AB，
∴∠A1FD为二面角A1﹣AB﹣C的平面角，
由AD==1可知D为AC中点，
∴DF==，
∴tan∠A1FD==，
∴二面角A1﹣AB﹣C的大小为arctan
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题．
20．（12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（Ⅱ）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．
【分析】记Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B表示事件：甲需要设备，C表示事件，丁需要设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（Ⅰ）把4个人都需使用设备的概率、4个人中有3个人使用设备的概率相加，即得所求．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出PXi，再利用数学期望公式计算即可．
【解答】解：由题意可得“同一工作日至少3人需使用设备”的概率为
0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．
（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4
P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06
P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25
P（X=4）=P（A2•B•C）=0.52×0.6×0.4=0.06，
P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，
P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．
故数学期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题．
21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
【分析】（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．
（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），
可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．
又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，
∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．
故C的方程为 y2=4x．
（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），
设l的方程为 x=my+1（m≠0），
代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．
∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．
又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．
过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，
把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．
故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，
∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，
∴+DE2=MN2，
∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，
∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．
22．（12分）函数f（x）=ln（x+1）﹣（a＞1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a1=1，an+1=ln（an+1），证明：＜an≤（n∈N*）．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用数学归纳法即可证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=，
①当1＜a＜2时，若x∈（﹣1，a2﹣2a），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，a2﹣2a）上是增函数，
若x∈（a2﹣2a，0），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，0）上是减函数，
若x∈（0，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②当a=2时，f′（x）≥0，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
③当a＞2时，若x∈（﹣1，0），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，
若x∈（0，a2﹣2a），则f′（x）＜0，此时函数f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，
若x∈（a2﹣2a，+∞），则f′（x）＞0，此时函数f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=2时，此时函数f（x）在（﹣1，+∞）上是增函数，
当x∈（0，+∞）时，f（x）＞f（0）=0，
即ln（x+1）＞，（x＞0），
又由（Ⅰ）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，
当x∈（0，3）时，f（x）＜f（0）=0，ln（x+1）＜，
下面用数学归纳法进行证明＜an≤成立，
①当n=1时，由已知
，故结论成立．
②假设当n=k时结论成立，即，
则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）＞ln（），
ak+1=ln（ak+1）＜ln（），
即当n=k+1时，成立，
综上由①②可知，对任何n∈N•结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．
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