北师大版高考数学一轮复习第五章 强化训练4　平面向量中的综合问题

强化训练4　平面向量中的综合问题

1．(2020·甘肃诊断)已知平面向量a，b满足a＝(1，－2)，b＝(－3，t)，且a⊥(a＋b)，则|b|等于(　　)

A．3  B.  C．2  D．5

答案　B

解析　a＋b＝(1，－2)＋(－3，t)＝(－2，t－2)，由于a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即1×

(－2)＋(－2)×(t－2)＝0，解得t＝1，所以b＝(－3,1)，|b|＝.

2．(2020·常德模拟)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC的中点，则等于(　　)

A.＋   B.＋

C.＋   D.＋

答案　C

解析　设F为AB的中点，连接DF，如图，

∵AB∥CD，AB＝2CD，

∴BF∥CD，且BF＝CD，

∴四边形BFDC为平行四边形，

∴＝，

∴＝＋＝＋＝＋

＝＋(＋)

＝＋

＝＋.

3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的射影为(　　)

A．－  B．－1  C.  D．1

答案　B

解析　因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2，所以b在a方向上的投影为＝＝－1.

4．(2020·河北“五个一”名校联考)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　将|a＋b|＝|a－b|＝2|a|平方得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2＝4a2，解得cos〈a＋b，a－b〉＝＝－，所以向量a＋b与a－b的夹角是.

5.如图所示，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．－1  B．－  C．－2  D．－

答案　B

解析　因为点D在线段BC上，

所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)，

因为M是线段AD的中点，

所以＝(＋)＝(－＋t－t)

＝－(t＋1)＋t，

又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，

所以λ＋μ＝－.

6．(2020·阳泉模拟)在△ABC中，tan A＝，AB＝2，AC＝4，D是线段BC上一点，且DB＝4DC，则·等于(　　)

A．－8   B．8 

C．－   D.

答案　D

解析　因为tan A＝，

由同角三角函数关系解得cos A＝，

在△ABC中，由题意可知

＝＋，＝－，

故·＝·(－)

＝－||2＋||2－·

＝－＋－

＝.

7．(2020·泰安模拟)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1)．若∥，则实数m的值为________．

答案　－3

解析　因为∥，＝－＝(3,1)，

所以3×(m＋1)＝2m，所以m＝－3.

8．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若a与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是________．

答案　λ<－且λ≠－3

解析　由题意得，a·b<0且a与b不共线，

即3(2＋λ)＋λ<0且(2＋λ)λ≠3，

解得λ<－且λ≠－3.

9．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________．

答案　3

解析　如图所示，建立直角坐标系．

由已知||＝1，||＝，

则＝(1,0)，＝(0，)，

∴＝m＋n＝(m，n)，

∴tan 30°＝＝，

∴＝3.

10．已知△ABC的重心为G，＝λ，＝μ，其中λ>0，μ≤1，且D，G，E共线，则＋＝________.

答案　3

解析　∵△ABC的重心为G，

∴AG＝(＋)，

∵D，G，E共线，则存在实数m，使得＝m＋(1－m)，

∴＋＝m＋(1－m)

＝λm＋μ(1－m)，

∴解得m＝＝1－，

∴＋＝3.

11．已知向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)．

(1)若|b|＝2，求b的坐标；

(2)若(a＋b)⊥(a－b)，求|a－2b|的值．

解　(1)设b＝(x，y)，

因为向量a，b的夹角为60°，且a＝(1,0)，|b|＝2.

所以cos 〈a，b〉＝cos 60°＝＝＝，解得x＝1，

所以|b|＝2＝＝，解得y＝±，

所以b＝(1，±)．

(2)因为(a＋b)⊥(a－b)，

所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，

由于a＝(1,0)，

所以|a|＝|b|＝1，

所以|a－2b|＝＝＝＝.

12.如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－.

(1)求实数λ的值；

(2)若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，求·的最小值．

解　(1)∵＝λ，∴AD∥BC，

∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，

∴·＝6λ×3×cos 120°＝－，

∴λ＝.

(2)如图，过点A作AO⊥BC，垂足为O，

则OB＝AB＝，OC＝，AO＝，

以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，

则D，设M(x,0)，N(x＋1,0)，－≤x≤，

∴＝，＝，

∴·＝x2－x＋＝2＋，

∴当x＝时，·取得最小值.

13．已知非零向量与满足·＝0，且·＝－，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形   B．三边均不相等的三角形

C．等腰非等边三角形   D．直角三角形

答案　C

解析　注意到表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，所以＋表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，因为·＝0，所以||＝||，由·＝－可以得出与的夹角为120°，所以△ABC为等腰非等边三角形．

14．已知O是正三角形ABC内部的一点，＋2＋3＝0，则△OAC的面积与△OAB的面积之比是(　　)

A.  B.  C．2  D．1

答案　B

解析　如图所示，D，E分别是BC，AC的中点，

由＋2＋3＝0得

＋＝－2(＋)，

即＝－2，所以OE＝2OD，

设正三角形的边长为2a，

则△OAC底边AC上的高为hAC＝BE＝a，

△OAB底边AB上的高为hAB＝BE＝a，

所以＝＝＝.

15．已知三个向量a，b，c共面，且均为单位向量，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围是(　　)

A．[－1，＋1]   B．[1，]

C．[，]   D．[－1,1]

答案　A

解析　因为a·b＝0，

所以|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2，

所以|a＋b|＝，

所以|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2(a＋b)·c＝3－2(a＋b)·c，

则当c与(a＋b)同向时，(a＋b)·c最大，

|a＋b－c|2最小，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos 0°＝，|a＋b－c|2＝3－2，

所以|a＋b－c|min＝－1；

当c与(a＋b)反向时，(a＋b)·c最小，|a＋b－c|2最大，此时(a＋b)·c＝|a＋b||c|cos π＝－，

|a＋b－c|2＝3＋2，

所以|a＋b－c|max＝＋1，

所以|a＋b－c|的取值范围为[－1，＋1]．

16．在△ABC中，设·＝·.

(1)求证：△ABC为等腰三角形；

(2)若|＋|＝2且B∈，求·的取值范围．

(1)证明　因为·＝·，

所以·(－)＝0，

因为＋＋＝0，所以＝－(＋)，

所以－(＋)·(－)＝0，

所以2－2＝0，

所以||＝||，

故△ABC为等腰三角形．

(2)解　因为B∈，所以cos B∈，

设||＝||＝a，

因为|＋|＝2，所以|＋|2＝4，

所以a2＋a2＋2a2cos B＝4，所以a2＝，

所以·＝||||cos B＝a2cos B

＝＝2－，

又－≤cos B≤，

所以－2≤2－≤，

即·∈.