北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.6　解三角形

这是一份北师大版高考数学一轮复习第四章 §4.6　解三角形，共18页。试卷主要包含了三角形常用面积公式，5小时能截住该走私船？，2 m，，5·sin 80°≈38，等内容，欢迎下载使用。


1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.三角形常用面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
3．测量中的几个有关术语
微思考
1．三角形中有哪些三角函数关系？
提示 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
2．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件吗？
提示 在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B，由sin A>sin B也可推出A>B，故A>B是sin A>sin B的充要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )
(2)当b2＋c2－a2<0时，三角形ABC为钝角三角形．( √ )
(3)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).( × )
题组二 教材改编
2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 C
解析 在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋25－49,30)＝－eq \f(1,2)，因为∠BAC为△ABC的内角，
所以∠BAC＝eq \f(2π,3)，故选C.
3．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq \r(3)，则△ABC的面积为 ．
答案 2eq \r(3)
解析 ∵由正弦定理得，eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AC,sin B)，
即eq \f(2\r(3),sin 60°)＝eq \f(4,sin B)，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).
4.如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，A，B间的距离是84 m，则塔高CD＝ m.
答案 12eq \r(7)
解析 设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝eq \r(3)x m.
由题意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，
在△ABD中，利用余弦定理得842＝x2＋(eq \r(3)x)2－2eq \r(3)·x2cs 150°，
解得x＝12eq \r(7)(负值舍去)，故塔高为12eq \r(7) m.
题组三 易错自纠
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝eq \r(2)，A＝30°，则B等于( )
A．30° B．45°
C．30°或150° D．45°或135°
答案 D
解析 根据正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)得，
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(2)×\f(1,2),1)＝eq \f(\r(2),2)，
由于b＝eq \r(2)>1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
6．在△ABC中，acs A＝bcs B，则这个三角形的形状为 ．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acs A＝sin Bcs B，
即sin 2A＝sin 2B，
所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
题型一 利用正弦、余弦定理解
三角形
例1 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c).
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝4，求c的值．
解 (1)由正弦定理，eq \f(sin A,a)＝eq \f(\r(3)cs C,c)可化为eq \f(sin A,2Rsin A)＝eq \f(\r(3)cs C,2Rsin C)，即tan C＝eq \r(3).又∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,3).
(2)eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(CB,\s\up6(→))|cs C＝abcs C＝4，
且cs C＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).∴ab＝8.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcs C
＝(a＋b)2－2ab－2abcs eq \f(π,3)
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
∴c＝2eq \r(3).
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2) B.eq \r(30) C.eq \r(29) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 ∵cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
∴cs C＝2cs2eq \f(C,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝32，
∴AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).
(2)(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B等于( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．4eq \r(5) D．8eq \r(5)
答案 C
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C＝42＋32－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，
得AB＝3，所以AB＝BC.
过点B作BD⊥AC，交AC于点D，如图，
则AD＝eq \f(1,2)AC＝2，
BD＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)，
所以tan∠ABD＝eq \f(AD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以tan∠ABC＝eq \f(2tan∠ABD,1－tan2∠ABD)＝4eq \r(5).
题型二 正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcs C＋ccs B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝eq \f(π,2)，∴△ABC为直角三角形．
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
答案 C
解析 因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，
所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
所以△ABC是等边三角形．
命题点2 三角形面积的计算
例3 (1)(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝eq \f(π,3)，则△ABC的面积为 ．
答案 6eq \r(3)
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×2eq \r(3)×sin eq \f(π,3)＝6eq \r(3).
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝eq \f(π,3)，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccs eq \f(π,3)，得c＝2eq \r(3)，所以a＝4eq \r(3)，所以a2＝b2＋c2，所以A＝eq \f(π,2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×6＝6eq \r(3).
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A＝eq \f(π,6)，a＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
答案 2＋eq \r(3)
解析 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，
得4＝b2＋c2－2bc×eq \f(\r(3),2)≥2bc－eq \r(3)bc，
所以bc≤4(2＋eq \r(3))，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A≤2＋eq \r(3)(当且仅当b＝c时，取等号)，
故△ABC面积的最大值为2＋eq \r(3).
思维升华 (1)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cs2eq \f(B,2)＝eq \f(1＋cs B,2)，cs2eq \f(B,2)＝eq \f(a＋c,2c)，
∴(1＋cs B)·c＝a＋c，∴a＝cs B·c＝eq \f(a2＋c2－b2,2a)，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形．
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 ．
答案 eq \f(2\r(3),3)
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝eq \f(1,2).
因为b2＋c2－a2＝8，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)>0，
所以bc＝eq \f(8\r(3),3)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
题型三 解三角形应用举例
命题点1 测量距离问题
例4 (2020·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为 ．
答案 80eq \r(5)
解析 由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝eq \f(80sin 150°,sin 15°)＝eq \f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq \r(6)＋eq \r(2))．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理eq \f(CD,sin∠CBD)＝eq \f(BC,sin∠BDC)，
得BC＝eq \f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq \f(80×sin 15°,\f(1,2))＝160sin 15°＝40(eq \r(6)－eq \r(2))．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1 600×(8＋4eq \r(3))＋1 600×(8－4eq \r(3))＋2×1 600×(eq \r(6)＋eq \r(2))×(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(1,2)＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000，
解得AB＝80eq \r(5)，故图中海洋蓝洞的口径为80eq \r(5).
命题点2 测量高度问题
例5 (2020·长春质检)《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1 000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为(注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1 800尺＝300步)( )
A．1 255步 B．1 250步
C．1 230步 D．1 200步
答案 A
解析 因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH).因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以eq \f(DG,HG)＝eq \f(DE,AH).又BC＝DE，所以eq \f(BF,HF)＝eq \f(DG,HG)，即eq \f(123,123＋HB)＝eq \f(127,127＋1 000＋HB)，所以HB＝30 750步，又eq \f(BF,HF)＝eq \f(BC,AH)，
所以AH＝eq \f(5×30 750＋123,123)＝1 255(步)．故选A.
命题点3 测量角度问题
例6 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(参考数据：sin 38°≈\f(5\r(3),14)，sin 22°≈\f(3\r(3),14)))
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝eq \f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．
跟踪训练3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝ m.
答案 100eq \r(6)
解析 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，
故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin 45°)＝eq \f(BC,sin 30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)
＝100eq \r(6) (m)．
课时精练
1．(2020·安庆模拟)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(4,3) C.eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 D
解析 由bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，得cs A＝eq \f(1,2).
又c＝2b，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，
得eq \f(a,b)＝eq \r(3).
2．(2020·唐山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h等于( )
A.eq \f(\r(15),2) B.eq \f(\r(11),2) C.eq \f(3\r(15),4) D.eq \f(3\r(15),8)
答案 D
解析 由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋16－4,2×3×4)＝eq \f(21,24)＝eq \f(7,8)，则sin A＝eq \r(1－cs2A)＝eq \r(1－\f(49,64))＝eq \r(\f(15,64))＝eq \f(\r(15),8)，
则h＝ACsin A＝bsin A＝3×eq \f(\r(15),8)＝eq \f(3\r(15),8)，故选D.
3．(2020·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，则BC的长为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．2
答案 B
解析 因为S＝eq \f(1,2)AB·ACsin A＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(3),2)AC＝eq \f(\r(3),2)，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs A＝3.
所以BC＝eq \r(3).
4．(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 A
解析 ∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，
即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)
＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，
∴eq \f(b,c)＝6.
5．(2020·安康模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若sin A＝eq \f(b,2c)，cs C＝eq \f(a,2b)，则B等于( )
A.eq \f(1,12)π B.eq \f(5,12)π
C.eq \f(1,12)π或eq \f(5,12)π D.eq \f(5,12)π或eq \f(7,12)π
答案 C
解析 因为cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a,2b)，所以b＝c，
因为sin A＝eq \f(b,2c)＝eq \f(1,2)，
所以A＝eq \f(π,6)或eq \f(5,6)π，
当A＝eq \f(π,6)时，由B＝C，得到B＝eq \f(5π,12)；
当A＝eq \f(5π,6)时，得到B＝eq \f(π,12).
故B＝eq \f(π,12)或eq \f(5,12)π.
6．(2020·三门峡模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bsin A－eq \r(3)acs B＝0，且b2＝ac，则eq \f(a＋c,b)的值为( )
A．2 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D．4
答案 A
解析 在△ABC中，
因为bsin A－eq \r(3)acs B＝0，且b2＝ac，
所以由正弦定理得sin Bsin A－eq \r(3)sin Acs B＝0，
因为A∈(0，π)，则sin A>0，
所以sin B－eq \r(3)cs B＝0，即tan B＝eq \r(3)，
解得B＝eq \f(π,3)，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac
＝(a＋c)2－3ac＝(a＋c)2－3b2，
即4b2＝(a＋c)2，解得eq \f(a＋c,b)＝2.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(7)，b＝2，A＝60°，则c＝ .
答案 3
解析 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccs A，
∴c2－2c－3＝0，解得c＝3(c＝－1舍去)．
8．(2020·西安质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs B＝eq \f(1,3)，b＝4，S△ABC＝4eq \r(2)，则△ABC的周长为 ．
答案 4eq \r(3)＋4
解析 由cs B＝eq \f(1,3)，得sin B＝eq \f(2\r(2),3)，由三角形面积公式可得eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)ac·eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(2)，则ac＝12，①
由b2＝a2＋c2－2accs B，可得16＝a2＋c2－2×12×eq \f(1,3)，则a2＋c2＝24，②
联立①②可得a＝c＝2eq \r(3)，
所以△ABC的周长为4eq \r(3)＋4.
9．在△ABC中，C＝60°，且eq \f(a,sin A)＝2，则△ABC的面积S的最大值为 ．
答案 eq \f(3\r(3),4)
解析 由C＝60°及eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)＝2，可得c＝eq \r(3).
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝eq \f(1,2)absin C≤eq \f(1,2)×3×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3\r(3),4)，
∴△ABC的面积S的最大值为eq \f(3\r(3),4).
10.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，AB＝3eq \r(2)，AD＝3，则BD的长为 ．
答案 eq \r(3)
解析 因为sin∠BAC＝eq \f(2\r(2),3)，且AD⊥AC，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋∠BAD))＝eq \f(2\r(2),3)，
所以cs∠BAD＝eq \f(2\r(2),3)，在△BAD中，由余弦定理，
得BD＝eq \r(AB2＋AD2－2AB·ADcs∠BAD)
＝eq \r(3\r(2)2＋32－2×3\r(2)×3×\f(2\r(2),3))＝eq \r(3).
11．已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝eq \r(3)acs B.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的长．
解 (1)∵bsin A＝eq \r(3)acs B，
∴由正弦定理可得sin Bsin A＝eq \r(3)sin Acs B.
∵sin A≠0，∴tan B＝eq \r(3)，
又∵0(2)∵sin C＝2sin A，
∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，
得9＝a2＋4a2－2a·2acs eq \f(π,3)，
解得a＝eq \r(3)(负值舍去)，
∴c＝2a＝2eq \r(3).
12．(2019·全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin eq \f(A＋C,2)＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin eq \f(A＋C,2)＝sin B.
由A＋B＋C＝180°，可得sin eq \f(A＋C,2)＝cs eq \f(B,2)，
故cs eq \f(B,2)＝2sin eq \f(B,2)cs eq \f(B,2).
因为cs eq \f(B,2)≠0，所以sin eq \f(B,2)＝eq \f(1,2)，所以B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq \f(\r(3),4)a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝eq \f(csin A,sin C)＝eq \f(sin120°－C,sin C)＝eq \f(\r(3),2tan C)＋eq \f(1,2).
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以eq \f(1,2)因此，△ABC面积的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).
13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为(sin 20°≈0.342 0，sin 80°≈0.984 8，结果精确到1 m)( )
A．38 m B．50 m C．66 m D．72 m
答案 A
解析 如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，
则∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB).
∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m.
14．已知△ABC中，AC＝eq \r(2)，BC＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝eq \f(π,4)，则CD＝ .
答案 eq \r(3)
解析 因为AC＝eq \r(2)，BC＝eq \r(6)，△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)AC·BC·sin∠ACB＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(6)×sin∠ACB，所以sin∠ACB＝eq \f(1,2)，
所以∠ACB＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)，
若∠ACB＝eq \f(5π,6)，则∠BDC＝eq \f(π,4)<∠BAC，
可得∠BAC＋∠ACB>eq \f(π,4)＋eq \f(5π,6)>π，与三角形内角和定理矛盾，所以∠ACB＝eq \f(π,6)，
所以在△ABC中，由余弦定理得
AB＝eq \r(AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB)
＝eq \r(2＋6－2×\r(2)×\r(6)×\f(\r(3),2))＝eq \r(2)，
所以AB＝AC，所以B＝eq \f(π,6)，
所以在△BDC中，由正弦定理可得
CD＝eq \f(BC·sin B,sin∠BDC)＝eq \f(\r(6)×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝eq \r(3).
15．(2020·晋中模拟)设a，b，c为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且满足eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(2\r(3)sin C,3a)，若b＝2，则△ABC的面积的最大值为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 因为eq \f(cs A,a)＋eq \f(cs B,b)＝eq \f(2\r(3)sin C,3a)，
可得3bcs A＋3acs B＝2eq \r(3)bsin C，
由正弦定理，可得
3sin Bcs A＋3sin Acs B＝2eq \r(3)sin Bsin C，
又由3sin Bcs A＋3sin Acs B＝3sin(A＋B)＝3sin C，
即3sin C＝2eq \r(3)sin Bsin C，
又由C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin C>0，
所以sin B＝eq \f(\r(3),2)，
又由B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs B＝eq \f(1,2)，
由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac＝4，
又由4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，所以ac≤4，
所以△ABC的面积的最大值为S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×4×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3).
16.如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?
解 设∠AMN＝θ，在△AMN中，
eq \f(MN,sin 60°)＝eq \f(AM,sin120°－θ).
因为MN＝2，所以AM＝eq \f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．
在△APM中，cs∠AMP＝cs(60°＋θ)．
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cs∠AMP＝
eq \f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq \f(4\r(3),3)sin(120°－θ)·cs(60°＋θ)
＝eq \f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq \f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)·cs(θ＋60°)＋4
＝eq \f(8,3)[1－cs(2θ＋120°)]－eq \f(8\r(3),3)sin(2θ＋120°)＋4
＝－eq \f(8,3)[eq \r(3)sin(2θ＋120°)＋cs(2θ＋120°)]＋eq \f(20,3)
＝eq \f(20,3)－eq \f(16,3)sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°.
当且仅当2θ＋150°＝270°，
即θ＝60°时，AP2取得最大值12，
即AP取得最大值2eq \r(3).
所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
a2＝b2＋c2－2bccs A；
b2＝c2＋a2－2cacs B；
c2＝a2＋b2－2abcs C
变形
a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tan θ