北师大版高考数学一轮复习第七章 §7.4　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试卷

这是一份北师大版高考数学一轮复习第七章 §7.4　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试卷，共16页。试卷主要包含了线性规划中的基本概念等内容，欢迎下载使用。


1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的基本概念
微思考
1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？
提示 不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．
2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？
提示 不一定．最优解是可行解中的一个或多个．
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ )
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( √ )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )
题组二 教材改编
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面区域是( )
答案 B
解析 x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0的左上方部分，故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分．
3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(200x＋300y≤1 400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0))
解析 用表格列出各数据．
所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.
4．已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是( )
A．3，－3 B．2，－4
C．4，－2 D．4，－4
答案 C
解析 不等式组所表示的平面区域如图所示．
其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，
画直线l0：y＝－2x，平移l0过点B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.
题组三 易错自纠
5．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
答案 C
解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
6．(2018·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y－2≤0，,x－y＋1≥0，,y≤0，))则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案 6
解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由z＝3x＋2y，得y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2).
作直线l0：y＝－eq \f(3,2)x，平移直线l0，当直线y＝－eq \f(3,2)x＋eq \f(z,2)过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
题型一 二元一次不等式(组)表示
的平面区域
例1 (1)(2020·汉中质检)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y≥0))所表示的平面区域的面积为________．
答案 eq \f(1,4)
解析 不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y≥0))所表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，
通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x－y－1＝0，))解得A点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，点B坐标为(1,0)，点C坐标为(2,0)，因此S△ABC＝eq \f(1,2)×(2－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，所以不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y≥0))所表示的平面区域的面积等于eq \f(1,4).
(2)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥eq \f(4,3) B．0答案 D
解析 作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．且作l1：x＋y＝0，l2：x＋y＝1，l3：x＋y＝eq \f(4,3).
由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．
即a的取值范围是0思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型
(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
跟踪训练1 在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)x－y≤0，,x－\r(3)y＋2≥0，,y≥0))表示的平面区域的面积是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2 D．2eq \r(3)
答案 B
解析 不等式组表示的平面区域是以点O(0,0)，B(－2，0)和A(1，eq \r(3))为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，
由图知该平面区域的面积为eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3).
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
例2 (2020·全国Ⅰ)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2≤0，,x－y－1≥0，,y＋1≥0，))则z＝x＋7y的最大值为________．
答案 1
解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由z＝x＋7y，得y＝－eq \f(1,7)x＋eq \f(1,7)z.
平移直线l0：y＝－eq \f(1,7)x，
可知当直线y＝－eq \f(1,7)x＋eq \f(1,7)z过点A时z最大．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2＝0，,x－y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝0，))即A(1,0)，
∴zmax＝1＋7×0＝1.
命题点2 求非线性目标函数的最值
例3 (1)(2020·衡水中学调研)设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋6≥0，,x≤3，,x＋y－3≥0，))则z＝eq \f(x＋y＋1,x＋1)的取值范围是( )
A．(－∞，－8]∪[1，＋∞)
B．(－∞，－10]∪[－1，＋∞)
C．[－8,1]
D．[－10，－1]
答案 A
解析 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)．
由题意知点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(9,2)))，B(3,0)，C(3,9)．
而目标函数z＝eq \f(x＋y＋1,x＋1)＝1＋eq \f(y,x＋1)的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率与1的和，由图可知，eq \f(y,x＋1)≥0或eq \f(y,x＋1)≤－9，所以z≥1或z≤－8，即z＝eq \f(x＋y＋1,x＋1)的取值范围为(－∞，－8]∪[1，＋∞)．故选A.
(2)(2020·青岛模拟)已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥4，,x－y≥0，,x≤4，))则eq \r(x＋12＋y2)的最小值为________．
答案 eq \r(13)
解析 画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．
则eq \r(x＋12＋y2)表示可行域内的点(x，y)到定点P(－1,0)的距离．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))设M(2,2)．
由图可知，(eq \r(x＋12＋y2))min＝|MP|＝eq \r(2＋12＋22)＝eq \r(13).
命题点3 求参数值或取值范围
例4 (2020·惠州调研)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＋5≥0，,x＋y－1≤0，,x＋a≥0，))若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a等于( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝x＋2y经过点C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a－5,3)))时，z取得最小值－4，所以－a＋2·eq \f(a－5,3)＝－4，解得a＝2.
思维升华 常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a).
跟踪训练2 (1)(2020·哈尔滨模拟)已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤0，))则z＝－2x＋y的最大值为( )
A．9 B．0 C．6 D．5
答案 A
解析 由约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤0))作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋6＝0，,x＋y＝0，))解得A(－3,3)，
化目标函数z＝－2x＋y，得y＝2x＋z，
由图可知，当直线y＝2x＋z过点A(－3,3)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为9.
(2)(2020·南昌模拟)已知变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋4≤0，,x≥2，,x＋y－6≥0，))
则k＝eq \f(y＋1,x－3)的取值范围是( )
A．k>eq \f(1,2)或k≤－5 B．－5≤kC．k≥eq \f(1,2)或k<－5 D．－5答案 A
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
目标函数k＝eq \f(y＋1,x－3)＝eq \f(y－－1,x－3)，
即可行域内的点与点B(3，－1)连线的斜率，
直线x－2y＋4＝0的斜率为eq \f(1,2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,x＋y－6＝0))可得点A(2,4)，则kAB＝eq \f(4＋1,2－3)＝－5，
数形结合可得，k>eq \f(1,2)或k≤－5.
(3)(2020·运城模拟)已知x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≤4，,2x－3y≤0，,x≥1，))且不等式x＋y－a≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，3) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3)))
C．(－∞，3] D．(－∞，1]
答案 B
解析 作出约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≤4，,2x－3y≤0，,x≥1))所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
设目标函数z＝x＋y，化为直线y＝－x＋z，
当直线y＝－x＋z过点A时，此时在y轴上的截距最小，此时目标函数z取得最小值，
又由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3y＝0，,x＝1，))解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2,3)))，
可得z＝x＋y的最小值为zmin＝1＋eq \f(2,3)＝eq \f(5,3)，
又由不等式x＋y－a≥0恒成立，即不等式a≤x＋y恒成立，
所以a≤eq \f(5,3)，
即实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,3))).
课时精练
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为( )
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 B
解析 根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，
即(a＋7)(a－24)<0，解得－72．在平面直角坐标系中，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≤2，,x≤y))所表示的平面区域的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域是以点(0,0)，(0,2)和(1,1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为eq \f(1,2)×2×1＝1.
3．(2020·天津市芦台一中模拟)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－2≤0，,3x－y－3≤0，,x≥0，))则z＝x－y的最小值为( )
A．－3 B．1 C．－2 D．2
答案 C
解析 先作可行域如图阴影部分(含边界)所示，
则直线z＝x－y过点A(0,2)时取最小值－2.
4．(2019·天津)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))则目标函数z＝－4x＋y的最大值为( )
A．2 B．3 C．5 D．6
答案 C
解析 由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．
∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，
∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1,1)时，z取得最大值，
zmax＝－4×(－1)＋1＝5.
5．(2019·北京)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为( )
A．－7 B．1 C．5 D．7
答案 C
解析 由|x|≤1－y，且y≥－1，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≤0，,y≥－1.))
作出可行域如图阴影部分所示．
设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.
作直线l0：y＝－3x，并进行平移．
显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.
6．(2021·长沙模拟)若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y≥0，,x≤1，))则z＝2x－y的取值范围是( )
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
答案 A
解析 作出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y≥0，,x≤1))表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
即B(1，－1)，
化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
由图可知，当直线y＝2x－z过原点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2×0－0＝0；
当直线y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2×1－(－1)＝3，
∴z＝2x－y的取值范围是[0,3]．
7．(2020·河南六校联考)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≤0，,x－2y＋4≥0，,－x－y＋2≤0))表示的平面区域的面积为________．
答案 3
解析 依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示．
平面区域为△ABC及其内部，其中A(2,0)，B(0,2)，C(2,3)，
所以所求面积为
eq \f(1,2)×2×|AC|＝3.
8．(2020·成都模拟)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤2x，,x＋y≥1，,x≤1，))则eq \f(y－1,x＋1)的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))
解析 变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤2x，,x＋y≥1，,x≤1))的可行域如图阴影部分(含边界)所示，
根据题意，eq \f(y－1,x＋1)可以看作是可行域中的点与点P(－1,1)连线的斜率，
由图分析易得，当x＝1，y＝0时，其斜率最小，
即eq \f(y－1,x＋1)取最小值－eq \f(1,2)，
当x＝1，y＝2时，其斜率最大，即eq \f(y－1,x＋1)取最大值eq \f(1,2).
故eq \f(y－1,x＋1)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2))).
9．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥0，,x－y＋1≥0，,2x＋y－4≤0，))则z＝lg2(x＋y－1)的最大值为________．
答案 1
解析 作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
设t＝x＋y，由图可知，t在点A处取到最大值，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1＝0，,2x＋y－4＝0，))解得A(1,2)，所以t＝x＋y的最大值为3，
由于y＝lg2x在(0，＋∞)上为增函数，
故z＝lg2(x＋y－1)的最大值为1.
10．(2020·威宁模拟)2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中学校需要安排男教师x名，女教师y名做义工，x和y需满足条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥5，,x－y≤2，,x≤6，))则该校安排教师最多为________人．
答案 13
解析 由于x和y需满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≥5，,x－y≤2，,x≤6，))画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．
由于要求该校安排的教师人数最多，设目标函数为z＝x＋y，得y＝－x＋z，
则题意转化为，在可行域内任意取x，y且为整数，使得目标函数的斜率为定值－1，截距最大时的直线为过eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6，,2x－y－5＝0))的交点A(6,7)，此时z取最大值，即zmax＝6＋7＝13.
11．变量x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))
(1)设z＝eq \f(y,x)，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值．
解 由约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(22,5))).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．
(1)因为z＝eq \f(y,x)＝eq \f(y－0,x－0)，
所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmin＝kOB＝eq \f(2,5).
(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点B到(－3,2)的距离最大，dmax＝eq \r(－3－52＋2－22)＝8，故z的最大值为64.
12．若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2.))
(1)求目标函数z＝eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解 (1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，
可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线eq \f(1,2)x－y＋eq \f(1,2)＝0，当直线过A(3,4)时，z取最小值－2，过C(1,0)时，z取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－eq \f(a,2)<2，
解得－4故a的取值范围是(－4,2)．
13．已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x≥a，,x≤y，))且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，则a等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,6) C.eq \f(6,5) D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图阴影部分(含边界)所示：
作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，
当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，
此时z＝2x－y取得最大值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x＝y，))可得D(1,1)，
所以z＝2x－y的最大值是1；
当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，
此时z＝2x－y取得最小值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x＝a，))可得B(a,2－a)，
所以z＝2x－y的最小值是3a－2，
因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
所以6a－4＝1，解得a＝eq \f(5,6)，故选B.
14．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________．
答案 2 800元
解析 设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x，y的约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，,x＋2y≤12，,2x＋y≤12.))
设获利z元，则z＝300x＋400y.
画出可行域如图．
画直线l：300x＋400y＝0，
即3x＋4y＝0.
平移直线l，从图中可知，
当直线过点M时，
目标函数取得最大值．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝4，))
即M的坐标为(4,4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元)．
15．(2020·南通模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________．
答案 eq \f(9,5)
解析 由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≥0，,x－2y＋3≥0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－2y＋3≤0，))
不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．
x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，
因为原点到x＋y－2＝0的距离为d＝eq \f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq \r(2)，
原点到x－2y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|0－2×0＋3|,\r(5))＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)所以，x2＋y2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)))2＝eq \f(9,5).
16．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k，))且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为________．
答案 5
解析 如图，作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,0≤y≤k))对应的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，,x－y＝0))得A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.
(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与点D(－5，0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于点D(－5,0)到直线x＋2y＝0的距离的平方．
则(x＋5)2＋y2的最小值为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－5|,\r(12＋22))))2＝5.不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
A
B
总数
产品吨数
x
y
资金
200x
300y
1 400
场地
200x
100y
900