高中数学必修一期末复习试卷 精讲01 集合与常用逻辑（解析版）

这是一份高中数学必修一期末复习试卷 精讲01 集合与常用逻辑（解析版），共16页。

集合是刻画一类事物的语言和工具，使用集合语言可以简洁、准确地表述数学的研究对象，提升数学抽象素养.常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言，使用常用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的严谨性与准确性，提升逻辑推理素养.
《课程标准（2017年版）》将集合与常用逻辑用语作为高中数学课程的预备知识，要求学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的数学内容，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡，为高中数学学习做好知识与技能、方法与习惯、能力与态度方面的准备.
【重要知识点与题型快速预览】
【知识点精解精析】
基础知识点一：集合元素的互异性
在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参数集合问题时应格外注意．
基础知识点二：集合与集合之间的关系
集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等．判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据．空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集．解题时，已知条件中出现A⊆B时，不要遗漏A＝∅.
基础知识点三：集合与集合之间的运算
并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
基础知识点四：充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类：
①充要条件：p⇒q且q⇒p，记作p⇔q；
②充分不必要条件：p⇒q，q p；
③必要不充分条件：q⇒p，p q；
④既不充分也不必要条件：p q且q p．
基础知识点五：全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题．
全称量词用符号“∀”表示．
全称命题用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题．
存在量词用符号“∃”表示．
特称命题用符号简记为∃x∈M，p(x)．
基础知识点六：含有一个量词的命题的否定
【必知必会题型深度讲解】
必知必会题型一：集合间关系的判断方法
判断集合间关系的方法有三种：
（1）观察法：把集合中的元素一一列举出来，通过直观观察进行判断.
（2）集合元素特征法：首先确定集合中的元素是什么，弄清元素的特征，再利用元素的特征判断关系.
（3）数形结合法：利用数轴或Venn图.
【典型例题1】已知集合，，判断这两个集合之间的关系.
【答案】
【解析】
因为，，所以.
因为，，所以.
故，，
所以.
【典型例题2】已知集合，集合，试判断与之间的关系，并说明理由．
【答案】A是B的真子集.，理由见解析
【解析】
因为，
则的几何意义是轴上的点到定点与点的距离之差．即．
∵三角形两边之差的绝对值小于第三边，
∴且，，三点不共线，即．
∴．即；
又，
∴A是B的真子集.
【典型例题3】设集合.
（1）若，判断集合与的关系；
（2）若，求实数组成的集合.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
集合.
（1）若则，于是
（2）若，则，分如下两种情形讨论
①当时，，符合题意；
②当时，由，得或.
故实数组成的集合.
必知必会题型二：根据两集合的关系求参数的范围（值）
（1）要明确集合中的元素，若出现包含关系，一般需对子集是不是空集进行分类讨论，做到不漏解.
（2）若集合中的元素是一一列举出来的，常依据集合间的关系转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式（组）的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.
【典型例题1】已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，
∴；
（2）∵，∴，则有:
，解之得：.
∴实数的取值范围是
【典型例题2】全集，，且，且.
（1）求集合B，；
（2）若集合，则集合A、B、D的关系是什么？
【答案】（1）；；（2），，.
【解析】
解：（1），，且，且.
所以，
所以；
（2），，；
；
所以，，．
【典型例题3】已知集合， ．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
①函数的定义域为集合；②不等式的解集为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析.
【解析】
解：选条件①：
可知函数的定义域为集合，
则，
（1）根据题意，当时，，，
则，
又或，则.
（2）根据题意，，，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则有，解得：，
综上可得，的取值范围是．
选条件②：
可知不等式的解集为，则或，
（1）根据题意，当时，，或，
则或，
又或，则或.
（2）根据题意，，或，
若，则，分种情况讨论：
①当时，有，解得：；
②当时，若有，则或，
解得：或，
综上可得，的取值范围是．
必知必会题型三：数轴与Venn图的应用
进行集合的交、并、补综合运算时，通常需要借助Venn图或数轴，数形结合来分析得出结果.
一般来说，用列举法表示的数集，借助Venn图运算；用描述法表示的数集（以不等式（组）的解集为代表），借助数轴分析得出结果.另外，研究比较抽象的集合之间的关系时，也通常需要画出Venn图，将抽象问题直观化，即用重叠区域表达集合间的交集运算，用合并区域表达集合间的并集运算.
【典型例题1】已知集合，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为集合 或，.
所以；
（2）因为，且，如图所示：
所以，
故实数的取值范围.
【典型例题2】已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，
（1）A∪B=R，求实数a的取值范围
（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）a<－4或a>2.
【解析】
（1）由题意可得，解得且，
所以实数a的取值范围为
(2) ①当B＝时，只需2a>a＋3，即a>3；
②当B≠ 时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或
解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
【典型例题3】向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人.
【解析】
赞成A的人数为，赞成B的人数为，
记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N，
设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示，
依题意可得，解得，
所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人.
必知必会题型四：信息给予题的探究方法
有些试题是通过定义一个新概念或约定一种新运算或给定一个新模型来创设新的问题情境，它要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题.
【典型例题1】对于集合A，B，我们把记为，若，，求，；
【答案】，；
【解析】
【分析】
根据所给定义计算可得.
【详解】
解：，
，；
【典型例题2】由正数组成的集合具有如下性质:若且那么
（1）试问集合能否恰有两个元素且若能,求出所有满足条件的集合:若不能,请说明理由.
（2）试问集合能否恰有三个元素?若能,请写出一个这样的集合;若不能,请说明理由.
【答案】(1) 或;
(2)不能，见解析.
【解析】
(1)由题意，所以，所以 ，
因为集合恰有两个元素且，
所以或，
所以或，
所以或；
(2)由题意，三个元素为，
若，则 ，
令，可得 ，可得 ，
两方程相减可得 与已知矛盾，
故集合不能恰有三个元素.
【典型例题3】记有理数集的非空子集具有以下性质：①；②若，，则；③存在非零有理数，且每一个不在中的非零有理数都可写成的形式，其中.
（1）若，，求证：；
（2）若是非零有理数，且，求证：；
（3）求证：，则存在、，使.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
证明：（1）若，令，则，
令，，则，
若，令，，则；
（2），则存在且使得，其中，
于是，
假设，则可设，，
则，矛盾，
所以，
由，，
可得．
（3）假设，则由，，为平方数可知，
，，
但，
故．
必知必会题型五：充分、必要条件的判定方法
（1）定义法
①认清与．
②找推式：判断是否有“”“”．
③根据推式得出结论．
（2）集合法
写出集合及，利用集合间的包含关系进行判断．
（3）利用传递性判断
对于较复杂的（如链式）关系，常利用，，，等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．
【典型例题1】“整数，满足”是“整数，满足”的什么条件，请说明理由.
【答案】充分非必要条件，理由见解析
【解析】
∵且，∴时，或或，显然；当时，或，显然；当时，，显然.所以“整数，满足”是“整数，满足”的充分条件.而当时，取，，显然.所以“整数，满足”不是“整数，满足”的必要条件，因此“整数，满足”是“整数，满足”的充分不必要条件.
【典型例题2】下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
【答案】（1）p是q的必要条件，但不是充分条件；（2）p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件；（3）p是q的必要条件，但不是充分条件.
【解析】
主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y⇒|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
【典型例题3】指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
（1）p：x2>0，q：x>0；
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；
（3）p：a能被6整除，q：a能被3整除；
（4）p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
【答案】（1）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（2）p是q的必要条件，q是p的充分条件；（3）p是q的充分条件，q是p的必要条件；（4）p是q的必要条件，q是p的充分条件．
【解析】
解：（1）p：x2>0则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（2）p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
（3）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
（4）p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
必知必会题型六：利用充分、必要条件求参数的取值范围
利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解．
【典型例题1】已知，，，且“”是“”的充分不必要条件.
（1）求；
（2）求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1），，；
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，，
设，由题意可知，不等式在区间上恒成立，
则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【典型例题2】已知，，.
（1）判断是p是q什么条件；
（2）如果q是r的充要条件，求a的值.
【答案】（1）p是q的充分不必要条件；（2）
【解析】
（1）因为，整理得，
解方程，得两根，
所以的解集为.
因为，
所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为q是r的充要条件，
所以不等式的解集是.
因此，是方程的两根，
由方程根与系数的关系（即韦达定理）得：
，解得.
【典型例题3】已知集合，非空集合.
（1）若，则是的什么条件；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）必要不充分条件；（2）.
【解析】
（1）当时,集合，则.
∴是的必要不充分条件；
（2）因为是的必要条件，所以，
又，所以，解得，
所以的取值范围是.
必知必会题型七：与全称或特称命题有关的参数取值范围问题
（1）全称命题求参数范围的问题常以一次函数、二次函数、对数函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围．
（2）特称命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立．
【典型例题1】已知命题“”为假命题；命题“q：”为真命题，求实数的取值范围．
【答案】．
【解析】
若为真命题时，有解，
因为函数的值域为，
∴，即；
故当为假命题时，；
q：为真命题，
∵函数为开口向上的二次函数，
故只需当，即；
∵假真，∴．
【典型例题2】已知集合，
（1）若命题是真命题，求m的取值范围；
（2）命题是真命题，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）因为命题是真命题，所以，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，m的取值范围为.
（2）因为是真命题，所以，
所以，即，所以，
所以只需满足即可，即.
故m的取值范围为.
【典型例题3】已知函数，．
（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）;（2）
【解析】
（1）由题设知：，
∵在上递减，在上递增，∴
又∵在上递减，∴
∴有，的范围为
（2）由题设知，
∴有，即，∴的范围为
命题
命题的否定
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，¬p(x)
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，¬p(x)